Конспект урока по алгебре по теме: Системы линейных уравнений в решении алгебраических задач (7класс)

Открытый урок в 7 классе

по теме:


« Системы линейных уравнений

в решении алгебраических

задач».


МОУ ЛСОШ № 2

г. Луховицы Учитель: Л. Н. Баланова


Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Уравнение и его корни», «Линейное уравнение с одной переменной», «Решение задач с помощью систем уравнений», владеть навыками решения уравнения.
Цели урока:
образовательная: отработка навыков решения систем линейных уравнений;

воспитательная: воспитание чувства ответственности, формирование творческих способностей, математической культуры, навыков самоконтроля;

развивающая: развитие внимания, логического мышления, познавательного интереса к предмету.

Оборудование: написанные на доске примеры для устной работы, дифференцированная самостоятельная работа на 4 варианта, компьютер, мультимедийный проектор; индивидуальные доски для маркеров; карточки с заданиями, учебники.

Тип урока: сдвоенный урок применения и совершенствования знаний.

Ход урока.
I. Повторение алгоритма решения задач с помощью систем уравнений.
На экран через граф-проектор проецируется информация:

« Петя Веников составил алгоритм решения задач с помощью систем уравнений, но допусти ряд ошибок. Найдите их , если видите.»
Алгоритм Пети Венникова:
1)Обозначают некоторые неизвестные буквы
числами.
2)Решают получившуюся систему.
3)Истолковывают результат в соответствии
с условиями системы.
( Учащиеся находят ошибки и исправляют их:
в 1): неизвестные числа буквами; в 2): пропущен шаг, в котором, используя условие задачи, составляют систему уравнений; в 3): в соответствии с условиями задачи.)
13 EMBED Equation.3 1415
II. Проверка домашней задачи.
Текст: «В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов?»
Перед учащимися ставилась проблема решить эту задачу 2 способами: арифметическим и с помощью системы. Пока один ученик записывает на доске решение задачи с помощью системы, с остальными проверяется арифметическое решение задачи.

Арифметическое решение:

( 94- 35
·2 ) : 2 = 12 - кроликов;
35- 12 = 23 - фазанов.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

С помощью системы:

Пусть x- количество фазанов, а y- кроликов. Известно ,что всего голов- 35. Значит, x + y =35. Тогда 2x- ноги всех фазанов, а 4y- ноги всех кроликов. По условию задачи 2x + 4y = 94. Составим и решим систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ;
13 EMBED Equation.3 1415 ; 23-фазана и 12 кроликов.
Ответ: 12кроликов и 23 фазана.
13 EMBED Equation.3 1415
Ш. Устная работа. (Задания заранее написаны на доске.)
При решении задачи были допущены ошибки. Найдите их и составьте систему уравнений по условию задачи правильно.
Задача № 1.
Туристы отправились в путешествие. Сначала они решили плыть по реке и сели на пароход, который проплыл 240 км. На это он потратил 2 часа, плывя против течения, и 3 часа – по течению. Туристы решили определить, какова скорость парохода по течению и против, если известно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения.
Через проектор на доску проецируется решение задачи с ошибками:
Пусть x км/ч – скорость парохода против течения, а y км/ч – скорость по течению. По условию задачи пароход проплыл 240 км за 2 часа против течения и за 3 часа - по течению. Отсюда: 2х + 3y = 240.
Известно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения. Отсюда: 2y – 3х = 35.
Составим и решим систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Учащиеся должны найти ошибки:
1) Ошибка в составлении системы: x км/ч – скорость парохода против течения; у км/ч – по течению. Второе уравнение системы должно иметь вид: 3х – 2у = 35.
2) Ошибка при решении системы: при делении 375 на 13 получается дробное число, но в системе его округлять нельзя. Так же как нельзя округлять и значение параметра у.
Правильно составленная система: 13 EMBED Equation.3 1415
( Класс получает задание решить её дома к следующему занятию.)
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 45 км / ч – скорость парохода против течения, 50 км / ч – по течению.
Ответ : 45 км / ч ; 50 км / ч
Задача № 2.
(Устный разбор с последующим решением.)
Можно ли разменять сторублёвую купюру пятирублёвыми и десятирублёвыми монетами так, чтобы всех монет было десять?
Учащиеся объясняют ход решения : обозначим за х – пятирублёвые монеты, а за у- десятирублёвые. Получим: х + у = 10 .
Составим второе уравнение: так как с помощью таких монет надо разменять сто рублей, то должно выполняться равенство: 5х + 10у = 100.
Составим и решим систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 . Вывод: так как х и у являются количеством монет, то х
не должно равняться нулю, так как 013 EMBED Equation.3 1415N . Значит указанным способом невозможно разложить 100 - рублёвую купюру.
Ответ: нет.
IV. Задачный марафон.
13 EMBED Equation.3 1415Задача № 1.
Решите систему уравнений и ответьте на вопрос: может ли она удовлетворять условию задачи? Не забудьте, что такому условию чаще всего удовлетворяют натуральные или конечные десятичные числа.
Предлагаемая система:13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equ
·ation.3 1415
При решении системы получили дробные числа, которые не могут удовлетворять условию «хорошей» задачи.
Ответ: нет.
13 EMBED Equation.3 1415Задача № 2 .
Найдите точку пересечения графиков функций у = 2х - 6 и у = х – 3.
( Класс решает задачу самостоятельно, 4 уч-ся на индивидуальных досках для маркеров, 2 уч-ся на листах в клетку с последующей проверкой на экране через сканер).
Решение:
Чтобы найти точку пересечения графиков функций, необходимо составить и решить систему уравнений с двумя неизвестными:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (0; 3).


