Разработка раздела Интегральное исчисление по математике

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Интеграл — одно из центральных понятий математического анализа и всей математики. Оно возникло в связи с двумя основными задачами: о восстановлении функции по заданной ее производной; о вычислении площади, ограниченной графиком функции , прямыми и осью . Термин «интеграл» ввел Я. Бернулли в 1690 г. Интересно, что в истории математики это понятие связывают с двумя латинскими словами: integro — восстанавливать и integer — целый.
Эти две задачи приводят к двум связанным между собой видам интегралов: неопределенного и определенного. Изучение свойств и вычисление этих интегралов и составляют основную задачу интегрального исчисления.
Элементы интегрального исчисление заложены в работах математиков Древней Греции. Основные понятия и начала теории интегрального исчисления, прежде всего связь его с дифференциальным исчислением, а также применение их к решению практических задач, разработаны в конце 17 ст. Ньютоном и Лейбницем. Дальше историческое развитие интегрального исчисления связано с именами Л. Эйлера, О. Коши, Б. Римана и других ученых.
8.1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла
2 Свойства неопределенного интеграла
3 Таблица основных интегралов
Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание производной от заданной функции . Одно из возможных физических трактований этой задачи — определение скорости движения по функции, задающей пройденный путь за заданное время. С практической точки зрения естественной является обратная задача, а именно, определение пройденного пути по известной скорости движения как функции времени. Более формально, последняя задача — это отыскание функции по известной ее производной . Решается эта задача с помощью неопределенного интеграла.
1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла
Дифференцированная функция называется первообразной функции на интервале , если выполняется равенство для каждого значения из этого интервала.
Пример Первообразной функции есть функция , так как .
Заданная функция имеет не одну первообразную. Первообразными для функции будут также функции , которые отличаются лишь на постоянную величину и тоже удовлетворяют условию .
Итак, задача нахождения первообразной данной функции решается неоднозначно. Это подтверждается теоремой, которая выражает основное свойство первообразных: если –первообразная функции на некотором интервале, то всякая другая первообразная функции на этом же интервале имеет вид , где — постоянная величина.
Совокупность всех первообразных функции на интервале называют неопределенным интегралом функции на этом интервале. Обозначают неопределенный интеграл символом .По определению, .Знак введённый Лейбницем, называют знаком неопределенного интеграла, выражение , которое стоит под знаком интеграла, —подинтегральным выражением, функцию — подинтегральною функцией, — переменной интегрирования.
Операцию отыскания неопределенного интеграла от функции называют интегрированием этой функции
2 Свойства неопределенного интеграла
Из равенств и следуют такие свойства неопределенного интеграла.
1 Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:

2 Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:

3 Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5 Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равняется алгебраической сумме интегралов от этих функций:

6 Если функция является первообразной для , то , где и произвольные числа
7 Если и — произвольная функция, которая имеет непрерывную производную, то

3 Таблица основных интегралов
Часть формул таблицы основных интегралов непосредственно вытекает из определения интегрирования как операции, обратной к операции дифференцирования и таблицы производных. Справедливость других формул можно проверить дифференцированием.
Интегралы этой таблицы называются табличными. Их надо знать наизусть по двум причинам. Во-первых, цель существующих методов интегрирования заключается в том, чтобы свести искомый интеграл к табличному. Итак, табличный интеграл надо уметь распознавать. Во-вторых, каждый табличный интеграл «порождает» множество интегралов, которые легко вычисляются на основе табличных.
Пусть — произвольная функция, которая имеет на некотором промежутке непрерывную производную ; тогда на этом промежутке справедливые такие формулы:





— формула высокого логарифма
— формула длинного логарифма
38100076200?
00?

Вопросы для самопроверки
1 Дайте определение первообразной функции.
2 Какое основное свойство первообразной?
3 Что называют неопределенным интегралом?
4 Чем отличается подинтегральное выражение от подинтегральной функции?
5 Какие вы знаете свойства неопределенного интеграла?
6 Дайте определение операции интегрирования.
8.2 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1 Непосредственное интегрирование
2 Интегрирование методом подстановки (замены переменной)
3 Интегрирование частями
Операция интегрирования значительно более сложная, чем операция дифференцирования. В дифференциальном исчислении таблица производных и правила дифференцирования функций дают возможность найти производную произвольной диференцируемой функции. В интегральном исчислении таких простых и универсальных правил интегрирования не существует. Отсутствует, например, общее правило интегрирования произведения двух функций, даже если первообразные каждой из них известны. Это же касается частного двух функций и сложной функции. Интегрирование требует индивидуального подхода к каждой подинтегральной функции.
Основными методами интегрирования являются: непосредственное интегрирование, метод подстановки и интегрирование частями.
1 Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов называют непосредственным интегрированием. В большинстве случаев заданный интеграл сводится к одному или нескольким табличным с помощью тождественных преобразований подинтегральной функции.
Пример. Выполнить непосредственное интегрирование функций:
1)
2)
3)

