Открытый урок алгебры в 9 классе по теме:«Арифметическая и геометрическая прогрессии»- урок систематизации и обобщения.

Открытый урок алгебры в 9 классе Подготовила учитель математики МОУ СОШ д. Попово Заева Галина Юрьевна Тема урока «Арифметическая и геометрическая прогрессия»- урок систематизации и обобщения.Цель урока: «Подготовка в итоговой аттестации» Ход урока: ОргмоментПовторение теоретического материала. ответить на вопросы.Определение последовательностиОпределение арифметической и геометрической прогрессииФормулыn – членИсторическая справкаРешение задачДомашнее заданиеИтог урока. Повторение Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией?Как найти разность арифметической прогрессии?Как найти n член арифметической прогрессии?Как найти сумму n членов арифметической прогрессии? повторение 5. Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?6. Какое число называется знаменателем геометричес-кой прогрессией?7. Как найти n член геометрической прогрессии?8. По какой формуле можно найти сумму n первых членов геометрической прогрессии? Последовательность. Это одно из основных понятий математики. Она может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент Хn некоторого множества. Последовательность записывается в виде Х1,Х2, . . .,Хn , или кратко (Хn).Элементы х1,х2, . . .,хn – называются членами последовательности. определение Арифметическая прогрессия- последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Геометрическая прогрессия- последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. ФОРМУЛЫ Арифметическая прогрессия Определениеan+1=an + d Геометрическая прогрессияОпределениеbn+1=bn * g (g не =0)‏ формулы Разность арифметической прогрессииd=an+1 - an Знаменатель геометрической прогрессииg=bn+1/bn n - член Арифметическаяan =a1+d(n-1)‏ Геометрическая n-1bn=b1*g Формулы суммы Арифметическая a1+anSn=--------*n, (1)‏ 2 2a1+ d(n-1)‏Sn=---------*n 2 Геометрическая n b1 (g - 1)‏Sn=---------,g=/= 1 g-1 bn * g-b1Sn=------------, g=/=1 g-1 Из истории Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.В древнегреческом папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится такая задача: «Пусть тебе сказано:раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялось 1/8 меры»В этой задаче речь идёт об арифметической прогрес-сии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так: S10 =10? d = 1/8, найти: a1, a2,…,a10 В одном древнегреческом папирусе приводится задача:«Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, даёт 7 мер зерна. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна».Решением этой задачи приводит к сумме:7 + 7х7 + 7х7х7 + 7х7х7х7 + 7х7х7х7х7, т.е.сумме пяти членов геометрической прогрессии. О прогрессиях и их суммах знали древнегреческие учёные. Так, им были известны формулы суммы n первых чисел последовательности натуральных, чётных и нечётных чисел.Архимед (Ш в. до н. э.) для нахождения площадей и объёмов фигур применял «атомистический метод», для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел 1х1 + 2х2 + 3х3+ … + nxn=1/6n(n+1)(2n+1),Показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1+ ј + 1/4х4 + … . Отдельные факты об арифметической и геометрической прогрессия знали китайские и индийские ученые. Об этом говорит, например, известная индийская легенда об изобретателе шахмат.Термин «прогрессия» (от латинского progressio, что означает «движение вперёд») был введён римским автором Боэцием (VI в.) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названная «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Равенство вида ak-1 – ak = ak –ak+1 они называли непрерывной арифметической пропорцией, а равенство bk-1/bk =bk / bk+1 – непрерывной геометрической пропорцией.Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (Ш в.). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала». Правило отыскания суммы членов произвольной арифметической прогрессии встречается в «Книге абака» Л. Фибоначчи (1202). Общее правило для суммирования любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии даёт Н.Шюке в книге «Наука о числах» (1484). Историческая справка (арифметическая прогрессия)‏ С формулой (1) связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1+2+3+4+…+40».Какого было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после долгих подсчётов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное. Схема рассуждения 1, 2, 3,…, 20+ 40,39,38,…,21-_____________________________________________________________________________________________________________ 41,41,41,…,41 результат Таких пар 20, поэтому41х20=820 Историческая справка (геометрическая прогрессия)‏ Легенда об изобретателе шахматИндийский царь Шарам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанный им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за второе –два, за третью еще в два раза больше и т.д.Эта задача привлекла внимание Л.Н.Толстого Схема рассуждения Шахматная доска здесь называется шашечницей.«Клеток в шашечнице 8 с одной стороны и 8 с другой, получаем 8х8=64На 1- ю – 1 на 33- ю – 4294967296На 2- ю - 2 на 34- ю - 8 589934592На 3- ю - 3 на 35- ю -17179869184На 4- ю - 4 на 36- ю -34359738368…………………………………………………………………………………………………………… на 62 – ю - 2 305 843 009 213 693 952 на 63 – ю - 4 611 686 018 427 387 904 на 64 – ю - 9 223 372 036 854 775 808 Полученное вознаграждение: Если 40 000 зёрен в одном пуде, то на одной последней клетке вышло230 584 300 921 369 пудовОбщее число зёрен составляет:18 446 744 073 709 551 615 Решаем задачу (an) – арифметическая прогрессия-63; -58; -53; …Найти:da15S14Является ли число -40 членом арифметической прогрессии? Решение 1) a1=-58 d=-58-(-63)=-58+63=52) a15=2x(-63)+5x14=-126+70=-563)S14 =(2x(-63)+5x13)x14/2=-4274)an =-40 , an =a1+d(n-1)‏ -40=-58+5(n-1)‏ -40=-58+5n-5 5n=23, n=4,6 вывод? задача (bn)-геометрическая прогрессия27; 54;…Найти:gb6S6 решение 27;54;…1)g= 54:27=22) b6 =27x2x2x2x2x2=8643)S6 =27(64-1)=27x63=1701 Задача Работа по учебнику: № 374 № 375 Задача Сумма трёх чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из второго члена этой прогрессии вычесть 2, а остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Повторение определений и формул арифметической и геометрической прогрессии.Решение заданий из сборника по подготовке к экзамену(каждый ученик получает задание)‏ Подведение итога урока Что интересного вы узнали сегодня на уроке?А теперь ответьте на вопросы, которые поднимались сегодня на уроке(работа на листочках):ФормулыМатематики, встречающиеся в исторической справке. Домашние задачи: Первый член арифметической прогрессии равен – 1,2; разность равна 3. Найти четвёртый, восьмой и двадцать первый член прогрессии.Первый член арифметической прогрессии равен 2, а 11 член -5.Найдите разность арифметической прогрессии.В арифметической прогрессии первый член равен – 12, знаменатель равен 3.Найти n-ый член равный 9.Выписали 20 членов арифметической прогрессии 6,5 ; 8 ; . . ..Встретится ли среди них число 36?В арифметической прогрессии известен пятый член равный – 1,5 и шестой равен ѕ. Найти х4 +х7В геометрической прогрессии известно,что её первый член равен 3, четвёртый член равен 2 ј. Найти у2 * у5 Урок окончен СПАСИБО ЗА УРОК