Исследовательская работа по математике Приемы устного счета и их применение
Исследовательская работа
по математике
на тему:
Приемы устного счета и их применение
Выполнила: ученица 7 класса
Буракова Ксения
Руководитель: учитель математики
Нюренберг Е.Н.
Белорецк
2014
План
Введение
Приемы устного счета и их применение:
а) Умножение и деление на 10
б) Умножение и деление на 4
в) Умножение и деление на 5
г) Умножение и деление на 25
д) Умножение и деление на 125
е) Умножение на 1,5
ж)Умножение на 9 и на 11
з) Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5
и) Умножение двузначных чисел от 10 до 20
к) Умножение двузначных чисел, близких к 100
Выводы
Список литературы
Введение
В настоящее время у многих учеников счет без калькулятора вызывает затруднения. Широкая доступность различных технических средств (компьютеры, калькуляторы, мобильные телефоны) привела к тому, что все большее количество учащихся средних и старших классов не могут быстро произвести вычисления письменно, а тем более в уме. При этом умение считать без калькулятора бывает необходимо не только на уроках математики, при сдаче экзаменов в форме ЕГЭ, но и в повседневной жизни. Поэтому необходимо выяснить, существуют ли какие-либо приемы, облегчающие устный счет.
Цель работы - изучить некоторые приемы быстрого устного счета и научить применять их на практике.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
Изучение теоретического материала по данной теме.
Выделение и обобщение различных приемов быстрого устного счета.
Обоснование приемов устного счета с помощью законов алгебры.
Определение наглядного метода демонстрации приемов устного счета
Создание медиаресурса в форме презентации, наглядно демонстрирующей применение приемов устного счета на примерах.
Был изучен материал, как входящий в школьную программу, так и дополнительный по данной теме. На основании этого были сформулированы приемы быстрого умножения, деления и возведения в квадрат различных чисел. Все эти методы подробно описаны в работе.
Также была поставлена цель – научить учащихся применять рассмотренные приемы устного счета на практике. Для этого создан медиаресурс в форме презентации Microsoft Powerpoint, наглядно демонстрирующий описанный в работе материал на примерах.
Приемы устного счета и их применение
В ходе анализа и обобщения теоретического материала по теме были выделены и изучены следующие приемы устного счета:
Умножение и деление на 10
Чтобы умножить число на 10, необходимо дописать в конце числа ноль, либо перенести запятую на один знак вправо, если число не целое. Например:
12·10=120
14,5·10 = 145
Чтобы разделить число на 10 необходимо в исходном числе отделить запятой последнюю цифру, либо перенести запятую на один знак влево, если число не целое. Например:
240:10=24
568:10=56,8
55,84:10 = 5,584
2.Умножение и деление на 4
Чтобы умножить или разделить на 4,его дважды удваивают. Например:
213·4=(213·2)·2=213·2=852
Чтобы разделить на 4,его дважды делят на 2. Например:
124:4=(124:2)=62:2=31.
3.Умножение и деление на 5.
Чтобы умножить число на 5 нужно умножить это число на 10/2, т.е. умножить на 10 и разделить на 2. Например:
138·5=(138 ·10): 2=1380:2=690
Чтобы разделить на 5,нужно умножить его на 0,2, т.е. в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру. Например:
345:5=345 · 0,2=69;
71: 5=71 · 0,2=14,2
4.Умножение и деление на 25
Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4,т.е. умножить на 100 и разделить на 4. Например:
348 ·25=34800:6=8700
Чтобы разделить число на 25, нужно умножить число на 4 и разделить на 100. Например:
348:25=(348· 4):100=(348·2· 2):100=1392:100=13,92
5.Умножение и деление на 125
Чтобы умножить число на 125, нужно умножить число на 1000 и разделить на 8. Например:
348·125=(348·1000):8=(348·1000):4:2=348000:4:2=43500
Чтобы разделить число на 125, нужно умножить его на 8 и разделить на 1000. Например:
43500:125 = (43500·8):1000 = (43500·2·2·2):1000 = 348000:1000=348
6. Умножение на 1,5
Чтобы умножить число на 1,5 нужно к исходному числу прибавить его половину. Например:
2
·4 · 1,5=24+12=36;
129 ·1,5=129+64,5= 193,5
7. Умножение на 9 и на 11
Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают ноль (т.е. умножают на 10) и отнимают исходное число. Например:
241·9=2490-241=2169
Чтобы умножить число на 11,к нему приписывают ноль (т.е. умножают на 10) и прибавляют исходное число. Например:
241·11=2410+241=2651
8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1=7), и к полученному числу приписывают 25 (6 · 7=42) Ответ: 4225. Например:
95І =9025
125І =15625.
