Тема урока« Системы линейных уравнений в решении алгебраических задач».

Открытый урок в 7 классе
по теме:
« Системы линейных уравнений
в решении алгебраических
задач».
2012 / 2013 уч. год
МОУ-СОШ пос. Лопуховка
Учитель:Рыжова Л.А.
Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Уравнение и его корни», «Линейное уравнение с одной переменной», «Решение задач с помощью систем уравнений», владеть навыками решения уравнения.
Цели урока:
образовательная: отработка навыков решения систем линейных уравнений;
воспитательная : воспитание чувства ответственности, формирование творческих способностей, математической культуры, навыков самоконтроля;
развивающая : развитие внимания, логического мышления, познавательного интереса к предмету.
Оборудование: написанные на доске примеры для устной работы, дифференциро- ванная самостоятельная работа на 4 варианта, копирка, плёнка, граф-проектор ; индивидуальные доски для маркеров; карточки с заданиями, учебники.
Тип урока: сдвоенный урок применения и совершенствования знаний.
Ход урока.
I. Повторение алгоритма решения задач с помощью систем уравнений.
На экран через граф-проектор проецируется информация:
« Петя Веников составил алгоритм решения задач с помощью систем уравнений, но допусти ряд ошибок .Найдите их ,если видите.»
Алгоритм Пети Венникова:
1)Обозначают некоторые неизвестные буквы
числами.
2)Решают получившуюся систему.
3)Истолковывают результат в соответствии
с условиями системы.
( Учащиеся находят ошибки и исправляют их:
в 1): неизвестные числа буквами; в 2): пропущен шаг, в котором, используя условие задачи, составляют систему уравнений; в 3): в соответствии с условиями задачи.)

II. Проверка домашней задачи.
Текст: «В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов?»
Перед учащимися ставилась проблема решить эту задачу 2 способами: арифме-тическим и с помощью системы. Пока один ученик записывает на доске решение задачи с помощью системы, с остальными проверяется арифметическое решение задачи.
Арифметическое решение:
( 94- 35∙2 ) : 2 = 12 - кроликов;
35- 12 = 23 - фазанов.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.
С помощью системы:
Пусть x- количество фазанов, а y- кроликов. Известно ,что всего голов- 35. Значит, x + y =35. Тогда 2x- ноги всех фазанов, а 4y- ноги всех кроликов. По условию задачи 2x + 4y = 94. Составим и решим систему уравнений:
; ; ; ; ;
; 23-фазана и 12 кроликов.
Ответ: 12кроликов и 23 фазана.

Ш . Устная работа. (Задания заранее написаны на доске.)
При решении задачи были допущены ошибки. Найдите их и составь- те систему уравнений по условию задачи правильно.
Задача № 1.
Туристы отправились в путешествие. Сначала они решили плыть по реке и сели на пароход, который проплыл 240 км. На это он потратил 2 часа, плывя против течения , и 3 часа – по течению. Туристы решили определить, какова скорость парохода по течению и против, если из- вестно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения.
Через граф-проектор на доску проецируется решение задачи с ошибками:
Пусть x км/ч – скорость парохода против течения, а y км/ч – скорость по течению. По условию задачи пароход проплыл 240 км за 2 часа против течения и за 3 часа - по течению. Отсюда : 2х + 3y = 240.
Известно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения. Отсюда : 2y – 3х = 35.
Составим и решим систему уравнений:
; ; ; ; ;
Учащиеся должны найти ошибки:
1) Ошибка в составлении системы: x км/ч – скорость парохода против течения; у км/ч – по течению. Второе уравнение системы должно иметь вид: 3х – 2у = 35.
2) Ошибка при решении системы: при делении 375 на 13 получается дробное число, но в системе его округлять нельзя. Так же как нельзя округлять и значение парамет- ра у.
Правильно составленная система :
( Класс получает задание решить её дома к следующему занятию.)
Решение:
; ; ; ; ; ; 45 км / ч – скорость парохода против течения, 50 км / ч – по течению.
Ответ : 45 км / ч ; 50 км / ч
Задача № 2.
(Устный разбор с последующим решением.)
Можно ли разменять сторублёвую купюру пятирублёвыми и десятируб- лёвыми монетами так, чтобы всех монет было десять ?
Учащиеся объясняют ход решения : обозначим за х – пятирублёвые монеты, а за у- десятирублёвые. Получим : х + у = 10 .
Составим второе уравнение : так как с помощью таких монет надо разменять сто рублей, то должно выполняться равенство : 5х + 10у = 100.
Составим и решим систему уравнений :
; ; ; ; ; ; . Вывод : так как х и у являются количеством монет, то х
не должно равняться нулю, так как 0N . Значит указанным способом невозможно разложить 100 - рублёвую купюру.
Ответ : нет .
IV . Задачный марафон.
Задача № 1.
Решите систему уравнений и ответьте на вопрос: может ли она удов- летворять условию задачи? Не забудьте, что такому условию чаще всего удовлетворяют натуральные или конечные десятичные числа.
Предлагаемая система:
Решение: ;

При решении системы получили дробные числа, которые не могут удовлетворять условию «хорошей» задачи.
Ответ: нет.
Задача № 2 .
Найдите точку пересечения графиков функций у= 2х - 6 и у= х – 3.
( Класс решает задачу самостоятельно, 4 уч-ся на индивидуальных досках для мар- керов, 2 уч-ся на плёнке с последующей проверкой на граф - проекторе.)
Решение:
Чтобы найти точку пересечения графиков функций, необходимо составить и решить систему уравнений с двумя неизвестными:

