Курс по выбору «Алгебра учит рассуждать»

Курс по выбору «Алгебра учит рассуждать»
Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Поэтому наряду с решением основной задачи расширенное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе.
Основное назначение новой системы – введение открытой, объективной, независимой процедуры оценивания учебных достижений учащихся, результаты которой будут способствовать осознанному выбору дальнейшего пути образования, а также могут учитываться при формировании профильных десятых классов.
В ходе изучения алгебраического компонента школьного курса математики 9 класса создаются предпосылки для развития мышления учащихся, формирования у них умения подмечать закономерности, выдвигать гипотезы и обосновывать их, делать выводы, проводить правдоподобные и доказательные рассуждения. Однако реализация этих возможностей в практике проведения элективных занятий в значительной степени зависит от того, насколько основная педагогическая задача рассматриваемого курса находится в поле зрения учителя на всех этапах занятия – при изучении теоретического материала, при проверке домашнего задания, в ходе решения математических задач.
Специфика занятий курсов по выбору выражается в том, что в них основное время и значительное место отводятся задачам самого разнообразного плана, начиная с элементарных упражнений репродуктивного характера и кончая задачами, требующими нестандартных подходов к решению. В связи с этим важнейшая цель учителя состоит в том, чтобы учащиеся овладели технологией решения основных типов алгебраических задач, к которым относятся задания на вычисления, тождественные преобразования выражений, решение уравнений, неравенств, систем, решение текстовых задач с помощью уравнений и систем, построение и чтение графиков функций и т.п.
В процессе проведения курсов по выбору в 9 классе следует продолжать работу, направленную на формирование таких специальных умений и навыков по данному предмету, которые отвечают таким требованиям, как правильность, осознанность, автоматизм, рациональность, обобщенность и прочность. Важно в процессе работы данного курса продолжать работу по формированию у учащихся способности к использованию основных эвристических приемов по поиску решений нестандартных задач.
Пояснительная записка
Курс по выбору «Алгебра учит рассуждать» предназначен для учащихся 9-го класса.
Курс призван способствовать формированию у учащихся умений рассуждать, доказывать и решать задачи в процессе обучения математике. Материал курса рассчитан на учащихся, проявляющих определенный интерес к математике, и предполагающих в дальнейшем заняться ее серьезным обучением. Данный курс поможет учителям математики эффективно организовать подготовку учащихся к ГИА, а учащимся систематизировать знания по математике, подготовиться к экзамену и успешно сдать его.
Методы нахождения решений и психическая деятельность, связанная с поиском решения, во многом сходны как в жизненных или производственных задачах, так и в школьных (по математике, физике, химии). Поэтому ознакомление учащихся с методами поиска решений является средством не только улучшения учебных навыков, но и воспитания учащихся, подготовки их к будущей производственной деятельности, к жизни. От эффективности применения задач в обучении математике во многом зависит и степень подготовленности школьников к практической деятельности в любой сфере производства, народного хозяйства и культуры.
Решая математические задачи, представленные в продуманной системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслить творчески. Это проявляется, например, в умении изменить условие задачи с целью применить тот или иной метод, приём в умении изобретать новые приёмы для решения задач; в умении выделять и накапливать полезную информацию; умение конструировать на базе данной задачи новые; в умении осуществлять самоконтроль, исследовать результат решения.
Цели данного курса: формирование у учащихся умения рассуждать, доказывать и осуществлять поиск решений алгебраических задач на материале алгебраического компонента 9 класса; подготовка к ГИА; формирование опыта творческой деятельности, развитие мышления и математических способностей школьников.
Задачи курса:
систематизация, обобщение и углубление учебного материала, изученного на уроках алгебры в 7–9 классах;
развитие познавательного интереса школьников к изучению математики;
формирование процессуальных черт их творческой деятельности;
продолжение работы по ознакомлению учащихся с общими и частными эвристическими приемами поиска решения стандартных и нестандартных задач;
развитие логического мышления и интуиции учащихся;
расширение сфер ознакомления с нестандартными методами решения алгебраических задач.
Ожидаемые результаты:
На основе поставленных задач предполагается, что учащиеся достигнут следующих результатов:
Овладеют общими универсальными приемами и подходами к решению заданий теста.
Усвоят основные приемы мыслительного поиска.
Выработают умения:
самоконтроля времени выполнения заданий;
оценка объективной и субъективной трудности заданий и, соответственно, разумный выбор этих заданий;
прикидка границ результатов;
прием «спирального движения» (по тесту).
Курс рассчитан на 35 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, самостоятельные работы, творческую работу. Включенный в программу материал предполагает повторение и углубление следующих разделов алгебры: выражения и их преобразования; уравнения и системы уравнений; неравенства; координаты и графики; функции; арифметическая и геометрическая прогрессии; текстовые задачи.
Основные методические особенности курса
Подготовка по тематическому принципу, соблюдая «правила спирали»  от простых типов заданий первой части до заданий со звездочкой второй части;
