Презентация по математике на тему Методы решения систем линейных уравнений ученика 10 класса

Методы решения систем линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса.выполнил: ученик 10Б класса МОУ СОШ 65 Беликов Илья. Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.𝑎11⋯𝑎1𝑛⋮⋱⋮𝑎𝑚1⋯𝑎𝑚𝑛 Матрицы допускают следующие алгебраические операции:сложение матриц, имеющих один и тот же размер;умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n строк); ∆=𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22=𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21 ∆=𝑎11=𝑎11 Определитель матрицыДля матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:Для матрицы 2 X 2 детерминант определяется как Дополнительный минор к элементу 𝑎𝑖𝑗 квадратной матрицы - определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i строки и j столбца. 𝑎11𝑎21𝑎31𝑎41𝑎51𝑎12𝑎22𝑎32𝑎42𝑎52𝑎13𝑎23𝑎33𝑎43𝑎53𝑎14𝑎24𝑎34𝑎44𝑎54𝑎15𝑎25𝑎35𝑎45𝑎55 ∆=𝑎11𝑎21𝑎41𝑎51𝑎13𝑎23𝑎43𝑎53𝑎14𝑎24𝑎44𝑎54𝑎15𝑎25𝑎45𝑎55  Для матрицы n X n определитель задаётся рекурсивно: ∆=𝑗=1𝑛  (−1)1+𝑗𝑎1𝑗𝑀𝑗1где 𝑀𝑗1 - дополнительный минор к элементу a1j. Эта формула называется разложением по строке. 𝑎11𝑎21𝑎31𝑎41𝑎51𝑎12𝑎22𝑎32𝑎42𝑎52𝑎13𝑎23𝑎33𝑎43𝑎53𝑎14𝑎24𝑎34𝑎44𝑎54𝑎15𝑎25𝑎35𝑎45𝑎55  Метод Крамера𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+…+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+…+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+…+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛 𝑥𝑖=1∆𝑎11… 𝑎1,𝑖−1     𝑏1     𝑎1,𝑖+1…𝑎1𝑛𝑎21… 𝑎2,𝑖−1     𝑏2     𝑎2,𝑖+1…𝑎2𝑛……………………………………𝑎𝑛−1,1… 𝑎𝑛−1,𝑖−1     𝑏𝑛−1     𝑎𝑛−1,𝑖+1…𝑎𝑛−1,𝑛𝑎𝑛1… 𝑎𝑛,𝑖−1     𝑏𝑛     𝑎𝑛,𝑖+1…𝑎𝑛𝑛  Для системы n линейных уравнений с n неизвестными Пример решения системы уравенений методом Крамера:2𝑥1+5𝑥2+4𝑥3=30𝑥1+3𝑥2+2𝑥3=1502𝑥1+10𝑥2+9𝑥3=110∆=2  5  41  3  22 10 9=5, ∆1=30   5   4150  3  2110 10 9=−760, ∆2=2  30  41 150 22 110 9=1350, ∆3=2   5   301  3  1502 10 110=−1270.𝑥1=−7605=−152, 𝑥2=13505=270,    𝑥3=−12705=−254   Метод ГауссаПусть исходная система выглядит следующим образом𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+…+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+…+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+…+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑛 <=> 𝐴x=b, где 𝐴=𝑎11⋯𝑎1𝑛⋮⋱⋮𝑎𝑛1⋯𝑎𝑛𝑛 , 𝑥=𝑥1⋮𝑥𝑛 , b =𝑏1⋮𝑏𝑛Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.  Тогда с помощью элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к треугольному виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):𝑎1𝑗1𝑥𝑗1+ 𝑎1𝑗2𝑥𝑗2+…+ 𝑎1𝑗𝑟𝑥𝑗𝑟+…+𝑎1𝑗𝑛𝑥𝑗𝑛=𝛽1                   𝑎2𝑗2𝑥𝑗2+…+ 𝑎2𝑗𝑟𝑥𝑗𝑟+…+𝑎2𝑗𝑛𝑥𝑗𝑛=𝛽2                                                                                     …                                                                            𝑎𝑛𝑗𝑛𝑥𝑗𝑛=𝛽𝑛  Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом 𝑥:𝑥1=𝛽1−𝑎1𝑗𝑛𝑥𝑗𝑛−…−𝑎1𝑗2𝑥𝑗2𝑎1𝑗1𝑥2=𝛽2−𝑎2𝑗𝑛𝑥𝑗𝑛−…−𝑎2𝑗3𝑥𝑗3 𝑎2𝑗2…                                           𝑥𝑛=𝛽𝑛𝑎𝑛𝑗𝑛Последовательно вычисляя 𝑥𝑖, где i изменяется от n до 1 получим столбец 𝑥.  Пример решения системы уравнений методом Гаусса: 2𝑥1+𝑥2−𝑥3=8−3𝑥1−𝑥2+2𝑥3=−11−2𝑥1+𝑥2+2𝑥3=−3 2𝑥1+𝑥2−𝑥3=812𝑥2+12𝑥3=−112𝑥2+𝑥3=−3       2𝑥1+𝑥2−𝑥3=812𝑥2+12𝑥3=1−𝑥3=1𝑥1=2 , 𝑥2=3 , 𝑥3=−1.  Спасибо за внимание!