Научно-исследовательская работа по математике УЛЫБКА ГРАФИКОВ С МОДУЛЯМИ ученицы 8а класса МКОУ СОШ №6 Магомедовой Патины научный руководитель Батыргишиева Солтанат Магомедовна г.Буйнакск Республики Дагестан 2016-2017 учебный год

Министерство образования Республики Дагестан
Всероссийская научная конференция
молодых исследователей
«Шаг в будущее»
Исследовательская работа на тему:
«Улыбка графиков с модулями»
Секция: прикладная математика
Симпозиум: математика и информационные технологии
Автор: Магомедова Патина Заурбеговна,
ученица 8 «а» класса МКОУ СОШ №6,
свидетельство о рождении III-БД № 742402
прожив. по адресу: Республика Дагестан,
г. Буйнакск, ул.Орджоникидзе, 7 кв. 43
Научный руководитель: Батыргишиева Солтанат Магомедовна,
преподаватель математики МКОУ СОШ №6
паспорт 82 02 № 861218,
выдан Буйнакским РОВД Республики Дагестан,
06.09.2002г., прожив.по адресу: Республика
Дагестан, г. Буйнакск, ул.Дахадаева 43 кв. 8
г. Буйнакск
2016 год
Аннотация
Название работы: «Улыбка графиков с модулями»
Цели исследования:
Научиться методам решения уравнений с модулями;
Научиться преодолеть психологический барьер по решению уравнений с модулями, который обусловлен противоречивыми характеристиками модулей.
Развить свои навыки исследовательской и познавательной деятельности.
Задачи исследования:
- расширить свои знания и умения по математике;
- выявить взаимосвязь между графическим и аналитическим способами решений
уравнений с модулями;
- рассмотреть некоторые методы их решения;
- показать практическое применение в практике, в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.
Актуальность темы: Мир, в котором мы живем, потребности нашей жизни, повседневные хлопоты ставят перед человечеством все новые и новые задачи. Иногда тот или иной вопрос имеет множество вариантов ответов, из-за чего происходят затруднения решения поставленных задач, как выбрать правильный и оптимальный вариант.
Объект: задания ОГЭ и ЕГЭ повышенности, олимпиадные задания.
Предмет: графики функций с модулями.
Практическая значимость работы: Полученные результаты могут быть использованы на уроках, при выполнении заданий, а также на школьном элективном курсе.
Ожидаемые результаты:
В результате исследования данной тематики надо иметь представление:
О линейных, дробно-рациональных уравнениях с модулями;
О квадратных уравнениях с модулями.
Знать:
Аналитические и графические методы решения уравненияй с модулями.
Необходимые и достаточные условия в задачах с модулями.
Уметь:
Решать линейные, квадратные уравнения с модулями;
Пользоваться аналитическими и графическими методами.
Владеть:
Алгоритмами построения графиков с модулями;
Полным анализом построения графиков с модулями.
Содержание:
Введение………………………………………………………………………………………………….1
Основная часть …………………………..…………………………………………………………… 2
Понятия и определения …………………………………………………………………….. .2
Историческая справка …………………………...................................................2
1.2. Понятия модуля ………………………………………………………………………………….2
1.3. Аналитический способ решения уравнений с модулями ………………………………... 3
1.4. Построение графика функции y=|f(x)|…………………………………………..……………………………………………………………….. 4
1.5. Построение графика функции y=f(|x|)……………………………………………… …4
1.6. Построение графика функции
у = |f(|x|)|………………………………………………………………………………………………………… 5
1.7.Построение графиков функций |y|=|f(x)|……………………………………………….. 5
1.8. Построение графиков функций |y|=f(x) ………………………………………………….. 6
1.9. Построение графиков функции вида y = |||x-a |-b|-c| ……………………………... 6
От теории к практике …………………………………………………………………………….. 7
Заключение …………………………………………………………………………………………….. 10
Список использованной литературы …………………………………………………………11
І. Введение
Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создает общие приемы и способы, применяемые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть. Большинство задач носят тренировочный характер. Без тренировки в проведении простых операций невозможно совершенствование ни в каком серьезном виде. Тем большую радость предоставляет мне решение интересных и трудных задач, которые я хочу предоставить в данной исследовательской работе.
