Презентация к урокам алгебры или факультативным занятиям по теме: Элементы теории множеств

1О МНОЖЕСТВАХУчитель математики Грязнова Александра Константиновна март 2007 гс. Кочневка
2ЧТО ТАКОЕ МНОЖЕСТВО? (1)Множества могут состоять из различных элементов – рыб, домов, квадратов, чисел, точек и т.д. Этим и объясняется чрезвычайная широта теории множеств и её приложимость к самым разным областям знаний(математике, механике, физике, биологии, лингвистике м т.д.

3ЧТО ТАКОЕ МНОЖЕСТВО? (2)«Множество есть многое, мыслимое нами как единственное».Георг Кантор (основатель теории множеств)Нет строгого определения. Это основное понятие. В обиходном языке – это «совокупность», «собрание», «коллекция», «класс», «система» и тд.Это несколько объектов объединённых общим признаком (множество стульев в комнате, множество атомов на Юпитере, множество картофелин в данном мешке, множество рыб в океане, множество точек на окружности и тд).Предметы составляющие данное множество – его элементы: А = {х, у,…,z}, x A. C –множество дней недели, то С={понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}; январь С, среда  С




4Виды множествОсновные виды множеств, с которыми мы познакомимся: КонечныеПустое Бесконечные(счётные, несчётные) Счётное множество – самое маленькое из бесконечных* Несчётные множества существуют. Например: множество всех точек на прямой линии. Доказать несчётность нелегко



5Как задают множества ?Перечислением всех элементов(для конечных множеств)Указанием характеристического свойства (оно должно формулироваться тщательно, чтобы избежать неясности и двусмысленности, свойственных обычному нашему языку)

6П у с т о е м н о ж е с т в о. Зачем они нужны?Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым и обозначают ØНапример - Множество лошадей, пасущихся на луне, - множество десятиногих млекопитающих, - множество действительных решений уравнения х2 = - 4Когда множество задано характеристическим свойством, то не всегда известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством.Пустое множество единственное: нет двух разных пустых множеств.




7Это интересно!!Не решена проблема Ферма: Пусто ли множество натуральных чисел n таких, что n > 2, уравнение хn + уn =zn имеет положительные целочисленные решения. 8ПодмножествоПусть даны два множества А и В. причём каждый элемент второго множества является элементом первого множества. Тогда В называют подмножеством (или частью) множества А. Записывают это так: А  В (Читают: «множество В содержится в множестве А» или «множество А содержит множество В»). Считается, что пустое множество Ø является подмножеством любого множества.ВА



N  Z  Q  R , где N- множество натуральных чисел; Q- множество рациональных чисел; Z- множество целых чисел; R- множество действительных чиселZNRQДиаграммы Эйлера. Наглядно указанные зависимости можно изобразить с помощью так называемых кругов Эйлера:






10Операции над множествамиПересечение множеств Пересечением множеств А, В, С,… называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств. закрашенная фигура А  В  - пересечение___________________________Пересечение множеств иногда называют их произведением, а операцию пересечения – умножением множеств. Многие свойства пересечения напоминают свойства умножения чисел.


11Операции над множествамиА В Объединение или сумма множеств Объединением или суммой множеств называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. ____________________________обозначают А  В или А + В. На рис. это закрашенная фигура Если какой-нибудь элемент входит в несколько слагаемых, то в сумме он берётся лишь один раз.



12Операции над множествамиЕсли множество Х является суммой множеств А, В ,С,…, причём никакие два из них не имеют общих элементов, то говорят, что множество Х разбито на (непересекающиеся) подмножества А, В ,С,… .Примеры а) Множество натуральных чисел разбивается на подмножества чётных и нечётных чисел. б) Множество учеников в классе на подмножества учеников, фамилии которых начинаются на одну и ту же букву. Разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества называют классификацией, а полученные подмножества – классами.Разбиение множеств.



13Операции над множествами Разностью множеств А и В называют такое множество Х = А\ В или (А – В), в которое входят все элементы из А, не принадлежащие множеству В. При этом не предполагается, что множество В является частью множества А. Таким образом при вычитании множества В из А из А удаляют общую часть (пересечение) А и В: А\ В = А \ А  В.Например. А – множество всех учащихся IX класса данной школы, а В – множество всех девочек России, то Х= А\ В – множество всех мальчиков, обучающихся в IX классе этой школы.Вычитание множеств




14В случае, когда множество В является частью А , разность множеств А – В называют дополнением. Дополнением множества В до множества А называется множество всех элементов А, не являющихся элементами множества В. На рисунке это закрашенная фигура Операции над множествамиДополнение множеств


15Как сравнивать множестваВ каком случае надо говорить, что одно множество содержит столько элементов, сколько и второе? В каких случаях два бесконечных множества имеют «поровну» элементов?

16Равна ли часть целому?Основная догма, которую необходимо отбросить: «часть меньше целого» На длинном и коротком отрезках точек поровнуКак сравнивать множестваОВСDА







Трудно примериться, что дорога в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра!На всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке (т.е. между между точками прямой и отрезка можно установить взаимнооднозначное соответствие)ОАВ 18Тайны бесконечностиМатематики и философы всегда интересовались понятием бесконечности.Парадоксы бесконечности приучили древних греков к осторожности (парадокс Зенона о том, что стрела не может сдвинуться с места, Ахиллес никогда не догонит черепаху)Например: Евклид, формулировал свою знаменитую теорему о бесконечности простых чисел, выражается так: «Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел», а бесконечно много или нет – об этом Евклид умалчивает.


19 Основные заслуги в развитии теории множеств принадлежат Г. Кантору (родился в 1845 г в Петербурге, умер в 1918 г в Галле). Исследования бесконечных множеств потребовало развития математической логики. Первоначально эта область математики была очень далека от практических приложений, но впоследствии её принципы составили идейную основу конструирования электронных вычислительных машин и программирования вычислений на этих машинах.Большой вклад в теорию множеств сделан трудами советских математиков Н.Н.Лузина (1883 – 1950), П.С.Новикова, М.Я.Суслина (1894 – 1919), П.С.Александрова, А.Н. Колмогорова и др.Тайны бесконечности (2)






Используемая литература201. Виленкин Н.Я. «Рассказы о множествах»/ НАУКА главная редакция физико-математической литературы: МОСКВА 19962. Сост. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике7–9 кл/ М: Просвещение /Блох А.Я. «Числовые множества»3. Нешков К.И. и др «Множества. Отношения. Числа. Величины.» Пособие для учителей/ М: Просвещение 1978