Применение математической статистики и теории вероятностей при решении практических задач
МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 2 станицы Брюховецкой Брюховецкого района
Научно-исследовательская конференция школьников «Эврика»
Малой академии наук учащихся Кубани
Применение математической статистики и теории вероятностей
при решении практических задач
Выполнил
ученик 9Б класса
МАОУ СОШ№ 2
Мухин Андрей Валерьевич
Руководитель
учитель математики
Носкова Людмила Ивановна
2011 г.
Содержание
Введение...3
1. Статистические характеристики.6
2. Вероятность равновозможных событий.9
3. Как исследуют качество знаний школьников...11
Заключение...14
Список используемой литературы15
Приложение.16
Введение
Актуальность проблемы. В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремится сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности. Даже сводки погоды в газетах сообщают о том, что «завтра ожидается дождь с вероятностью 40 %», оставляя обывателя в полной растерянности: брать ли зонтик?
Полноценное существование гражданина в сложном, вариативном и многоукладном обществе непосредственно связано с правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом на осознанный выбор, который невозможно осуществить без умения делать выводы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивой информации.
Мы должны научиться жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.
Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления.
Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе.
В своей жизни мы ежедневно сталкиваемся с вероятностными ситуациями. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представления о справедливости в играх в реальных жизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов человека.
Необходимость развития вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей.
Одновременно само знакомство людей с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначными «да» и «нет» существует еще и «быть может» (причем это «быть может» поддается строгой количественной оценке!).
У людей, которые изучают математику, зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми абстрактно-формальными объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее называют в последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт человека, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.
Все государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики основной школы.
«Статистика знает все», - утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе «Двенадцать стульев» и продолжали: «Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики Известно, сколько в стране охотников, балерин станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..»
Это ироническое описание дает довольно точное представление о статистике (от лат. status - состояние) – науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни. Экономическая статистика изучает изменение цен спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления. Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий. Демографическая статика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный). А есть еще статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая
Статистика имеет многовековую историю. Уже в древнем мире вели статистический учет населения. Однако произвольные толкования статистических данных, отсутствие строгой научной базы статистических прогнозов позволили в конце XIX века английскому премьер-министру Б. Дизраэли не без основания заметить: «Есть три вида лжи: просто ложь, наглая ложь и статистика».
В XX веке появилась математическая статистика – наука, основанная на законах теории вероятностей. Статистические методы обработки данных из самых разных областей жизни имеют много общего. Это и позволило создать универсальные научно обоснованные методы статистических исследований и проверки статистических гипотез. Проблема исследования: являются ли статистические методы, вероятностные законы универсальными для решения повседневных задач определило тему моего исследования: «Применение математической статистики и теории вероятностей при решении практических задач».
Объект исследования: методы статистики, законы теории вероятностей.
Предмет исследования: решение практических задач с помощью выборочного метода статистики и теории вероятностей
Целью исследования было с помощью математической статистики и теории вероятностей научиться быстро решать практические задачи.
Гипотеза исследования. Исходное предположение заключалось в том, что изучение математической статистики и теории вероятностей поможет быстро решать практические задачи.
В соответствии с целью и выдвинутой гипотезой были поставлены следующие задачи исследования:
Изучить литературу по данной проблеме.
Проверить эффективность статистических методов и теории вероятностей для решения конкретных практических задач.
Практическая значимость исследования заключается в том, что результаты подобных исследований представляют несомненный интерес для многих людей: руководителей образования, учителей, родителей, школьников и других. На основании полученных данных каждый извлекает ту часть информации, которая ему необходима, и делает соответствующие выводы. Например, управление образованием могут интересовать средние результаты по школам, процент учеников, не справляющихся с программой. Высшие учебные заведения наверняка заинтересует количеством учеников с высоким уровнем математической подготовки, так как именно они являются потенциальными абитуриентами математических факультетов.
В работе будут использоваться эмпирические методы, включающие: наблюдение; экспериментальные методы, психодиагностические методы (тесты, анкетирование, беседа), анализ продуктов деятельности.
Работа будет состоять из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.
ГЛАВА 1 Статистические характеристики
Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значением ряда данных.
Мода – это наиболее часто встречающееся в ряду число.
Медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить.
Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда.
