Задачи по молекулярной физике повышенной сложности

434340011938000Задача 1 (Олимпиада «Физтех-2015). Неподвижная теплопроводящая перегородка А делит объем теплоизолированного цилиндра на два отсека, в которых находится по v моль гелия. Во втором отсеке газ удерживается подвижным, теплоизолированным поршнем В. Наружное атмосферное давление равно Р0. В начальном состоянии температура гелия в первом отсеке больше, чем во втором. В результате медленного процесса теплообмена через перегородку температура в отсеках начинает выравниваться, а поршень перемещается. По окончании процесса теплообмена температура в первом отсеке уменьшается на ∆T1 (∆T1>0). Трением поршня о цилиндр, теплоемкостью стенок цилиндра и поршня пренебречь.
1) Найдите изменение температуры во втором отсеке.
2) Найдите изменение объема гелия во втором отсеке.
Решение. На что надо сразу обратить внимание при решении этой задачи (за что зацепиться?). Так как между отсеками происходит теплообмен, и поршень В при этом перемещается, то ясно, что без первого закона термодинамики не обойтись. Кроме того, гелий — одноатомный газ, что учтём для выбора вида записи уравнения его внутренней энергии. Перегородка А неподвижна. Стало быть, более нагретый «левый» гелий делится частью своей внутренней энергии, которая без совершения работы (перегородка А закреплена) предаётся в виде некоторого количества теплоты. По первому закону термодинамики для первого отсека количество теплоты, отданное в правый отсек Q=∆U1 или Q=32νR∆T1. Модуль в первой записи поставлен потому, что ∆U отрицательна (энергия уменьшается), а по условию ∆T1>0. С другой стороны для правого отсека первый закон термодинамики запишется в виде Q=Aг+∆U2. Здесь Aг — работа гелия в правом отсеке по перемещению поршня 2, а ∆U2 — изменение внутренней энергии «правого» гелия. Так как справа от поршня давление Р0, а процесс медленный, то и давление гелия во втором отсеке тоже равно Р0. При этом, как известно, Aг=P0∆V=νR∆T2, а ∆U2=32νR∆T2. Следовательно, 32νR∆T1=νR∆T2+32νR∆T2 Отсюда ∆T2=35∆T1. И наконец, так как с одной стороны Aг=P0∆V, а с другой стороны Aг=νR∆T2=35νR∆T1, то P0∆V=35νR∆T1 и ∆V=35νR∆T1P0.
Ответ: 1) ∆T2=35∆T12) ∆V=35νR∆T1P0445706511493500Задача 2 (Олимпиада «Физтех-2015). В тонкостенную колбу впаяна длинная тонкая стеклянная трубка постоянного внутреннего сечения (см. рис.). В трубке находится капелька ртути, отделяющая воздух в колбе от окружающего воздуха. Изменение температуры окружающего воздуха при постоянном атмосферном давлении приводит к смещению капельки - получаем газовый термометр. При температуре t1=17 ̊C капелька находится на расстоянии L1 =20 см от колбы, а при температуре t2=27 ̊C - на расстоянии L2=30 см. Какую минимальную температуру можно измерить этим термометром? Атмосферное давление считать неизменным.
Решение. Так как давление окружающего воздуха не изменяется, то и давление внутри колбы также не изменяется. Поэтому процессы с заданным в колбе воздухом можно считать изобарным. Будем считать, что объём воздуха внутри колбы равным V0+LS, где V0 — это объём шарообразной по рисунку части колбы, L — длина трубки от колбы до капельки ртути, S — площадь сечения трубки. Понятно, что минимальной температуре Tmin, которую можно измерить с помощью этого газового термометра, соответствует положение ртутной капельки у основания трубки в месте её соединения с колбой. Объём воздуха равен при этом V0. Тогда в полном соответствии с законом Гей-Люссака V0+L1ST1=V0Tmin и V0+L2ST2=V0Tmin. Преобразуем эти уравнения
V0+L1S=T1TminV0 и V0+L2S=T2TminV0L1S=V0T1Tmin-1 и L2S=V0T2Tmin-1Разделив одно уравнение на второе, получим
T1-TminT2-Tmin=L1L2И, наконец,
Tmin=L2T1-L1T2L2-L1=270K=-3°CОтвет: -3°C
Задача 3 (Олимпиада «Физтех-2014). Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермического расширения, изохорического охлаждения и адиабатического сжатия. Работа газа при расширении в 10 раз больше работы газа цикл.
Во сколько раз работа газа при расширении больше работы над газом при сжатии?
Найдите КПД цикла.
437832521717001
2
3
P
V
4
5
1
2
3
P
V
4
5
Решение. Построим график цикла работы газа. Здесь 1-2 — изотерма, 2-3 — изохора, 3-1 — адиабата. Работа при изотермическом расширении численно равна площади фигуры 1-2-5-4-1, т.е. S1-2-5-4-1=A12, работа газа за цикл — это площадь фигуры 1-2-3-1, т.е. S1-2-3-1=A123, а работа над газом при сжатии — площадь фигуры 3-5-4-1-3, т.е. S3-5-4-1-3=-A31. Тогда S1-2-5-4-1=10∙S1-2-3-1. Кроме того, S3-5-4-1-3=S1-2-5-4-1-S1-2-3-1=9∙S1-2-3-1. Отсюда A12A31=109. За весь цикл тепло поступает только на участке 1-2. При этом температура не меняется, а потому всё количество теплоты идет на работу А12. И тогда КПД=A123A12=0,1.
Ответ: 109, 0,1
4415790164465P
V
1
2
3
0
00P
V
1
2
3
0
Задача 4. (ДВИ МГУ 2013 г) Давление р и объем V идеального газа циклически изменяют в соответствии с рV-диаграммой, показанной на рисунке. Известно, что работа газа на участке 1-2 в n=2 раза больше, чем модуль его работы на участке 3-1. Определите отношение k максимальной и минимальной абсолютных температур газа в этом цикле.