Обоснование алгоритма возведения таких чисел в квадрат можно дать с помощью алгебры.
Число, оканчивающееся 5, записывается в виде 10п+5,где п-число десятков. Тогда
(10п+5) І =(10п)І+2·10п·5+5І=100пІ+100п+25=100п(п+1)+25
/ \ЧИСЛО ДЕСЯТКОВ+1
ЧИСЛО ДЕСЯТКОВ
9. Умножение двухзначных чисел от 10 до 20
Чтобы перемножить два двузначных числа от 10 до 20, надо к первому числу прибавить цифру единиц второго числа, полученное число умножить на 10 и к результату прибавить произведение единиц. Например:
12·17=(12+7)·10+2·7=190+14=204
Обоснование использованного алгоритма умножения дадим с помощью алгебры. Любое двузначное число от 10 до 20 можно записать в виде (10+a), где a – цифра единиц числа.
(10+a) ·(10+b) = 10·10+a·10+b·10+a·b = (10+a+b) ·10+a·b = ((10+a) +b) ·10+a·b
10.Умножение двузначных чисел, близких к 100.
Если нужно перемножить два двузначных числа, близких к 100 (например, 92 и 97), то:
1) найдите число, которое в сумме с данным числом дает 100, и запишите его под соответственным числом:
92 и 97
+ +
8 3;
2) вычтите из одного множителя число, которое недостает до 100 во втором множителе (92-3=89);
3) к результату припишите произведение чисел, дополняющих данные числа до 100 (8924). Если произведение представляет собой трехзначное число, то приписываются две последние цифры произведения, а третья цифра прибавляется к разности.
Примеры :
86 · 98; 86-2=84; 14 · 2=28 Ответ: 8428
+ +
14 2
2) 88 ·91; 88-9=79; 12 ·9= 108
+ +
9
Ответ: 8008 (к 79 приписали две последние цифры числа 108, а 1 добавили к разряду сотен).
Обоснование использованного алгоритма умножения дадим с помощью алгебры. Пусть нужно перемножить числа х и у, близкие к 100.Запишем эти числа так:
х=100-а, где а – недостаток числа х до 100;
у=100- b, где b- недостаток числа у до 100.
Тогда xy= (100-а) (100-b)= (100-а)100- (100-а)b=(100-а)100-100b+аb=(100-а- -b)100+аb= (х-b)100+аb
Разность одного произведение чисел, дополняющих множители до 100
множителя и числа, дополняющего
второй множитель до 100
Выводы
Приведенные выше методы быстрого умножения, деления и возведения в квадрат помогают значительно облегчить вычисления, выполняемые письменно или устно. По аналогии с рассмотренными приемами можно также вывести другие алгоритмы ускоренного и упрощенного счета.
Список литературы
Гайштут А.Г. Приемы интенсификации обучения математике в 4-5 классах. – Киев, 1980.
Ткачева М.В. Домашняя математика: Кн. Для учащихся 7 кл. сред.шк. – М., 1993.
Зубарева И.И., Мордкович А.Г.Математика. 5 кл. – М., 2004.
13PAGE 15
13PAGE 14215