Занятие математического кружка 5 — 6 класс по теме Разные задачи на проценты

Занятие математического кружка
«Разные задачи на проценты»
Немного теории
Процентом числа называется его сотая часть, например, 1% - это одна сотая часть числа, 1% от числа 300 – это число 3, 7% – это семь сотых числа, 7% числа 300 – это число 21.
Полезно запомнить следующие соотношения:
100% числа х – это само число х;
50% числа х – это половина числа х, т.е. 0,5х;
25% числа х – это четверть числа х, т.е. 0,25х;
75% числа х – это три четверти числа х, т.е. 0,75х;
20% числа х – это пятая часть числа х, т.е. 15 х или 0,2х;
10% числа х – это десятая часть числа х, т.е. 0,1х.
При решении задач на проценты могут встречаться три случая:
Нахождение процентов от данного числа (или части от числа).
Пример 1. Найти 17% от числа 400.
Решение:
0,17 ∙ 400 = 68.
Ответ: 68.
Пример 2. В бригаде работают 60 человек, из них 15% женщины. Определите, сколько женщин в бригаде?
Решение:
Требуется найти 15% от числа 60, т.е. нужно найти 15100 от 60. В этом случае задача сводится к нахождению части от числа, т.е. 15100 ∙ 60 = 9 (женщин).
Ответ: 9 женщин.
Нахождение числа по его процентам (или числа по его части).
Пример 1. Найти число, 12% которого равны 45.
Решение:
12% искомого числа нам известны – это 45. Примем неизвестное число за х. Составим пропорцию.
12% – 45
100% – х1245 = 100х, х = 45 ∙10012 = 375.
Ответ: 375.
Пример 2. Найдите размер вклада, 25% которого составляет 160 тыс. руб.
Решение:
1 способ: 1% вклада составляет 16025 тыс. руб, тогда весь вклад, принятый за 100%, равен 16025 ∙ 100 = 640 тыс. руб.
Ответ: 640 тыс. руб.
2 способ: Т.к. 25% некоторого числа – это одна четвертая часть числа, т.е. задача сводится к нахождению целого по заданному значению его части. Для этого 160 : 14 = 160 ∙ 4 = 640 тыс. руб.
Ответ: 640 тыс. руб.
Нахождение процентного отношения двух чисел.
Пример 1. Каково процентное содержание меди в руде, если на 225 кг руды приходится 34,2 кг меди?
Решение:
Содержание меди в руде составляет 34,2225 частей, или 34,2225 ∙ 100 = 15,2 %.
Ответ: 15,2%
Пример 2. Сколько процентов составляет 120 от 600?
Решение:
120600 ∙ 100% = 20 %.
Ответ: 20%
Условия задач
Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?
Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Квартплата составляла 2000 р. Какой стала квартплата после ее увеличения на 30%?
Семья состоит из мужа, жены и их сына – студента. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия сына уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Четыре майки дешевле пиджака на 8%. На сколько процентов пять маек дороже пиджака?
Магазин в первый день продал 40% имеющихся фруктов. За второй день он продал 80% фруктов, проданных в первых день. В третий день – оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов фруктов было в магазине первоначально?
Цена изделия составляла 1000 р. и была снижена сначала на10%, а затем еще на 20%. Найдите окончательную цену товара.
Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?
Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?
Собрали 100 кг грибов. Их влажность составляла 99%. За день грибы немного подсохли, и их влажность составила 98%. Сколько стали весить грибы?
Решение задач
Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?
Решение:
Первоначальный спрос на товар (Х) составлял 100%. После увеличения спрос стал 5Х. Т.е. увеличение составило 4Х или 400%.
Ответ: на 400%.
Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?
Решение:
Первоначальный объем товаров (Х) составлял 100%. После увеличения он стал Х + 2Х = 3Х. Т.е. произошло увеличение в 3 раза, по сравнению с первоначальным объемом.
Ответ: в 3 раза.
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решение:
Пусть х р. – стоили акции в понедельник до подорожания;
ɑ – количество процентов, на которое подорожали акции;
х + 0,01ɑх р. – стоили акции в понедельник;
х + 0,01ɑх – 0,01ɑ (х + 0,01ɑх) р. – стоили акции во вторник;
По условию задачи стоимость акций во вторник на 4% дешевле, чем до подорожания в понедельник, т.е. составляет 0,96 х р.
Получим уравнение: х + 0,01ɑх – 0,01ɑ (х + 0,01ɑх) = 0,96х.
Решив уравнение, получим ɑ = 20.
Ответ: на 20% подорожали акции компании в понедельник.
Квартплата составляла 2000 р. Какой стала квартплата после ее увеличения на 30%?
