Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета
Конспект урока
учителя математики
МБОУ СОШ №2 г. Ворсма
Киселевой Ларисы Алексеевны
Тема: «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»
Цель урока: Введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.
Задачи:
Образовательные:
Ввести понятие приведенного квадратного уравнения,
Вывести формулу корней приведенного квадратного уравнения,
Сформулировать и доказать теорему Виета,
Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета,
Научить учащихся решать приведенные квадратные уравнения, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета.
Развивающие:
развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать;
Воспитательные:
воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
Оборудование: учебник алгебры под ред. Алимова и др., тетрадь, раздаточный материал, презентация к уроку.
План урока.
№
Этап урока
Содержание (цель)этапа
Время (мин)
1
Организационный момент
Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.
1
2
Проверка домашнего задания
Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.
2
3
Проверочная работа
Разбор работы, ответы на вопросы.
10
4
Изучение нового материала
Формирование опорных знаний, формулировка правил, решение задач, анализ результатов, ответы на вопросы учащихся.
14
5
Закрепление изученного материала
Усвоение изученного материала путем его применения при решении задач по аналогии под контролем учителя.
15
6
Подведение итогов урока
Оценка знаний отвечавших учеников. Проверка знаний и понимания формулировок правил методом фронтального опроса.
2
7
Домашнее задание
Ознакомление учащихся с содержанием задания и получение необходимых пояснений.
1
8
Дополнительные задания
Разноуровневые задания для обеспечения развития учащихся.
-
Ход урока.
Организационный момент. Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.
Проверка домашнего задания. Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.
№
Уравнение
а
b
c
D
Количество корней
1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
Б) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет:
Один корень,
Два различных корня.
Вариант №2.
Решите уравнения:
А) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
Б) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет:
Один корень,
Два различных корня.
Проверочная работа выполняется на отдельных листах, сдается учителю на проверку.
После сдачи работы решение высвечивается на экран.
Изучение нового материала.
4.1. Франсуа Виет – французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III и Генриха II.
Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом.
Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»
Как связаны между собой корни квадратного трёхчлена [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема , которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета, которую мы будем сегодня изучать.
Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.
4.2.Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения.
Определение. Квадратное уравнение вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется приведенным.
Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице.
Пример. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Всякое квадратное уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] может быть приведено к виду [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Например, уравнение 7Х2 – 12Х + 14 = 0 делением на 7 приводится к виду
Х2 – 12/7Х + 2 = 0
4.3. Вывести формулы корней приведенного квадратного уравнения.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- корни уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то справедливы формулы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
После этого учителем проводится доказательство теоремы. Затем совместно с учащимися делает вывод.
Пример. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. p=-5,q=6.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Значит числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- числа
положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых
равно 6, а сумма равна 5. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=2, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=3 – корни уравнения.
4.5. Применение теоремы Виета.
С её помощью можно:
· Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,
· Зная один из корней, найти другой,
· Определить знаки корней уравнения,
· Подобрать корни уравнения, не решая его.
4.6. Сформулируем теорему обратную теореме Виета.
Если числа p, q, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] таковы, что удовлетворяют соотношения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ,[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - корни квадратного уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, выносится на дом для самостоятельно изучения сильным учащимся.
4.7. рассмотреть решение задачи 5 на странице учебника
· 125.
Закрепление изученного материала
№ 450 (1)
№ 451 (1, 3, 5) - устно
№ 452 (устно)
№ 455 (1,3)
№ 456 (1, 3)
Подведение итогов урока.
Ответьте на вопросы:
Какие уравнения называются приведенными?
Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?
Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения
Сформулируйте теорему Виета.
Чему равна сумма и произведение корней уравнения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
· Зачем нужна теорема Виета?
· Сформулируйте обратную теорему теореме Виета.
Домашнее задание.
§29 (до задачи 6), № 450(2,4,6); 455(2,4); 456(2,4,6).
Дополнительные задания.
Уровень А.
Найдите сумму и произведение корней уравнения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.
Уровень В.
1.Найдите сумму и произведение корней уравнения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Уровень С.
1. Разобрать доказательство теоремы, обратной теореме Виета
2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Схема конспекта урока
Этапы работы
Содержание этапа
1.
Организационный момент, включающий:
постановку цели, которая должна быть достигнута учащимися на данном этапе урока (что должно быть сделано учащимися, чтобы их дальнейшая работа на уроке была эффективной)
определение целей и задач, которых учитель хочет достичь на данном этапе урока;
описание методов организации работы учащихся на начальном этапе урока, настроя учеников на учебную деятельность, предмет и тему урока (с учетом реальных особенностей класса, с которым работает педагог)
Программные требования к математической подготовке учащихся по этой теме заключается в введении понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы (из программы для общеобразовательных учреждений).
Учащиеся 8-го класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Лучший способ организовать внимание – так организовать учебную деятельность, чтобы у учеников не было ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.
