Статья по математике на тему УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛИ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Уравнения, содержащие модули.
Использование равносильных преобразований
1.1. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим простейшее уравнение вида:
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 число.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то решений нет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры.
Решите уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415
ж) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
б) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение решений не имеет.
в) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

д) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

е) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

ж) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 нет решений.
Ответ: а) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) нет решений
в) 1,4
г) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
д) 2; 12
е) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
ж) нет решений
1.2. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры.
Решите уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

б) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Unknown 1415

13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
1.3. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры.
Решите уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Запишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Получили уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415
Оно равносильно неравенству:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Данное уравнение можно было бы решить иначе, используя свойство модуля: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 тогда уравнение примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Получили уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

б) 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение равносильно неравенству
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Unknown 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.4. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Большое количество ошибок при решении задач этого типа вызвано тем, что учащиеся, освобождаясь от модуля, забывают учесть условия, при которых модуль был раскрыт с тем или иным знаком.
Рассмотрим первый случай, когда 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда модуль в левой части уравнения раскрывается со знаком «+», то есть уравнение примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 (верно), то значение 13 EMBED Equation.3 1415 является корнем данного уравнения.
Во втором случае 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда модуль раскрывается со знаком «–», и исходное уравнение переписывается в виде:
13 EMBED Equation.3 1415
Поскольку значение 13 EMBED Equation.3 1415 не удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415 (8+2=10, 10<0 неверно), то оно не является корнем уравнения.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 можно решать двумя способами. Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к совокупности (объединению) двух систем:
13 EMBED Equation.3 1415
Именно этим способом был решен выше приведенный пример.
Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к равносильной системе:
13 EMBED Equation.3 1415
Первый способ рациональнее применять в случае сложного выражения для функции 13 EMBED Equation.3 1415 и не очень сложного для функции 13 EMBED Equation.3 1415 Второй способ удобнее использовать, если выражение для функции 13 EMBED Equation.3 1415 не сложно.
Пример.
Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415
Выражение для функции 13 EMBED Equation.3 1415 «проще», используем второй способ решения. Для этого запишем систему, равносильную исходному уравнению:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 имеет корни 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 решений не имеет.
13 EMBED Equation.3 1415
Оба корня удовлетворяют неравенству 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решив уравнение первым способом, можно убедиться, что в этом случае он менее рационален.
1.5. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример.
Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда исходное уравнение будет равносильно системе:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
1.6. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример.
Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда уравнение будет равносильно системе:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Unknown 1415

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
1.7. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Пример.
Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 при любых 13 EMBED Equation.3 1415, то исходное уравнение равносильно системе
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2.

Полезно знать, что 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Покажем, как можно решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 Перейдем к равносильной системе уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 0.
1.8. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример.
Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение будет равносильно неравенству:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Unknown 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
1.9. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Пример.
Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение равносильно неравенству:
13 EMBED Equation.3 1415
Разделим обе части неравенства на 6
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Unknown 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
1.10. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно объединению уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры.
Решите уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решим каждое уравнение совокупности:
Первое уравнение имеет корни 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Для второго уравнения найдем дискриминант D=13 EMBED Equation.3 1415
Его корни 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: а) 0; 1
б) 13 EMBED Equation.3 1415 1; 13 EMBED Equation.3 1415 6

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native