Два года назад в 6-м классе на открытый урок по математике «Положительные и отрицательные числа» мне была поручена опережающая работа: сделать сообщение детям о модуле числа. Также в этом году я впервые принимала участие на городской олимпиаде по математике - в ходе подготовки к олимпиаде мне встречались уравнения с модулями, которые решались необычными способами. С помощью занимательной литературы и интернета мне пришлось изучить несколько способов, которые на уроках нами не изучались. Оказалось, что эти уравнения составляют целый класс уравнений и называются диофантовыми. Я заинтересовалась этим и решила подробно изучить данный вопрос. В ходе исследования мне пришлось открыть «завесу» в Будущее и самостоятельно изучить методы решения квадратных уравнений и способы построения графиков квадратичных функций, ознакомиться с графиками синусов, косинусов, тангенсов.
Изучение многих физических процессов и геометрических
закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.
Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является
исследование процесса в зависимости от параметров.
Также возникла острая необходимость приобретения навыков
решения нестандартных задач во 2 второй части ОГЭ и на базовом
уровне ЕГЭ по математике. Задачи с модулями включены в
содержание ЕГЭ по математике и очень часто оказывается не по силам,
обучающимся. Это, вообще говоря, неудивительно, поскольку у большинства
учащихся нет должной свободы в общении с модулями.
Появление таких задач на экзамене далеко не случайно, так как с их
помощью проверяется техника владения формулами элементарной
математики, методами решения уравнений и неравенств, умение
выстраивать логическую цепочку рассуждений.
II. Основная часть
Понятия и определения
Историческая справка
Большой вклад в понятие модуля внесли:
древнегреческий математик Диофант III век н.э.
среднеазиатские математики:
- Мухаммед бен Муса аль-Хорезми (780-847);
- Гиясаддин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрагим аль-Хайям (1048-1131);
- Омар Хайям.
1.2. Понятие модуля
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.
В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.
В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п.
Определение
Модуль (абсолютная величина) неотрицательного числа a равен самому числу a, модуль отрицательного числа a равен противоположному ему положительному числу –a. Противоположные числа имеют модули.
I-аI= IаI, I0I= 0, IаI= IаI
С геометрической точки зрения модуль – это расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу.
Когда в «стандартные» уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Создается впечатление, что графики с модулями «улыбаются». Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приёмами построения «базовых» фигур, а также твёрдо знать и понимать определение модуля числа.
Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:
Уравнение - это равенство, содержащее переменные.
Уравнение с модулем - это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Например: |x|=1
Решить уравнение – это значит, найти все его корни, или доказать, что корней нет.
В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследователь-ской работе я возьму лишь одно из них.
В работе использованы различные методы исследования (теоретический, практический, исследовательский).
Аналитический способ решения уравнений с модулями.
Графический способ - построение графиков функций со знаком модуля:
у = |f(x)|
y = f(|x|)
у = |f(|x|)|
|y| = f(x)
|y| = |f(x)|
y = |||x-a |-b|-c|
Аналитический способ решения уравнений с модулями
Построить график функции
По определению модуля можно решить уравнение для обоих случаев в системе:
В результате получаем 2 корня: 1,8 и 1.
При построении графика функции нужно обратить внимание на неравенства, которые ограничивают построение прямых у=5х-9 и у=х-1.
XY02
1.4. График функции y=|f(x)|
Алгоритм построения:
получается из графика у=х: часть графика, лежащая над осью х, сохраняется;
часть его, лежащая ниже оси х , отображается симметрично относительно оси х.

