Метод ключевой задачи

Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением метода ключевой задачи
Метод составления системы задач, построенной по принципу – каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо (ключевой) задачи, будем называть методом ключевой задачи.
Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта. Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме.
«Ключевая» задача является средством решения других задач, поэтому ее знание учащимися обязательно. Разворачивающаяся система задач, с одной стороны, способствует усвоению факта или метода решения, изложенных в «ключевой» задаче, с другой, позволяет увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная данным методом система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала.
Свойство биссектрисы
Ключевая задача. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.
F
B
C
D
А
F
B
C
D
А
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем CF, параллельно биссектрисе BD. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках .
Треугольник BCF – равнобедренный.
Так как углы и равны как соответственные при параллельных прямых BD и CF и секущей AF, углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и CF и секущей ВС, по свойству биссектрисы.
Следовательно, BF=BC. Тогда .
Следствие:
04445F
В
D
С
А
00F
В
D
С
А
Если BD – биссектриса внешнего угла треугольника АВС, то .
Доказательство аналогичное.
Задачи системы:
Задача 1. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника.
ab4
3
B
С
A
D
ab4
3
B
С
A
D
Р е ш е н и е. Пусть , . Тогда по свойству биссектрисы , а по теореме Пифагора . Решая систему получим: , . Вычисляя площадь треугольника по формуле , получим .
О т в е т: 11,76.
Задача 2. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее с основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найдите острые углы треугольника.
O
B
D
С
M
A
O
B
D
С
M
A
Р е ш е н и е. Пусть AD – биссектриса прямоугольного треугольника АВС.
Точка О – точка пересечения медиан. Тогда по условию задачи .
По свойству медиан .
По теореме Фалеса .
Так как AD – биссектриса, то . Следовательно, .
Так как гипотенуза АВ в два раза больше катета АС, то . Следовательно, .
О т в е т: 300; 600.
Задача 3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч АО пересекает сторону ВС в точке К, причем , . Найдите периметр треугольника АВС.
18
12
6
К
В
С
А
О
18
12
6
К
В
С
А
О
Р е ш е н и е. Так как О – центр вписанной окружности, то АК – биссектриса треугольника АВС. Тогда . Имеем , .
.
О т в е т: 45.
Задача 4. В окружность радиуса см вписан треугольник АВС, в котором , а сторона АВ в два раза больше стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите длину отрезка С.
12-х
х
М
С
А
В
12-х
х
М
С
А
В
Р е ш е н и е. АМ – биссектриса треугольника АВС. Тогда .
Чтобы воспользоваться свойством биссектрисы, необходимо найти длину стороны ВС. По теореме синусов . Отсюда .
Пусть , тогда . Имеем , откуда .
О т в е т: 4.
Задача 5. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ, которую центр О вписанной окружности делит в отношении . Найдите АВ, если , .
3
D
M
О
4
8
k2k
A
В
C
Е
3
D
M
О
4
8
k2k
A
В
C
Е
Р е ш е н и е. Так как О – центр вписанной окружности, то АМ и CD – биссектрисы.
По свойству биссектрисы треугольника ВСЕ , , .
Следовательно, .
По свойству биссектрисы треугольника АВЕ , , .
О т в е т: 6.
Задача 6. Найдите стороны треугольника, если медиана и высота, проведенные из одного угла, делят его на три равные части, а длина медианы равна 10.
xx2xA
B
K
N
С
xx2xA
B
K
N
С
Р е ш е н и е. Пусть СN – медиана, а СК – высота.
Так как СК – высота и биссектриса, то треугольник CNB равнобедренный, следовательно, и .
, следовательно, .
CN – биссектриса в треугольнике АСК, следовательно,
Треугольник – прямоугольный, поэтому , , , , .
О т в е т: .
Задача 7. Биссектриса BD внутреннего угла треугольника АВС равна 6, а биссектриса ВF смежного с ним угла равна 8. Найдите площадь треугольника АВС, если .
10
6
8
F
M
C
A
D
В
10
6
8
F
M
C
A
D
В
Р е ш е н и е. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому .
по теореме Пифагора.
По свойству биссектрисы .
Пусть , тогда , , .
Имеем , .
.
Чтобы найти площадь треугольника АВС необходимо знать длину высоты ВМ, проведенной к стороне АС. Из треугольника BDF найдем . Тогда , .
, .
О т в е т: 10.
Задачи для самостоятельного решения
1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Найдите площадь треугольника.
О т в е т: 54.
2. В треугольнике ВСЕ , . Отрезок СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника окружности равен .
О т в е т: 18.
3. Дан треугольник АВС. Его высота BD равна 30. Из основания Е биссектрисы АЕ опущен перпендикуляр EF на сторону АС. Найдите длину этого перпендикуляра, если .
О т в е т:16.
4. В треугольнике АВС из вершины В проведена высота BD и биссектриса BL. Найдите площадь треугольника BLD, если известны длины сторон треугольника АВС: см; см; см.
О т в е т: 2,25.
5. В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Найдите площадь треугольника ADC, если , , .
О т в е т: .
6. В треугольнике АВС , , . Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В.
О т в е т: 1:2.
7. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12. Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.
О т в е т: 4,8.