13 EMBED Equation.3 1415Задача № 3 .
Основание равнобедренного треугольника на 5 см больше его боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если известно, что его периметр равен 50 см.
Решение:
Пусть х см – длина боковой стороны треугольника, а у см- основания. Известно, что основание больше боковой стороны на 5 см, т.е. у = х + 5.
Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны у него равны. Составим и решим систему:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
15см – боковая сторона треугольника, 20 см – его основание.
Ответ: 15см, 15см и 20 см.
Творческая задача.
Сформулируйте задачу про движение, условию которой будет удовлетворят сле- дующая система: 13 EMBED Equation.3 1415.
У одних учащиеся действующим лицом задачи была машина, у других – поезд, мотоцикл, скутер и т.д. Но все единодушно решили, что расстояние в 600 км было пройдено в два этапа: 4х км и 6у км. Сначала ( например, машина ) ехала 4ч., потом 6ч. Известно, что у – х = 5. Отсюда учащиеся сделали вывод, что скорость машины на втором участке была больше на 5 км, чем на первом. В итоге получилась следующая задача, которая удовлетворяет приведённой системе:
« Машина прошла расстояние в 600 км в два этапа. Сначала она ехала 4часа с некоторой скоростью, а затем ещё 6 часов, увеличив скорость на 5 км/ч. Определите скорость машины на каждом этапе движения»
Задание, подготовленное на карточках (одна на парту).
Найдите в квадрате ответы к задаче:
-2
1
-3

7
Х
4

0
-1
3


Решение: обозначим одно число за Х; а второе - за У.
Составим и решим систему по условию задачи:

3
5
-5

2
У
6

-3
-1
-2

13 EMBED Equation.3 1415
В первом квадрате это число 7, во втором – 5.
Ответ: 7 и 5.
( Выставление оценок за задачный марафон, выяснение и обобщение того, что удалось учащимся, а над чем ещё надо поработать).
V. Домашнее задание. Комментарии и объяснения к нему. ( Выдаются каждому на индивидуальных листах только тексты задач).

13 EMBED Equation.3 1415Задача № 1 .
Сколько лет яблоне и вишне, если 6 лет назад возраст яблони был в 5 раз больше возраста вишни, а 2 года назад – в 2 раза?
Решение:
Пусть х- возраст яблони, а у- возраст вишни. Составим и решим систему:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 ;
13 EMBED Equation.3 1415 18 лет яблоне и 10 лет вишне.
Ответ: 18 лет и 10 лет.

13 EMBED Equation.3 1415Задача № 2 .
При каком значении k прямая y = kx-3 пересекается с прямыми y = 2x-5 и y = x+2?
Решение: чтобы найти k составим и решим систему из трёх уравнений:

13 EMBED Equation.3 1415
Т.о., k = 13 EMBED Equation.3 1415 и уравнение прямой имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: k = 13 EMBED Equation.3 1415 .
13 EMBED Equation.3 1415Задача № 3 .
Решить правильный вариант классной задачи № 1.

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Значит, скорость парохода против течения- 45 км / ч, а по течению- 50 км / ч.

Ответ: 45 км / ч; 50 км / ч.
VI. Дифференцированная самостоятельная работа на 4 варианта.

( Выполняется с последующей проверкой через проектор).

1 вариант.

В гостинице 25 номеров. Есть 4-х местные и 2-х местные номера. Сколько каких номеров, если известно, что всего в гостинице могут разместиться 70 человек?
Решение: пусть х номеров 4-х местных, а у - 2-х местных. Составим и решим систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Значит, в гостинице 10 номеров 4-х местных и 15 - 2-х местных.

Ответ: 10 и 15.

2 вариант.

Для класса купили 30 билетов в театр стоимостью по 10 рублей и по 15 рублей. За все билеты заплатили 390 рублей. Сколько билетов купили по 10 руб. и по 15 руб.?

Решение: пусть купили х билетов по 10 руб. и у билетов по 15 руб.
Составим и решим систему:
13 EMBED Equation.3 1415Т.о., купили 18 билетов по 10 рублей и 12 билетов по 15 рублей.

Ответ: 18 и 12.

3 вариант.

Даны два числа. Если к первому прибавить половину второго, то получится 65, а если из второго вычесть третью часть первого, то получится первое число. Найдите эти числа.

Решение: обозначим за х – первое число, а за у – второе число.
Составим и решим систему:
13 EMBED Equation.3 141548,75 – первое число, 32,5 – второе число.

Ответ: 48,75 и 32,5 .



4 вариант.
(для наиболее подготовленных уч-ся)

Если из первого числа вычесть четверть второго числа, получится 129, а если увеличить второе число в 5 раз и отнять от него половину первого числа, то получится первое число. Найдите эти числа.

Решение: обозначим за х – первое число, за у – второе число.
Составим и решим систему:


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

VII. Подведение итогов урока.

Рефлексия занятия, выставление оценок.

Комментарий учителя.

В целом учащиеся достаточно хорошо усвоили алгоритм решения задач на составление систем линейных уравнений. В решении систем отдают предпочтение методу подстановки, хотя многие хорошо владеют и способом сложения.

Устная работа показала, что учащиеся ориентируются в условии задач, без труда вводят переменные и многие верно составляют уравнения к системе. Справились с творческой, геометрической задачами, с интересом разменивали 100-рублёвую купюру.

В задачном марафоне оспаривался результат задачи № 1. Почему дробные числа не могут быть решениями задачи? В принципе, дети правы – это показали ответы к самостоятельной работе В-3; 4. Поэтому пришлось наложить дополнительное условие «хорошей» задачи.













Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native