Пример 1. В течение пяти лет с четвертого по восьмой класс в одной параллели медицинский кабинет школы №2 вел учет числа различных заболеваний учеников этой параллели. В результате все данные, по каждой болезни, суммировались и были отображены в таблице (Приложение I)
На первый взгляд эти данные дают очень мало информации об этой параллели учеников. Более детальное рассмотрение покажет, что наибольшее число детей заболело ЖКТ и равно оно 142, а наименьшее число детей заболело снижением слуха, оно равно 6. Размах ряда данных в данном случае равен 142 – 6 =136.
Можно найти и среднее арифметическое этого ряда чисел. Для этого надо просто сложить все эти числа и получившуюся сумму разделить на число учеников. Среднее арифметическое будет равно приблизительно 43.
Однако, как несложно заметить, некоторые числа в этом ряду повторяются. Для таких рядов есть более удобный способ нахождения среднего арифметического, а также других статических характеристик – составление таблицы частот.
Для того чтобы составить таблицу частот, нужно для каждого числа из данного ряда посчитать, сколько раз данное число встречается в этом ряду. Затем полученные данные внести в таблицу, в первой колонке которой – число заболеваний с четвертого по восьмой класс, а во второй – количество появлений этого числа заболеваний в ряде данных (частота) (Приложение II)
Теперь, чтобы найти среднее арифметическое исходного ряда, уже не понадобится складывать подряд все числа ряда. Можно догадаться, что для этого нужно каждое из чисел первой колонки умножить на частоту его появления в ряду, сложить все получившиеся произведения, а затем поделить результат на общее количество данных (сумму всех частот). Итак, в данном случае среднее арифметическое будет равно
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, мы получили тот же самый результат за меньшее количество действий, что очень важно, особенно для больших рядов с повторяющимися данными.
Из таблицы частот сразу можно найти моду ряда данных. Поскольку числа «10» и «13» встречаются в ряду 2 раза и никакие другие числа ряда не встречаются в нем 2 или более раз, то мода этого ряда равна 10 и 13.
Пример 2. На комбикормовом заводе ЗАО «Южная Корона» работают 100 человек: 99 работников, каждый из которых получает по 5000 рублей в месяц, и директор, получающий 100000 рублей в месяц. Служащие потребовали повысить зарплату, так как практически все работники завода получают по 5000 рублей. Однако директор отказал им, заявив, что средняя зарплата на заводе и так составляет около 6000 рублей. С точки зрения статистики кто прав, директор или рабочие?
Для того, чтобы разобраться в ситуации, найдем среднюю зарплату на заводе. Для этого вычислим среднее арифметическое наших данных:
13 EMBED Equation.3 1415 (рублей)
Получается, что формально прав директор, так как средняя зарплата действительно составляет около 6000 рублей. Однако всем понятно, что требования рабочих в данном случае вполне законны, поскольку почти все рабочие завода получают по 5000 рублей, то есть на языке статистики мода этого ряда данных равна 5000 рублей.
Мы видим, что мода иногда позволяет делать более правильные выводы о ряде данных, чем среднее арифметическое.
Пример 3. В начале года 11 учеников 9 «А» класса средней школы № 2 сдавали норматив по бегу на 100 метров. Были зафиксированы следующие результаты (Приложение III)
После того как все ребята пробежали дистанцию, к преподавателю подошел Сергей и спросил, какой у него результат.
«Самый средний результат: 15.9 секунды», - ответил учитель.
«Почему? - удивился Сергей. – Ведь среднее арифметическое всех результатов – примерно 18.3 секунды, а я пробежал на секунду с лишним лучше. И вообще, результат Валерии (17.4) гораздо ближе к среднему, чем мой».
«Твой результат средний, потому что пять человек пробежали лучше, чем ты, и пять – хуже. То есть ты как раз посередине», - сказал учитель.
Для того, чтобы доказать, что учитель прав нужно найти медиану исходного ряда данных. Сначала необходимо упорядочить числа, в нашем примере упорядоченный ряд выглядит так:
13.7; 14.3; 14.4; 14.5; 15.1; 15.9; 17.4; 18.9; 19.2; 20.8; 24.1.
Поскольку чисел всего 11, то медианой является 6-е число, то есть 15.9.
Еще можно найти средний результат среди девочек. Для этого выпишем результаты всех девочек в порядке возрастания:
17.4; 18.9; 19.2; 20.8; 24.1.