Частные случаи:
а) у=х б) у=-х в) у=|х|+а г) у=а|х|
в) График функции у=|х|+а получается параллельным переносом графика у=|х| в положительном направлении оси у на а единицу отрезка при а>0 и в отрицательном направлении на |а| при а<0.
г) График функции у=а|х| получается растяжением графика у=|х| вдоль оси у в а раз при а>1 и сжатием вдоль этой оси в 1\а раз при 0<a<1
Построение графика функции y=f(|x|)
Алгоритм построения:
построить график функции y=f(x);
участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс;
зеркально отразить относительно этой оси.

Построение графика функции у = |f(|x|)|
Алгоритм построения:
построить график функции y = f(x);
отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси ординат;
участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.

Построение графиков функций |y|=|f(x)|
Данная методика называется «модуль в модуле». График функции будет симметричен относительно абсцисс.
Алгоритм построения:
построить график функции у = |f(x)|;
осуществить его зеркальное отражение относительно оси Ох.
XY02
Построение графиков функций |y|=f(x)
Графики данных функций строятся по аналогии (см. 1.6.)
Построение графиков функции вида y = |||x-a |-b|-c|
Алгоритм построения:
Найдём точки перелома функции
Проведём ряд тождественных преобразований на каждом из промежутков, ограниченных точками перелома.

III. От теории к практике
Изменение графика функции в зависимости от места установки знака модуля
Построение графика функции у=|3-|x||

Построение графика функции у=|-|x|+5|

Построение графика функции |у|=|x| - «модуль в модуле»

Построение графиков функций y = |x-2| +|x+3| и
y = |x-1| +|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| - «скачки»

Построение графика функции у = |||x-4|-1|-3|

В итоге исследовательской работы преобразуем графики функций
y=4x-5 и y=x2–5x+6 в зависимости от места установки знака модуля.
Построение графика функции y=4x-5