Работа с тематическими тестами, выстроенными в виде логически взаимосвязанной системы, где из одного вытекает другое, т.е. правильно решенное предыдущее задание готовит понимание смысла следующего; выполненный сегодня тест готовит к пониманию и правильному выполнению завтрашнего и т. д.;
Работа с тренировочными тестами в режиме «теста скорости»;
Работа с тренировочными тестами в режиме максимальной нагрузки, как по содержанию, так и по времени для всех школьников в равной мере;
Максимальное использование наличного запаса знаний, применяя различные «хитрости» и «правдоподобные рассуждения», для получения ответа простым и быстрым способом.
Формы организации учебных занятий
Формы проведения занятий включают в себя лекции, практические работы, тренинги по использованию методов поиска решений. Основной тип занятий  комбинированный урок. Каждая тема курса начинается с постановки задачи. Теоретический материал излагается в форме мини лекции. После изучения теоретического материала выполняются практические задания для его закрепления. Занятия строятся с учётом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня усвоения материала. Систематическое повторение способствует более целостному осмыслению изученного материала, поскольку целенаправленное обращение к изученным ранее темам позволяет учащимся встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний.
Контроль и система оценивания
Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения учащимися самостоятельных, практических и лабораторных работ. Присутствует как качественная, так и количественная оценка деятельности. Качественная оценка базируется на анализе уровня мотивации учащихся, их общественном поведении, самостоятельности в организации учебного труда, а так же оценке уровня адаптации к предложенной жизненной ситуации (сдачи экзамена по алгебре в форме ГИА). Количественная оценка предназначена для снабжения учащихся объективной информацией об овладении ими учебным материалом и производится по пятибалльной системе.
Итоговый контроль реализуется в двух формах: традиционной контрольной работе и тестирования в форме ГИА. Тематическое планирование курса приведено в таблице (табл. 2.1).
Таблица 2.1.
Учебно-тематический план
Раздел Всего часов Лекция Практика
1. Выражения и их преобразования 5 1 4
2. Уравнения и системы уравнений 5 1 4
3. Неравенства 5 1 4
4. Функции 5 1 4
5. Координаты и графики 4 1 3
6. Арифметическая и геометрическая прогрессия 5 1 4
7. Текстовые задачи 6 1 5
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Тема 1.  Выражения и их преобразования (5ч)
Свойства степени с натуральным и целым показателями. Свойства арифметического квадратного корня. Стандартный вид числа. Формулы сокращённого умножения. Приёмы разложения на множители. Выражение переменной из формулы. Нахождение значений переменной.
Тема 2. Уравнения и системы уравнений (5ч)
Способы решения различных уравнений (линейных, квадратных и сводимых к ним, дробно-рациональных и уравнений высших степеней). Различные методы решения систем уравнений (графический, метод подстановки, метод сложения). Применение специальных приёмов при решении систем уравнений.
Тема 3. Неравенства (5ч)
Способы решения различных неравенств (числовых, линейных, квадратных). Метод интервалов. Область определения выражения. Системы неравенств.
Тема 4. Функции (5ч)
Функции, их свойства и графики (линейная, обратно-пропорциональная, квадратичная и др.) «Считывание» свойств функции по её графику. Анализирование графиков, описывающих зависимость между величинами. Установление соответствия между графиком функции и её аналитическим заданием.
Тема 5. Координаты и графики (4ч)
Установление соответствия между графиком функции и её аналитическим заданием. Уравнения прямых, парабол, гипербол. Геометрический смысл коэффициентов для уравнений прямой и параболы.
Тема 6. Арифметическая и геометрическая прогрессии (5ч)
Определение арифметической и геометрической прогрессий. Рекуррентная формула. Формула n-ого члена. Характеристическое свойство. Сумма n-первых членов. Комбинированные задачи.
Тема 7. Текстовые задачи (6ч)
Задачи на проценты. Задачи на «движение», на «концентрацию», на «смеси и сплавы», на «работу». Задачи геометрического содержания.
В качестве примера рассмотрим несколько занятий данного курса по выбору.
Тема занятия: Решение задач на концентрацию.
Цель занятия: Выработка умений самостоятельно применять знания в комплексе в новых условиях.
Методы обучения: Управление самостоятельной работой учащихся тренировочного характера.
Оборудование:
Раздаточный материал: листы с текстом задач и таблицами поиска решения задачи.
Плакаты с основными математическими моделями функциональной зависимости величин.
Плакаты с понятием концентрации.
Ход занятия
Подготовка к основному этапу занятия (вводная беседа)
Задачи, которые будут рассмотрены сегодня на занятии, вызывают у ребят чуть ли не ужас, хотя они не сложнее других, которые уже рассмотрены нами: задачи на движение, на работу и производительность труда, урожай и урожайность, покупку и т.д. Т.е. задачи, в основе решения которых лежит функциональный треугольник.
Итак, тема сегодняшнего урока – решение текстовых задач на концентрацию. Эти задачи довольно часто встречаются на ЕГЭ. Давайте не будем их бояться, т.е. научимся их решать!
В толковом словаре концентрация (лат conc+centrum) – центр, сосредоточение.
В химии – относительное содержание данной составной части (компонента) в смеси, растворе, сплаве.
Сейчас мы во всем с вами разберемся. Обратимся к рисунку (рис. 2.5).
Нальем в стакан 150г воды и растворим в ней 50г сахара. Какой станет масса раствора? (Ответ: 200г)
Раствор тщательно перемешиваем.

