Разработка Методы решения логарифмических уравнений (10 класс)

Тема: «Логарифмические уравнения»
Методы решения логарифмических уравнений:
При решении логарифмических уравнений применяются все свойства логарифмов.
Образцы решения логарифмических уравнений:
Решение уравнения по определению логарифма
Решите уравнение log67-2х = 2
7 – 2х = 62
7 – 2х = 36
– 2х = 36 – 7
– 2х = 29
х = 29 : (-2)
х = - 14,5
Проверка: log67-2∙(-14,5) = log67+29= log636= 2
Ответ: - 14,5
Решите уравнение: log3х+1 + log3х+3 = 1
По свойству логарифмов: log3(х+1х+3) = 1
По определению логарифма: (х + 1)(х + 3) = 31
х2 + 3х + 1х + 3 = 3
х2 + 4х = 3 – 3
х2 + 4х = 0
х(х + 4) = 0
х1 = 0 и х + 4 = 0
х2 = - 4
Проверка: при х1 = 0 log30+1 + log30+3 = log31 + log33 = 0 + 1 = 1, верное равенство;
при х2 = - 4 log3-4+1 + log3-4+3 = log3-3 + log3-1, выражение не имеет смысла, т.к. под знаком логарифма не может быть отрицательного числа.
Ответ: 0
Решение уравнения методом потенцирования
log35х+4= log37-хМетод потенцирования применим тогда, когда логарифмы имеют равные основания.
5х + 4 = 7 –х
5х + х = 7 – 4
6х = 3
х = 3 : 6
х = 0,5
Проверка: log35∙0,5+4= log37-0,5 log36,5= log36,5, данное выражение имеет смысл.
Ответ: 0,5
Решите уравнение: 12lgх2+х-5= lg5х+lg15хРешение: по свойствам логарифма получим: lgх2+х-512 = lg5х∙15х по свойству а= а12 запишем: lgх2+х-5 = lg1 Потенцируем уравнение: х2+х-5 = 1
х2+х-52 = 12
х2+х-5 = 1
х2+х-6 = 0, а = 1, b = 1, с = -6
По т. Виета запишем: х1 + х2 = - b х1+ х2= -1х1∙ х2= -6; х1 = - 3 и х2 = 2
х1 ∙ х2 = с
Проверка: при х = -3 в правой части уравнения одно из выражений lg-15 не имеет смысла. Значит, -3 не является корнем уравнения
При х = 2 12lg22+2-5= lg5∙2+lg15∙2 → 12lg1= lg10+lg110 → lg1 = lg1, данное равенство верно. Значит, 2 является корнем уравнения.
Ответ: 2
Метод логарифмирования. Решите уравнение хlgх=10Решение: прологарифмируем обе части уравнения lgхlgх = lg10 по свойству логарифма № 3а получим: lgхlgх = 1
получили квадратное логарифмическое уравнение: lgх2 = 1
его решение: lgх=1 и lgх= -1 по определению: х = 101 и х = 10-1
х = 10 и х = 110Вместо проверки можно находить область определения данного уравнения. По определению под знаком логарифма может быть только положительное значение, значит х > 0.
Область определения: х > 0, 10 >0 и 110>0, верные неравенства.
Ответ: 110, 10
Метод замены. Решите уравнение lg2х - 3lgх + 2 = 0
Решение: введём переменную у, у = lgх у2 – 3у + 2 = 0, а = 1, b = - 3, с = 2
По т. Виета запишем: у1+ у2=3у1 ∙у2=2 Получим: у1 = 2, у2 = 1
Произведём замену lgх = 2 и lgх=1По определению логарифма: х = 102 и х = 101
х1 = 100 и х2 = 10
область определения: х > 0, 100 > 0, 10 > 0, верные неравенства.
Ответ: 10,100