Построение графика функции y = x2 –5x+6


Заключение
Я считаю, что в данной исследовательской работе поставленная цель достигнута, так как были решены поставленные перед собой задачи.
Изучая данную тематику, которая стала актуальной в последние годы при проведении ЕГЭ можно сделать вывод, что при углубленном изучении способов решения уравнений, неравенств, их систем и совокупностей различных типов можно их решить.
В процессе исследования методов и способов решения задач с модулями мною изучены различные способы их решения, комбинирование некоторых методов. Также рассмотрен графический метод решения уравнений с модулями, который намного упрощает процедуру решения тех или иных уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств.
Мой научно-исследовательский проект:
- можно использовать как методическое пособие для урока и при подготовки к экзаменам;
- он будет полезен ученикам, учителям;
- поможет отыскать новые пути совершенствования обычного школьного урока.
Я надеюсь, что данная работа поможет повысить интерес к предмету (занимательные задания от простого к сложному), заинтересует и подвигнет их к более глубокому изучению данной темы. Список использованной литературы:
Детская энциклопедия. М., «Педагогика», 1990.
Глейзер Г. И. История математики в школе. М. «Просвещение», 1982.
Дынкин Е.Б., Молчанова С.А. Математические задачи. М., «Наука», 1993.
Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. М., «Просвещение», 1987.
Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. М., «Просвещение», 1989.
Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.]; под ред. Г. В. Дорофеева; Рос. акад. образования, изд-во <<Просвещение>>. – 5-е изд. – М. : Просвещение, 2010.
Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов: Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1991.
Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики / М. Л. Галицкин, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич.- М.: Просвещение, 1992.
Математика 9-й класс. Подготовка к ГИА-2016: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Краткая информация Магомедовой Патины по исследовательскому проекту
«Улыбка графиков с модулями»
конкурса «ШАГ в БУДУЩЕЕ»
Здравствуйте, уважаемое жюри и конкурсанты. Я ученица 8а класса школы №6 г. Буйнакска Магомедова Патина. Вашему вниманию я предлагаю научно-исследовательскую работу по математике «Улыбка графиков с модулями». ……………………………………………………………………………………………………………..
Китайская мудрость гласит: (слайд 2)
«Скажи мне – и я забуду,
покажи мне – и я запомню,
дай мне действовать самому – и я научусь»
«Дай мне действовать самому – и я научусь» - последние слова стали девизом моего проекта. Я попыталась изучить и понять уравнения и графики с малоизученными модулями.
Два года назад в 6-м классе на открытый урок по математике «Положительные и отрицательные числа» мне была поручена опережающая работа: сделать сообщение детям о модуле числа. Также в этом году я впервые принимала участие на городской олимпиаде по математике - в ходе подготовки к олимпиаде мне встречались уравнения с модулями, которые решались необычными способами. С помощью занимательной литературы и интернета мне пришлось изучить несколько способов, которые на уроках нами не изучались. Я заинтересовалась этим и решила подробно изучить данный вопрос. В ходе исследования мне пришлось открыть «завесу» в Будущее и самостоятельно изучить методы решения квадратных уравнений и способы построения графиков квадратичных функций, ознакомиться с графиками синусов и косинусов (которые я буду изучать в старших классах).
………………………………………………………………………………………………………………..
Моя работа состоит из следующего содержания: (слайд 3)
I. Введение
II. Основная часть
Понятия и определения
1.1. Историческая справка
1.2. Понятия модуля
1.3. Аналитический способ решения уравнений с модулями
Построение графика функции y=|f(x)|
1.4. Построение графика функции y=f(|x|)
1.5. Построение графика функции у = |f(|x|)|
1.6. Построение графиков функций |y|=|f(x)|
1.7. Построение графиков функций |y|=f(x)
1.8. Построение графиков функции вида y = |||x-a |-b|-c|
III. От теории к практике
IV. Заключение
V. Список использованной литературы
………………………………………………………………………………………………………………..
(слайд 4) Введение
………………………………………………………………………………………………………………….
(слайд 5) Историческая справка
………………………………………………………………………………………………………………… (слайд 6, 7, 8) Понятие модуля, модуль, понятие уравнения
…………………………………………………………………………………………………………………
(слайд 9)
В работе рассматриваются два метода: аналитический и графический. В каждом графическом методы дан алгоритм построения каждого графика и сам график с модулем.
………………………………………………………………………………………………………………….
(слайд 10) Я попробовала решить один пример из олимпиадной работы аналитическим способом.
………………………………………………………………………………………………………………….(слайд 11) Я сначала построила графики функций у=5х-9 и у=х-1. Дальше по условию модуля (у должен быть положительным) урезала нижние части графиков – получилась интересная «галочка».
…………………………………………………………………………………………………………………