Рис. 2.5. Зарисовка проведения опыта по химии
Введем следующие обозначения:
Мобщ=50г+150г=200г – масса общая.
Мч.в.=50г – масса чистого вещества.
К=50г/200г=1/4 – концентрация растворов, т.е. К=Мч.в./Мобщ1/4*100%=25% – процентное содержание чистого вещества в данном растворе.
Mобщ=50г+150г=200г
Мч.в.=50г
К=50г/200г=1/4=0.25=Мч.в./Мобщ0.25*100%=25%
Представим функциональную зависимость величин, входящих в задачи о смесях (сплавах, растворах) в виде следующей математической модели (рис. 2.6). И запишем формулы, выражающие функциональную зависимость между величинами (рис. 2.7).

Рис. 2.6. Математическая модель функциональной зависимости величин
Рис. 2.7. Формулы, выражающие функциональную зависимость между величинами
Эти формулы, выражающих функциональную зависимость между величинами, представляет собой своеобразную теоретическую основу для решения задач о смесях (сплавах, растворах).
Выстроенный функциональный треугольник аналогичен тем, с которыми мы уже очень хорошо знакомы и умеем решать задачи с применением указанной функциональной зависимости.
Определив функциональную зависимость между массой общей (Vобщ), концентрацией (К) и массой чистого вещества (Vч.в.), мы устанавливаем известный нам тип задач, с общими правилами решения которых мы хорошо знакомы.
Еще раз обращается внимание учащихся на известные математические модели (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Математические модели
Далее учащимся предлагается внимательно прочесть текст задачи № 1, установить в чем состоит ее требование (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решить задачу.
Задача № 1. Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а второй 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы получить 100 л 50% процентного раствора азотной кислоты.
Работа с текстом задачи
После изучения текста задачи, с учащимися проводится собеседование, помогающее установить глубину изучения текста учениками (табл. 2.2).
Таблица 2.2.
Вопросы и предполагаемые ответы собеседования
Вопросы учителя Предполагаемые ответы ученика
Какие величины содержатся в задаче? Общий объем, объем чистого вещества, концентрация.
Как связаны между собой Vобщ, Vч.в., К? Vобщ=Vч.в./К; Vч.в.=Vобщ?К; К=Vч.в./VобщСколько можно выделить в задаче случаев? Три случая.
Какая неизвестная величина является искомой? Объемы первого и второго растворов.
Как найти объем чистого вещества в третьем случае? Чтобы найти объем чистого вещества в третьем случае нужно 100?0.5 или к Vч.в. в первом случае прибавить Vч.в. во втором случае.
Выполненный анализ позволяет осуществить запись условия и требования задачи в виде таблицы (табл. 2.3).
Таблица 2.3.
Запись условия и требования задачи в виде таблицы