На основании сказанного выше целью урока является решение следующих задач: а) образовательные: введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.
б) развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать; в) воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.
Для того, чтобы учащиеся восприняли урок как логически законченный, целостный, ограниченный во времени отрезок учебно-воспитательного процесса, он начинается с постановки обоснования задач и заканчивается подведением итогов и постановкой задач на следующие уроки.
2.
Опрос учащихся по заданному на дом материалу, включающий:
определение целей, которые учитель ставит перед учениками на данном этапе урока (какой результат должен быть достигнут учащимися);
определение целей и задач, которых учитель хочет достичь на данном этапе урока;
описание методов, способствующих решению поставленных целей и задач;
описание критериев достижения целей и задач данного этапа урока;
определение возможных действий педагога в случае, если ему или учащимся не удается достичь поставленных целей;
описание методов организации совместной деятельности учащихся с учетом особенностей класса, с которым работает педагог;
описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе опроса;
описание методов и критериев оценивания ответов учащихся в ходе опроса.
На первом этапе происходит фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся. При этом происходит повторение решения квадратных уравнений и закрепление определения количества корней по его дискриминанту. Осуществляется переход к определению приведенного квадратного уравнения.
На втором этапе рассматриваются уравнения двух видов. Чтобы учащиеся не уставали от однообразной работы, применяются различные формы работы и варианты заданий, включены задания более высокого уровня (с параметром).
Устная работа учащихся чередуется с письменной, которая состоит в обосновании выбора способа решения квадратного уравнения, анализе решения уравнения
Одним из приёмов педагогической поддержки, является использование в качестве наглядности информационных технологий, которые помогают учащимся разных уровней подготовленности легко усваивать материал, поэтому отдельные моменты урока проводятся с использованием презентации (показ решения самостоятельной работы, вопросы, домашнее задание)
3.
Изучение нового учебного материала. Данный этап предполагает:
постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);
определение целей и задач, которые ставит перед собой учитель на данном этапе урока;
изложение основных положений нового учебного материала, который должен быть освоен учащимися;
описание форм и методов изложения (представления) нового учебного материала;
описание основных форм и методов организации индивидуальной и групповой деятельности учащихся с учетом особенностей класса, в котором работает педагог;
описание критериев определения уровня внимания и интереса учащихся к излагаемому педагогом учебному материалу;
описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе освоения нового учебного материала
Дается определение приведенного квадратного уравнения. Учитель совместно с учениками проводит вывод формул корней приведенного квадратного уравнения, учащиеся осознают значимость учебного материала урока. Разбор формулировки и доказательства теоремы Виета также происходит совместно с учениками
Такая работа является также закреплением изучения нового материала.
Методы:
наглядный;
практический;
словесный;
частично-поисковый
4.
Закрепление учебного материала, предполагающее:
постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);
определение целей и задач, которые ставит перед собой учитель на данном этапе урока;
описание форм и методов достижения поставленных целей в ходе закрепления нового учебного материала с учетом индивидуальных особенностей учащихся, с которыми работает педагог.
описание критериев, позволяющих определить степень усвоения учащимися нового учебного материала;
описание возможных путей и методов реагирования на ситуации, когда учитель определяет, что часть учащихся не освоила новый учебный материал.
Закрепление учебного материала происходит при ответах на вопросы и в работе с учебником:
- Разбор задачи №5 на странице 125;
- решение упражнений
№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) – устно, 452 (устно);
455 (1,3); 456 (1, 3)
На протяжении всего урока наблюдается высокая активность учащихся, учитель имеет возможность опросить всех учащихся класса, а некоторых даже не один раз.
Подводится итог урока в форме фронтального опроса учащихся по вопросам:
Какие уравнения называются приведенными?
Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?
Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения
Сформулируйте теорему Виета.
Чему равна сумма и произведение корней уравнения:
5.
Задание на дом, включающее:
постановку целей самостоятельной работы для учащихся (что должны сделать учащиеся в ходе выполнения домашнего задания);
определение целей, которые хочет достичь учитель, задавая задание на дом;
определение и разъяснение учащимся критериев успешного выполнения домашнего задания.
В домашней работе предполагается, что учащиеся работают в соответствии со своими возможностями. Сильные учащиеся работают самостоятельно и в конце работы имеют возможность проверить правильность своих решений, сверив их с решениями, записанными на доске в начале следующего урока. Другие учащиеся могут получить консультацию своих одноклассников или учителя. Слабые учащиеся работают, опираясь на примеры, используют решения уравнений, разобранных в классе. Таким образом, создаются условия для работы на различных уровнях сложности.
Список литературы:
Ш.А. Алимов и др., Алгебра 8, М.: Просвещение, 2010;
В.И. Жохов, Дидактические материалы, 8 класс, М.: Просвещение, 2010;
Ю.М. Колягин, Изучение алгебры в 7-9 классах, М.: Просвещение, 2004;
Интернет – ресурсы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]