(слайд 12) График функции у=f|(х)| получается из графика у = f(х) т.е. биссектриса угла хоу, где часть графика, лежащая над осью х, сохраняется, а часть его, лежащая ниже оси х, зеркально отображается симметрично относительно оси х.
…………………………………………………………………………………………………………………
(слайд 13) График функции у=f|(х)|- в данном случае построена парабола. Участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, надо оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс зеркально отразить относительно этой оси.
……………………………………………………………………………………………………………….
(слайд 14) График функции у =|f(|x|)|. Здесь рассматривается двойной модуль. Для построения графика функции у=||x|-2| сначала надо построить график функции y = f(x); затем отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси ординат. В концет участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.
………………………………………………………………………………………………………………….
(слайд 15) На данном слайде рассмотрены следующие Графики функций |y|=|f(x)| и |y|=f(x). Данная методика называется «модуль в модуле».
График функции будет симметричен относительно абсцисс
Алгоритм построения:
1. построить график функции у = |f(x)|;
2. осуществить его зеркальное отражение относительно оси Ох.
…………………………………………………………………………………………………………….
(слайд 16) График функции y =|||x-a|-b|-c|. Данная методика называется «скачки». Здесь необходимо найти точки перелома функции и
провести ряд тождественных преобразований на каждом из промежутков, ограниченных точками перелома.
…………………………………………………………………………………………………….
(слайд 17, 18) На следующих двух слайдах построены графики функций
y = |x-2| +|x+3| и y = |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| - эти построения для меня оказались самыми сложными и громоздкими. Нужно было поэтапно преобразовывать каждый график.
………………………………………………………………………………………………………………….
(слайд 19) А теперь перейдем к практической части. В данном разделе проекта я уже начала смело применять свои теоретические знания и приобретенные навыки.…………………………………………………………………………………………………………….
(слайд 20) Мне очень понравилось построение графика функции |у| =|x|-
Здесь подвергаются знаку модуля обе части равенства и соответственно идет двойное преобразование. Наша прямая у=х (она же и биссектриса прямого угла плоскости хоу) сначала симметрично отобразилась относительно оси ох, затем новый график зеркально отобразился относительно оси оу.………………………………………………………………………………………………………………….
(слайдах 21) график функции у=|3-|x|| строится аналогично6 сначала убывающая функция у=3-х, Относительно оси оу отражается часть прямой, а затем полученная фигура второй раз берется под знак модуля.
………………………………………………………………………………………………………………….
(слайды 22, 23) На следующих двух слайдах рассматриваются следующие графики:
график функции у = |||x-4|-1|-3| и график функции ||y|-|x||=5.
В 1-м применяется метод «скачка», а во втором подчиняются знаку модуля обе части равенства.
………………………………………………………………………………………………………
(слайд 24) Преобразование графиков функций y=4x-5 и y=x2–5x+6
в зависимости от места установки знака модуля
…………………………………………………………………………………………………………………
(слайд 25) Преобразованию подвергается график функции y=4x-5:
Рассматриваются различные способы построения графиков в зависимости от места установки знака модуля (перечислить).
…………………………………………………………………………………………………………………
(слайд 26) Преобразованию подвергается график функции y=x2–5x+6
Рассматриваются различные способы построения графиков в зависимости от места установки знака модуля (перечислить).
…………………………………………………………………………………………………………………
(слайды 27, 28) Для закрепления, самоконтроля планировала на листе А3 построить «изящную Бабулечку Ягу» в ее знаменитой ступе, но увы, не хватило у меня времени. На предстоящую неделю математики мы с моими одноклассниками решили эту «ошибку» исправить и после каникул нарисовать портрет самой известной сказочной бабушки. Здесь будут задействованы все ранее перечисленные приемы построения.………………………………………………………………………………………………………………….
(слайд 29) В начале своего творческого пути я провела опрос среди своих сверстников (8-9 классы) «Знаете ли вы, что такое МОДУЛЬ?».
И вот резельтаты:
55% - знают, но не умеют применять;
28% - не имеют понятия, что это такое;
17% - знают, могут объяснить и умеют применять.
………………………………………………………………………………………………………………….
(слайд 29) Заключение. Я подошла к логическому завершению своего пути.
Мой научно-исследовательский проект:
Можно использовать как методическое пособие для урока и при подготовки к экзаменам;
он будет полезен ученикам, учителям;
- поможет отыскать новые пути совершенствования обычного школьного урока;
- поможет повысить интерес к предмету.
…………………………………………………………………………………………………………………
(слайды 30, 31) На прощание хочу подарить всем вам рецепт счастья.
Возьмите чашу терпения, налейте туда полное сердце любви, бросьте две пригоршни щедрости, плесните туда же юмора, посыпьте добротой, добавьте как можно больше веры и все это хорошо перемешайте. Потом намажьте на отпущенный вам кусок жизни и предлагайте всем, кого встретите на своем пути! Спасибо за внимание!!!

ПРИЛОЖЕНИЕ 2