Медианой в данном случае является число 19.2 то есть результат Дианы.
И наконец, найдем средний результат среди мальчиков. Упорядоченный ряд их результатов выглядит так:
13.7; 14.3; 14.4; 14.5; 15.1; 15.9.
Медиана в этом случае равна: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
ГЛАВА 2 Вероятность равновозможных событий
Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение 13 EMBED Equation.3 1415, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р (А) =13 EMBED Equation.3 1415 (Приложение IV)
Пример 1. Два ученика 9 «Б» класса МОУ СОШ №2 решили проверить какова вероятность того, что при двух бросаниях монеты, хотя бы один раз выпадет «орел». Для того они изобразили дерево возможных исходов (Приложение V)
Получилось, что эксперимент имеет 4 равновозможных исхода, в первых трех из них происходит интересующее их случайное событие. Они сделали вывод, что вероятность того, что при двух бросаниях монеты хотя бы один раз выпадет «орел», равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Ученик 9 «Б» класса собирается сдавать экзамен по ОБЖ в щадящем режиме. На экзамене – 25 билетов. Виктор не разобрался в одном билете и очень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Виктору достанется несчастливый билет?
Всего шансов у Виктора «вытянуть наугад один билет» 25 исходов, все они равновероятны. У него один шанс из 25 вытянуть несчастливый билет. Поэтому вероятность того, что Виктору достанется несчастливый билет, равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. Вова и Сергей любят играть в нарды. Им захотелось посчитать какова вероятность того, что при бросании правильного игрального кубика выпадет четное число очков.
Они знают, что при бросании игрального кубика возможны шесть равновероятных исходов. При этом только три из них (выпадение 2 очков, 4 очков и шести 6 очков) приводят к наступлению события «выпадает четное число очков». Поэтому они сделали вывод, что вероятность такого события равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4. Александр захотел сыграть в лотерею – в ней 10 выигрышных билетов и 320 билетов без выигрыша. Он решил посчитать какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет. Вот как он размышлял: в лотерее разыгрывается всего 10 + 320 = 340 билетов, любой из них можно купить с одинаковой вероятностью. Есть 10 шансов из 340 выиграть, и, следовательно, вероятность выигрыша равна 13 EMBED Equation.3 1415.
ГЛАВА № 3 Как исследуют качество знаний школьников
Чтобы определить уровень знаний по математике в каком-либо классе какого-нибудь района нужно составить контрольную работу и дать ее решить школьникам этого района. Для получения точных результатов необходимо, чтобы эту работу писали все учащиеся этих классов этого района. Наличие электронной почты сейчас позволяет это сделать, но процесс обработки трудоёмок.
В то же время, как утверждает статистика, для получения вполне достоверной информации по интересующему нас вопросу достаточно провести выборочное обследование, ограничившись проверкой знаний сравнительно небольшой части школьников. А чтобы по ее результатам можно было с достаточной уверенностью судить о свойствах всей гениальной совокупности обследуемых (то есть о математической подготовке учащихся этого класса), эта выборка должна быть, как говорят статистики, репрезентативной (представительной). Построение репрезентативной выборки – это тонкий сложный процесс, но обычно в нем ограничиваются обследованием 5 – 10% всей изучаемой совокупности. Кроме того, осуществляют случайный отбор учащихся, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности.
Пример. Для определения уровня знаний 9 классов Брюховецкого района была составлена контрольная работа из 16 заданий. В Брюховецком районе, допустим, 30 девятых классов, из них случайно выбрали один обыкновенный класс - 9 «Б» класс (в нем 20 человек) – чтобы они решили эту контрольную работу.
В алфавитном списке этих 20 учеников возле каждой фамилии проставили число верно решенных задач. Получился следующий ряд чисел:
8; 15; 10; 8; 12; 0; 0; 7; 8; 10; 10; 10; 12; 9; 16; 6; 11; 12; 6; 10.
На основании этого ряда трудно сделать какие-либо определенные выводы о том, как справились школьники с работой. Чтобы удобнее было анализировать информацию необходимо ранжировать данные, расположив их в порядке возрастания. В результате ранжирования ряд примет такой вид:
0; 0; 6; 6; 7; 8; 8; 8; 9; 10; 10; 10; 10; 10; 11; 12;12;12; 15; 16.