Ответ: ( 0; 3 ).
Задача № 3 .
Основание равнобедренного треугольника на 5 см больше его боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если известно, что его периметр равен 50 см.
Решение:
Пусть х см – длина боковой стороны треугольника, а у см- основания. Известно, что основание больше боковой стороны на 5 см, т.е. у = х + 5.
Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны у него равны. Составим и решим систему:
;
15см – боковая сторона треугольника, 20 см – его основание.
Ответ: 15см, 15см и 20 см.
Творческая задача.
Сформулируйте задачу про движение, условию которой будет удовлетворят сле- дующая система: .
У одних уч-ся действующим лицом задачи была машина, у других – поезд, мото-цикл, скутер и т.д. Но все единодушно решили, что расстояние в 600 км было прой- денно в два этапа: 4х км и 6у км. Сначала ( н-р, машина ) ехала 4ч., потом 6ч. Из-вестно, что у – х = 5. Отсюда уч-ся сделали вывод, что скорость машины на втором участке была больше на 5 км, чем на первом. В итоге получилась следующая задача, которая удовлетворяет приведённой системе:
« Машина прошла расстояние в 600 км в два этапа. Сначала она ехала 4часа с неко- торой скоростью, а затем ещё 6 часов, увеличив скорость на 5 км/ч. Определите скорость машины на каждом этапе движения.»
Задание, подготовленное на карточках ( одна на парту).
Найдите в квадрате ответы к задаче:
-2 1 -3
7 Х 4
0 -1 3

Решение: обозначим одно число за Х; а второе - за У.
Составим и решим систему по условию задачи:

3 5 -5
2 У 6
-3 -1 -2

В первом квадрате это число 7, во втором – 5.
Ответ: 7 и 5.
( Выставление оценок за задачный марафон, выяснение и обобщение того, что уда-лось уч-ся, а над чем ещё надо поработать).
V. Домашнее задание. Коментарии и объяснения к нему. ( Выдаются каж-дому на индивидуальных листах только тексты задач).
Задача № 1 .
Сколько лет яблоне и вишне, если 6 лет назад возраст яблони был в 5 раз больше возраста вишни, а 2 года назад – в 2 раза?
Решение:
Пусть х- возраст яблони, а у- возраст вишни. Составим и решим систему:
; ;
18 лет яблоне и 10 лет вишне.
Ответ: 18 лет и 10 лет.
Задача № 2 .
При каком значении k прямая y=kx-3 пересекается с прямыми y=2x-5 и y=x+2 ?
Решение: чтобы найти k составим и решим систему из трёх урав-нений:

Т.о., k = и уравнение прямой имеет вид .
Ответ: k = .
Задача № 3 .
Решить правильный вариант классной задачи № 1.
Решение:

Значит, скорость парохода против течения- 45 км / ч, а по течению- 50 км / ч.
Ответ: 45 км / ч; 50 км / ч.
VI. Дифференцированная самостоятельная работа на 4 варианта.
( Выполняется под копирку с последующей проверкой через граф - проектор с по-мощью заранее написанных на плёнке правильных решений).
1 вариант.
В гостинице 25 номеров. Есть 4-х местные и 2-х местные номера. Сколько каких номеров, если известно, что всего в гостинице могут разместиться 70 человек?
Решение: пусть х номеров 4-х местных, а у – 2-х местных. Составим и решим систему:

Значит, в гостинице 10 номеров 4-х местных и 15 – 2-х местных.
Ответ: 10 и 15.
2 вариант.
Для класса купили 30 билетов в театр стоимостью по 10 рублей и по 15 рублей. За все билеты заплатили 390 рублей. Сколько билетов купили по 10 руб. и по 15 руб.?
Решение: пусть купили х билетов по 10 руб. и у билетов по 15 руб.
Составим и решим систему:
Т.о., купили 18 билетов по 10 рублей и 12 билетов по 15 рублей.
Ответ: 18 и 12.
3 вариант.
Даны два числа. Если к первому прибавить половину второго, то получится 65, а если из второго вычесть третью часть первого, то получится первое число. Най-дите эти числа.
Решение: обозначим за х – первое число, а за у – второе число.
Составим и решим систему:
48,75 – первое число, 32,5 – второе число.
Ответ: 48,75 и 32,5 .
4 вариант.
( для наиболее подготовленных уч-ся )
Если из первого числа вычесть четверть второго числа, получится 129, а если увеличить второе число в 5 раз и отнять от него половину первого числа, то по-лучится первое число. Найдите эти числа.
Решение: обозначим за х – первое число, за у – второе число.
Составим и решим систему:


Ответ:
VII. Подведение итогов урока.
Рефлексия занятия, выставление оценок.
Комментарий учителя.
В целом уч-ся достаточно хорошо усвоили алгоритм решения задач на состав-ление систем линейных уравнений. В решении систем отдают предпочтение мето- ду подстановки, хотя многие хорошо владеют и способом сложения.
Устная работа показала, что уч-ся ориентируются в условии задач, без труда вво-дят переменные и многие верно составляют уравнения к системе. Справились с творческой, геометрической задачами, с интересом разменивали 100-рублёвую ку- пюру.
В задачном марафоне оспаривался результат задачи № 1. Почему дробные числа не могут быть решениями задачи? В принципе, дети правы – это показали ответы к самостоятельной работе В-3; 4. Поэтому пришлось наложить дополнительное усло- вие «хорошей» задачи.