Решение задач ЕГЭ по математике координатно-векторным способом

Решение задач ЕГЭ по математике координатно-векторным способом
Автор: Волчёк Наталия Львовна.
С 2 (№ 1). В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BD.
Решение.
Введем прямоугольную систему координат так, что её начало, находится в точке О – точке пересечения диагоналей основания. Ось абсцисс сонаправлена вектору OD , ось ординат сонаправлена вектору OА , ось апликат сонаправлена вектору OS . Тогда O(0; 0; 0). Составим уравнение плоскости (SAD) в отрезках. Так как OD=OA=OS=22 , то (SAD):х22+у22+z22=1=>х+у+z-22=0.
Нормальный вектор плоскости (SAD) n1=1;1;1.
Нормальным вектором плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BD можно считать n2=1;0;0. Найдем косинус угла α между векторами n1 и n2. cosα=1∙1+1∙0+1∙01+1+1∙1=13 =>sinα=1-cos2α=1-132=23Ответ: sinα=23С5 (№ 2).
При каких значениях параметра а система уравнений:
х2+у2+64-16х+х2+ у2+36-12у=10,х2+у2=а2;
имеет единственное решение
Решение.
1) х2+у2+64-16х+х2+ у2+36-12у=10(х-8)2+у2+х2+(у-6)2=100≤х≤8,0≤у≤6Рассмотрим векторы а х-8;у, в -х;6-у,
тогда а+в х-8-х;у+6-у, а+в -8;6,
а+в =10, а=(х-8)2+у2, в=х2+(у-6)2.
Так как из данного уравнения а+в =а+ в, то а//в//а+в и их координаты пропорциональны.
Получим, х-8-8=у6=>6х+8у=48=>у=-0,75х+6.
2) Исходная система будет иметь решение, если будет иметь решение у=-0,75х+6,х2+у2=а2; при 0≤х≤8, 0≤у≤6Построим в одной системе координат графики уравнений у=-0,75х+6 при 0≤х≤8, 0≤у≤6 и х2+у2=а2.
474281549276000Графиком уравнения у=-0,75х+6 при 0≤х≤8, 0≤у≤6 будет отрезок с концами в точках А (0;6) и В (8;0), графиком х2+у2=а2 является окружность с центром в точке (0;0) и радиусом R=/а/
Система уравнений имеет единственное решение если:
4840605612775001) Окружность касается отрезка, т.е. высота ∆АВО, проведенная к гипотенузе равна радиусу окружности. h=a∙bc=6∙810=4,8=>а=4,8=>а=±4,82) Окружность пересекает отрезок только в одной точке. Это возможно, если R=а∈6;8=>а∈[-8; -6)∪(6;8]Ответ: а∈[-8; -6)∪±4,8∪(6;8]