Мы видим, что ряд разбился на 10 групп. Каждая группа представляет определенный результат эксперимента: не решено ни одной задачи, решена одна задача, решено шесть задач, решено семь задач, решено восемь задач, решено девять задач, решено десять задач, решено одиннадцать задач, решено двенадцать задач, решено пятнадцать задач, решено шестнадцать задач.
В нашей выборке частота появления события «девятиклассники не решили ни одной задачи» равна 2. Относительная частота этого события равна отношению его чистоты к объему выборки, то есть 13 EMBED Equation.3 1415, или 10%. Для события «девятиклассник решил шесть задач» частота равна 2, а относительная частота равна 13 EMBED Equation.3 1415, 10% и так далее.
Чтобы результаты легче воспринимались, их представляют в табличном и графическом виде. Сначала сведем результаты в таблицу (Приложение VI)
Составив таблицу, полезно себя проверить: сложив все частоты, мы получили объем выборки, то есть число 20, а сложив все относительные частоты, мы получить 100%.
Для графического представления данных на основе этой таблицы построим диаграмму частот (Приложение VII)
Кроме столбчатых диаграмм для графического представления результатов используем так называемый полигон (Приложение VIII).
Так как мы полагаем, что выборка была репрезентативной, то на основании полученных результатов можно с достаточной уверенностью судить об уровне знаний всех девятиклассников Брюховецкого района.
Например, в выборке 5% решили все задачи. Значит, можно ожидать, что и из 30 школ Брюховецкого района примерно 5% справятся со всеми шестнадцатью задачами (обладают высоким уровнем математической подготовки).
Далее, считаем, что школьник достиг обязательного уровня знаний по математике, если он верно решил не менее семи задач. Таковых в выборке 1+3+1+5+1+3+1+1=16 человек, что составляет 80% от общего объема. Значит, можно обосновано предполагать, что и среди всех девятиклассников Брюховецкого района примерно 80% имеют минимально необходимый уровень знаний по математике. Из них хорошую математическую подготовку (решены не менее девяти задач) имеют примерно 60% учеников.
С помощью ранжирования ряда, таблицы и графических иллюстраций мы уже получили первоначальные сведения о закономерностях интересующего нас ряда данных. Но нам известны такие статистические характеристики ряда данных, которые позволяют сделать более качественный статистический анализ.
Так, например, интересно знать наиболее типичный результат выполнения предложенной работы. Используя предложенные в таблице данные, легко видеть, что наиболее часто встречающийся результат – «решены десять задач». На языке статистики это означает, что число 10 является модой данного числового ряда.
Также полезно найти среднее арифметическое этого ряда:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Значит, можно сделать вывод, что в среднем девятиклассник решает 9 задач.
В данном случае, как уже отмечалось выше, можно было бы провести обследование всей совокупности школьников. Именно так и поступают, например, при проведении выпускных экзаменов в 9 классе, когда важно знать результат каждого ученика. Но в ряде случаев статистический анализ всей совокупности объектов вообще невозможен или не имеет никакого смысла. Например, перед инспекцией стоит задача контроля за качеством продукции выпускаемой большими партиями. Как проверить – пропечен ли хлеб, годны ли консервы, прочна ли ткань? Сплошная проверка всей партии товара не только сложна, но и абсолютно бессмысленна. Ведь при такой проверке придется вскрыть все консервы, разрезать весь хлеб и порвать всю ткань, фактически испортив и уничтожив саму продукцию. Поэтому в этом и многих других случаях применяется именно выборочный метод статистического исследования.
Заключение
Работая над данной темой, я увидел интересные применения математики в жизни, например: предсказание погоды, расчет численности населения (сколько пожилых, молодых людей в стране) и другое. Очень интересные и непременно необходимые для жизни человека науки: статистика и теория вероятностей, ведь они помогают справиться с огромным потоком информации, планировкой собственных действий. В своей работе при помощи этих двух наук я рассмотрел несколько примеров использования математики в жизни: исследование качества знаний учащихся в школе, статистические характеристики, вероятность равновозможных событий. Я думаю, что для меня будут полезны знания, полученные мною при выполнении данной работы.
Список используемой литературы
1.Математические методы в социальных науках. Москва: «Прогресс», 1977 год.
2.Математика в экономике. А. С. Солодовников. Москва: «Финансы и статистика», 1998 год.
3.Энциклопедическийсловарь юного математика. А. П. Савин. Москва: «Педагогика», 1985 год.