Поиск решения задачи
Умение ученика составить подобную таблицу говорит о том, что он усвоил условие и требование задачи и может самостоятельно приступить к поиску ее решения путем записи ответов вместо знаков вопроса, содержащихся в таблице. В результате, таблица как модель поиска решения задачи позволяет получить соответствующее уравнение. С этой целью вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной учителем совместно с учащимися стратегии решения задачи.
Далее, пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и зависимостью между разноименными величинами, на основе табличной записи текста задачи, заполняется таблица поиска (табл. 2.4).
Таблица 2.4.
Таблица поиска решения задачи

Исходя из модели поиска решения задачи, записывается уравнение
0.3X+0.55*(100-X)=50
Рассмотрим следующую задачу
Задача № 2. Один сплав содержит два металла, массы которых относятся как 2/3, а в другом сплаве массы этих же металлов относятся как 3/7. Какие массы первого и второго сплавов надо сплавить вместе, чтобы получить третий сплав, массой 1.5кг, в котором эти металлы (по массе) находились бы в отношении 1/2?
Учащимся предлагается обозначить металлы, из которых состоят сплавы через А и В. И, для удобства дальнейших рассуждений, условие задачи проиллюстрировать диаграммой (рис. 2.9). 

Рис. 2.9. Условие задачи, представленное в виде диаграммы
Обращается внимание учащихся на то, что если в задаче известно отношение металлов, то концентрация металлов А и В в сплавах считается известной.
После изучения текста задачи, учащимися выполняется табличная запись текста (табл. 2.5).
Таблица 2.5.
Работа с текстом задачи

Поиск решения задачи
Вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины и пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и зависимостью между разноименными величинами, на основе табличной записи текста задачи, заполняется таблица поиска решения задачи.
Обозначив через X кг массу первого сплава и через Y кг массу второго сплава (табл. 2.6).
Таблица 2.6.
Таблица поиска решения задачи

Модель поиска решения задачи дает систему уравнений:

Можно заметить, что вместо второго уравнения системы можно было записать и более простое условие на вес сплавов: X+Y=1.5 (в нашем случае это условие получается при сложении уравнений системы).
Поиск решения задачи закончен.
Рассматриваем следующую задачу.
Задача № 3. Из сосуда наполненного 96%-ным раствором кислоты отлили 2.5л 80%-ного раствора той же кислоты, затем еще раз отлили 2.5л и снова долили 2.5л 80%-ного раствора кислоты. После этого в сосуде получился 89%-ный раствор кислоты.
Найти емкость сосуда.
Работа с текстом задачи
Учащиеся выполняют табличную запись данных и неизвестных величин, о которых говорится в задаче (табл. 2.7).
Таблица 2.7.
Табличная запись данных и неизвестных величин

Учащимся предлагается ставить знак минус (-) около тех величин, которые «отливаются» и знак плюс (+) около тех величин, которые «доливаются».
Поиск решения задачи
После этого заполняется таблица поиска решения (табл. 2.8.), обозначив через X л емкость (объем) сосуда. Кроме этого, обращается внимание учащихся на тот факт, что по смыслу задачи X>2.5.
Таблица 2.8.
Таблица поиска решения задачи

Учащимся, закончившим работу быстрее других, предлагается решить полученное уравнение 0.89X=(X-2.5)*(0.96X-0.4)/X+2
Решение
0.89X2=0.96X2-0.4X-2.4X+1+2X
0.07X2-0.8X+1=0
7X2-80X+100=0
X1=10 ; X2=7/10
X=7/10 не удовлетворяет условию X>2.5Подведение итогов занятия
Для того чтобы научиться решать задачи, надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – как объект конструирования изобретения.
Дидактический материал для проведения занятий приведен в приложение 5.