Решение. Понятно, что максимальная температура буде в точке 2, а минимальная — в точке 1.На участке 1-2 зависимость давления от объёма прямо пропорциональная, поэтому
P1V1=P2V2 или P1P2=V1V2.
Для состояний 1 и 2 уравнение состояния имеет вид P1V1=νRT1 и P2V2=νRT2, где ν — количество вещества. Отсюда, P1P2∙V1V2=T1T2, затем P12P22=T1T2 и P1P2=T1T2.
Работа газа в предложенных координатах численно равна площади фигуры под графиком. Поэтому для участка 1-2
A12=P1+P2V2-V12=P1V2+P2V2-P1V1-P2V12=P2V2-P1V12,
а для участка 3-1 (с учётом V3=V2)
A31=P1V3-V1=P1V2-P1V1.
Тогда, как видно из условия
n=A12A31=12∙P2V2-P1V1P1V2-P1V1=12∙1-P1V1P2V2P1P2-P1V1P2V2.
С учётом предыдущих выражений
n=A12A31=12∙1-T1T2T1T2-T1T2.
Отсюда находим
k=T2T1=2n-12=9Ответ: 9
Задача 5. (ЕГЭ 2014 г) В камере, заполненной азотом, при температуре Т0=300 К находится открытый цилиндрический сосуд (см. рис. 1). Высота сосуда L=50 см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры Т1. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным h=40 см (см. рис. 2). Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры Т0. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным H=46 см (см. рис. 3). Чему равна температура Т1? Величину силы трения между пробкой и стенками сосуда считать одинаковой при движении пробки вниз и вверх. Массой пробки пренебречь. Давление азота в камере во время эксперимента поддерживается постоянным.

Решение. Для каждого из состояний запишем уравнение Менделеева-Клапейрона. Учтём при этом, что во втором состоянии сила давления в камере уравновешивается силой давления в пробирке и силой трения. В третьем же состоянии сила давления в пробирке уравновешивается силой давления в камере и силой трения. Поэтому
P0SL=νRT0 для первого состояния;
P0-FтрSSh=νRT1 для второго состояния;
P0+FтрSSH=νRT0 для третьего состояния;
Уравнения перепишем в виде
P0S=νRT0LP0S-Fтр=νRT1hP0S+Fтр=νRT0HСложив два последних уравнения и учтя первое, получим
2νRT0L=νRT1h+νRT0HОтсюда
2T0L=T1h+T0HИ, наконец,
T1=T0h2L-1H=300∙0.4∙20.5-10.46=219 КОтвет: T1=T0h2L-1H=219 К
Задачи для самостоятельного решения.
(Олимпиада «Физтех-2015). 434403516319500В тонкостенную колбу впаяна длинная тонкая стеклянная трубка постоянного внутреннего сечения (см. рис.). В трубке находится капелька ртути, отделяющая воздух в колбе от окружающего воздуха. Изменение температуры окружающего воздуха при постоянном атмосферном давлении приводит к смещению капельки - получаем газовый термометр. При температуре t1=7 ̊C капелька находится на расстоянии L1=20 см от колбы, а при температуре t2=17 ̊C — на расстоянии L2=40 см. Какую максимальную температуру можно измерить этим термометром, если длина трубки L3=60 см? Атмосферное давление считать неизменным.
422910019304000(Олимпиада «Физтех-2015). Неподвижная теплопроводящая перегородка А делит объем теплоизолированного цилиндра на два отсека, в которых находится по v моль гелия. Во втором отсеке газ удерживается подвижным, теплоизолированным поршнем В. Наружное атмосферное давление равно Р0. В начальном состоянии температура гелия в первом отсеке равна Т1, а во втором — Т2, причем Т1>Т2 . В результате медленного процесса теплообмена через перегородку температура в отсеках начинает выравниваться, а поршень перемещается. Трением поршня о цилиндр, теплоемкостью стенок цилиндра и поршня пренебречь.
Какая температура установится после окончания процесса теплообмена?
Найдите изменение объема гелия во втором отсеке.
(Олимпиада «Физтех-2014). Идеальный газ совершает цикл, состоящий из адиабатического расширения, изотермического сжатия и изохорического нагревания. Работа газа при расширении в 9 раз больше работы газа за цикл.
Во сколько раз работа газа при расширении больше работы над газом при сжатии?
Найдите КПД цикла.
(Олимпиада «Физтех-2014). Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермического расширения, изохорического охлаждения и адиабатического сжатия, КПД которого равен η.
Во сколько раз работа газа при расширении больше работы над газом при сжатии?
Найдите отношение работы газа за цикл к отведенному теплу.
(ДВИ МГУ 2013 г) 4453890105410P
V
1
2
3
0
P
V
1
2
3
0
Давление P и объем V гелия циклически изменяют в соответствии с PV-диаграммой, показанной на рисунке. Известно, что внутренняя энергия гелия в состоянии 2 в n=4 раза больше, чем внутренняя энергия гелия в состоянии 1. Определите отношение k количества теплоты, отданного гелием на участке 2-3, к работе гелия на участке 1-2.
(ДВИ МГУ 2013 г) 445706569215P
V
1
2
3
0
P
V
1
2
3
0
Давление P и объем V неона циклически изменяют в соответствии с рV-диаграммой, показанной на рисунке. Известно, что внутренняя энергия неона в состоянии 3 в n=3 раза больше, чем внутренняя энергия неона в состоянии 1. Определите отношение k работы неона на участке 1-2 к модулю работы на участке 3-1.