4.Математика 8 класс: Алгебра. Функции. Анализ данных. Г. В. Дорофеев. Москва: «Дрофа», 1999 год.
5.Математика 9 класс: Алгебра. Функции. Анализ данных. Г. В. Дорофеев. Москва: «Дрофа», 2000 год.
6.Научно-теоритический и методический журнал: «Математика в школе», выпуск №4, 2002 год.
7.Интернет-сайт: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Приложение
Приложение I
Таблица заболеваемости учащихся МАОУ СОШ № 2 за пять лет
Болезнь
Количество учеников
Патология зрения
13
Заболевание желудочно-кишечного тракта (ЖКТ)
142
Сколиоз
13
Заболевание органов дыхания
104
Пиелонефрит
10
Хронический тонзиллит
10
Снижение слуха
6
Приложение II
Таблица частоты заболеваемости учащихся МАОУ СОШ № 2
Число заболеваний
Частота
6
1
10
2
13
2
104
1
142
1
Приложение III
Таблица результатов бега учащихся на 100 метров
Имя ученика / ученицы
Результат (с)
Ваня
14.3
Ксения
20.8
Андрей
15.1
Кристина
18.9
Алексей
13.7
Николай
14.4
Сергей
15.9
Валерия
17.4
Влада
24.1
Вова
14.5
Диана
19.2
Приложение IV
Таблица вероятностей наступления собитий
Примеры:
Эксперимент
Число возможных исходов эксперимента
Событие А
Число исходов благоприятного для этого события (m)
Вероятность наступления этого события Р(А)=13 EMBED Equation.3 1415
1
Бросаем монетку
2
Выпал «орел»
1
13 EMBED Equation.3 1415
2
Вытягиваем экзаменационный билет
25
Вытянули несчастливый билет
1
13 EMBED Equation.3 1415
3
Бросаем кубик
6
На кубике выпало четное количество очков
3
13 EMBED Equation.3 1415
4
Играем в лотерею
340
Выиграли, купив один билет
10
13 EMBED Equation.3 1415
Приложение V
Дерево возможных исходов
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Приложение VI
Таблица частоты верно решенных задач
Число верно решенных задач
0
6
7
8
9
10
11
12
15
16
Частота
2
2
1
3
1
5
1
3
1
1
Относительная частота (в %)
10
10
5
15
5
25
5
15
5
5
Приложение VII
Диаграмма частоты правильно решенных задач
Приложение VIII
Полигон частоты правильно решенных задач
Приложение IX
Задания к разделу «Статистические характеристики»:
1).Найти медиану следующих рядов данных:
а). 8,4, 9, 5, 2; б). 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2).На стадионе «Локомотив» была зафиксирована следующая посещаемость первых четырех футбольных матчей: 24 532, 18 711, 22 871, 24 334. Какова была средняя посещаемость (среднее арифметическое) этих матчей? Чему равен размах посещаемости?
3).В течении года Лена получила следующие отметки за контрольные по алгебре: одну «двойку», три «тройки», четыре «четверки» и три «пятерки». Найдите среднее арифметическое, моду и медиану этих данных.
4).Президент компании получает 100 000 рублей в год, четверо его заместителей получают по 10 000 рублей в год. Найдите все средние (среднее арифметическое, моду, медиану) зарплат в компании.
5).Маша, Саша, Катя, Лена, Ваня и Миша пошли в пиццерию. Ваня съел 5 кусков пиццы, Миша, Саша и Лена – по 3 куска, Катя – 2 куска, Маша – 1 кусок. Найдите все известные вам средние этих данных. Если бы Ваня съел не 5, а 7 кусков пиццы, как бы изменились эти величины?
6).В магазине «Глобус» представлены калькуляторы по следующим ценам:
Тип
А
В
С
D
Е
F
G
H
Цена (р.)
119.95
149.95
169.95
149.95
219.95
149.95
129.95
169.95
а). Какова самая распространенная цена на калькуляторы в этом магазине? (Найдите моду данного ряда.)
б). Сколько должен стоить «средний» калькулятор? (Найдите медиану данного ряда.)
7).Постройте ряд из четырех или более чисел (не все из которых равны между собой), у которого:
а). среднее арифметическое равно медиане;
б). среднее арифметическое равно моде;
в). среднее арифметическое, медиана и мода равны между собой.