Решение:
2000 р. – составляют 100%,
х р. – составляет 130 %.
Отсюда, х = (2000 ∙ 130) : 100 = 2600.
Ответ: 2600 р.
Семья состоит из мужа, жены и их сына – студента. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия сына уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение:
Т.к. при увеличении зарплаты мужа вдвое общий доход увеличивается на 67%, то 67% дохода составляет зарплата мужа.
Т.к. при уменьшении стипендии сына втрое общий доход сокращается на 4%, т.е. 23 стипендии сына составляет 4%, отсюда вся стипендия сына составляет 6%.
Значит, зарплата жены составляет 100 – (67 + 6) = 27% общего дохода семьи.
Ответ: 20%.
Четыре майки дешевле пиджака на 8%. На сколько процентов пять маек дороже пиджака?
Решение:
1 способ:
100% – составляет стоимость пиджака;
100 – 8 = 92(%) – составляет стоимость четырех маек;
92 : 4 = 23(%) – составляет стоимость одной майки;
23 ∙ 5 = 115(%) – составляет стоимость пяти маек;
115 – 100 = 15(%) – на столько процентов пять маек дороже пиджака.
Ответ: на 15%.
2 способ:
Пусть а руб. – стоимость одной майки, с руб. – стоимость одного пиджака.
Т.к. 4ac = 92100, то ac = 23100, следовательно, 5ac = 115100, т.е. на 115 – 100 = 15% пять маек дороже пиджака.
Ответ: на 15%.
Магазин в первый день продал 40% имеющихся фруктов. За второй день он продал 80% фруктов, проданных в первых день. В третий день – оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов фруктов было в магазине первоначально?
Решение:
Пусть х кг – вес имевшихся в магазине фруктов. Тогда в первый день было продано 0,4 ∙ х (кг), а во второй день – 0,8 ∙ (0,4 ∙ х) кг. Учитывая, что в третий день было продано 28 кг фруктов, составим и решим уравнение:
0,4 ∙ х + 0,8 ∙ (0,4 ∙ х) + 28 = х,
0,28 х = 28,
х = 100.
100 кг фруктов было в магазине первоначально.
Ответ: 100 кг.
Цена изделия составляла 1000 р. и была снижена сначала на10%, а затем еще на 20%. Найдите окончательную цену товара.
Решение:
Подобные задачи удобно решать с помощью рассуждений:
0,1 ∙ 1000 = 100 р. – составляет 10 % от цены изделия,
1000 – 100 = 900 р. – цена после первого снижения,
0,2 ∙ 900 = 180 р. – составляет второе снижение цены товара,
900 – 180 = 720 р. – окончательная цена товара.
Ответ: 720 р.
Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?
Решение:
Пусть х р. – первоначальная цена товара,
1,25 х р. – цена товара после первого повышения,
0,1 ∙ 1,25 х р. – второе повышение цены,
1,25 х + 0,1 ∙ 1,25 х = 1, 375 х р. – цена товара после второго повышения,
0,12 ∙ 1,375 х = 0,165 х р. – третье повышение цены,
1,375 х + 0,165 х = 1,54 х р. – цена товара после третьего повышения,
Цена товара была повышена на 1,54 х – х = 0,54 х р. , что составляет 54% от первоначальной цены товара.
Ответ: 54%.
Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?
Решение:
m = M ∙ ɑ, где М – масса всего винограда, или изюма; m – масса сухого вещества в винограде, или изюме; ɑ - концентрация (процентное содержание сухого вещества в винограде, или изюме).
m, кг M, кг ɑ
виноград х ∙ 0,1 х 0,1
изюм 20 ∙ 0,95 20 0,95
Т.к. масса сухого вещества в винограде при сушке не изменяется, то получим уравнение:
х ∙ 0,1 = 20 ∙ 0,95, отсюда х = 190.
190 кг – винограда потребуется.
Ответ: 190 кг.
Собрали 100 кг грибов. Их влажность составляла 99%. За день грибы немного подсохли, и их влажность составила 98%. Сколько стали весить грибы?
Решение:
m = M ∙ ɑ, где М – масса всех грибов; m – масса сухого вещества в грибах; ɑ - концентрация (процентное содержание сухого вещества в грибах).
m, кг M, кг ɑ
1 условие 100 ∙ 0,01 100 0,01
2 условие х ∙ 0,02 х 0,02
Т.к. масса сухого вещества в грибах при сушке не изменяется, то получим уравнение:
х ∙ 0,02 = 100 ∙ 0,01, отсюда х = 50.
50 кг – стали весить грибы.
Ответ: 50 кг.