Задания к разделу «Вероятность равновозможных событий»:
1).Равновероятны ли следующие события:
а). А: из 50 билетов вынуть наугад билет № 1;
В: из 50 билетов вынуть наугад билет № 23?
б). А: при подбрасывании кубика выпадет четное число очков;
В: при подбрасывании кубика выпадет нечетное число очков?
в). А: попадание при выстреле в мишень;
В: промах при выстреле в мишень?
г). А: выиграть в лотерею;
В: проиграть в лотерею?
д). А: 1 июня будет солнце;
В: 1 июня будет дождь?
2).На столе 12 кусков пирога. В трех «счастливых» запечены призы. Какова вероятность взять «счастливый» кусок пирога?
3).В урне 15 белых и 25 черных шаров. Из урны наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?
4).В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность проигрыша?
5).В ящике лежат 8 красных, 2синих и 20 зеленых карандашей. Вы наугад вынимаете карандаш. Какова вероятность того, что это красный карандаш? желтый карандаш? не зеленый карандаш? Какое наименьшее количество карандашей нужно вынуть, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них был зеленый карандаш?
6).Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что оно окажется
а). кратным 5; б). простым?
7).На трехместную скамейку произвольным образом садятся двое мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?
Задания к разделу «Как исследуют качество знаний школьников»:
1).Закинул старик в реку невод. Пришел невод с таким уловом (в порядке вытаскивания):
П, О, Л, С, Я, П, К, О, З, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О, П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, З, К, Я, П, З, С, О, О, Я, П, П, О, Л, С, Л, С, П, О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л, П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, З.Ъ
Буквами обозначены: З – Золотая рыбка; К – Карась; Л – Лещ; О – Окунь; П – Пескарь; С – Сом; Я – Язь.
а). Произведите ранжирование ряда данных в алфавитном порядке.
б). Составьте таблицу относительных частот.
в). Какой процент пойманной рыбы составляют золотые рыбки?
г). Используя стариком выборку, оцените, какие виды рыб наиболее и наименее распространены в местах, где старик закинул невод.
2).В детском обувном магазине за декаду было куплено 750 пар обуви. Кладовщик Калошин проводил статистическое исследование и с этой целью записывал размеры каждой пятой из затребованных пар. Эти числа составили следующий ряд данных:
23, 24, 16, 21, 18, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 18, 22, 19, 21, 17, 24, 15, 23, 19, 16, 22, 18, 24, 19, 17, 22, 19, 15, 23, 21, 23, 19, 23, 17, 22, 16, 19, 22, 18, 20, 15, 21, 23, 19, 18, 23, 22, 20, 17, 19, 23, 21, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 18, 16, 19, 22, 23, 20, 24, 21, 19, 24, 16, 20, 23, 24, 18, 22, 17, 15, 21, 24, 20, 19, 17, 21, 20, 15, 23, 24, 18, 16, 22, 23, 24, 21, 15, 23, 22, 20, 23, 19, 20, 17, 22, 19, 20, 24, 15, 23, 18, 22, 23, 15, 21, 15, 24, 19, 18, 19, 17, 15, 19, 23, 20, 17, 22, 23, 20, 18, 22, 19, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 21, 24, 17,15, 20, 22, 21, 24, 22, 18, 22, 18, 24, 15, 21.
а). Постройте таблицу частот.
б). Определите моду ряда (самый распространенный размер).
в). Постройте диаграмму частот.
г). Найдите средний размер в этой выборке.
3).Среди учащихся школы был проведен опрос на тему: «Трудно ли вам учиться?» Опросили мальчиков – учеников 9 класса.
Как вы думаете можно ли считать эту выборку учеников репрезентативной:
а). если нужно выяснить степень нагрузки в целом по школе?
б). если нужно получить данные по 9 классу?
4).Определите является ли репрезентативной выборка:
а). Число автомобильных аварий в июле, если необходимо составить статистический отчет по авариям в городе за год.
б). Городские жители при подсчете числа автомобилей на душу населения в стране.
в). Люди в возрасте от 40 до 50 лет при выяснении рейтинга молодежной телепрограммы.
Применение математической статистики и теории вероятностей при решении практических задач.
13PAGE 142815
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14215
Возможные исходы
Второй бросок
Первый бросок
Р
Р
О
Р
Р
О
О
О
О
*
Р
Р
О
Р
О
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native