4)

5)

2 Интегрирование методом подстановки (замены переменной)
Если интеграл невозможно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то одним из способов интегрирования является способ подстановки (замены переменной). Суть этого метода состоит во введении новой переменной интегрирования. Новой переменной заменяют такую часть подинтегральной функции, при дифференцировании которой получаем ту часть, которая осталась (не учитывая постоянного множителя, на который всегда можно умножить или разделить соответствующее выражение). Если подстановка выбрана правильно, то полученный интеграл будет более простым.
Общих методов подбора подстановок не существует, умение правильно определять подстановку приобретается на практике.
Правила интегрирования методом замены переменной:
1) определить, к какому табличному интегралу будет сведен заданный интеграл (в случае необходимости подинтегральное выражение сначала преобразовывается);
2) определить, какую часть подинтегральной функции надо заменить новой переменной и записать эту замену;
3) Найти дифференциалы обеих частей замены и выразить дифференциал старой переменной (или выражение, его содержащее) через дифференциал новой переменной;
4) осуществить замену под интегралом и найти интеграл;
5) в результате осуществить обратную замену, то есть вернуться к старой переменной;
6) результат интегрирования полезно проверить дифференцированием.
Пример. Выполнить интегрирование функций методом замены переменной
1)
2)
3)
4) ;
5)
3 Интегрирование частями
Метод интегрирования частями применяют тогда, когда под интегралом находится произведение функций, причем хотя бы одна из функций является трансцендентной (не степенной).
Пусть и некоторые функции переменной : , . Тогда формулой интегрирования частями называют формулу: , а метод интегрирования с помощью этой формулы — методом интегрирования частями.
Применяя формулу интегрирования частями, необходимо правильно выбрать и для того, чтобы интеграл, записанный в правой части формулы, был проще исходного.
Рекомендации по применению метода интегрирования частями.
1) При выборе и нужно помнить, что упрощение заданного интеграла возможно за счет дифференцирования функции ;
2) во время определения функции по дифференциалу считают, что постоянная равняется нулю, так как на конечный результат она не влияет;
3) в интегралах вида целесообразно выбирать , а оставшуюся часть подинтегрального выражения обозначать ;
4) в интегралах вида целесообразно брать , а остальную часть подинтегрального выражения обозначить .
5) в интегралах вида , где и — действительные числа, после двукратного применения формулы интегрирования частями получим первоначальный интеграл с некоторым коэффициентом. Полученное равенство является линейным алгебраическим уравнением относительно искомого интеграла. Решая это уравнение, находят интеграл.
Пример. Выполнить интегрирование функций, применяя формулу интегрирования частями
1)

2)


3)

Итак, получили уравнение , из которого находим
.
Упражнения для самостоятельного решения
№1. Найти интегралы функций путем непосредственного интегрирования:
1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
6) ;7) ;8) ;
9) ;10) ;11) ;
12) ;13) ;14) ;
15) ;16)
№2. Найти интегралы, используя интегрирование частями
1) ;2) ;3) ;4)
№3. Найдите интегралы методом замены переменной:
1) ;2) ;3) ;4) ;
5) ;6) ;7) ;8)
30480064135?
00?

Вопросы для самопроверки
1 Что называют непосредственным интегрированием?
2 В чем суть метода подстановки?
3 Какие интегралы находят методом подстановки?
4 Приведите формулу интегрирования частями в неопределенном интеграле.
5 Какие типы интегралов интегрируют частями?

8.3 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1 Понятие определенного интеграла
2 Основные свойства определенного интеграла
3 Связь между определенным и неопределенным интегралами
4 Непосредственное вычисление определенных интегралов
5 Интегрирование частями и замена сменной в определенном интеграле
1 Понятие определенного интеграл
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на произвольных частей точками .
040640










00










Длины полученных отрезков обохначим . На каждом полученном отрезке возьмем произвольные точки , и вычислим значения функции в точках .
Сложим сумму

Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке .
Геометрически каждое слагаемое интегральной суммы равняется площади прямоугольника с основанием и высотой , а вся сумма равняется площади фигуры, которую получили соединением всех указанных выше прямоугольников.
Отрезок можно делить на частей по-разному, также точки также можно выбирать по-разному для функции и любого заданного отрезка . Значит, можно получить разные интегральные суммы и разные ступенчатые фигуры для функции на отрезке . Однако все интегральные суммы при бесконечном увеличении количества отрезков и приближении к нулю самой большой из длин этих отрезков, будут приближаться к некоторому конечному пределу, который не зависит ни от способа, по которому выбираются точки деления , ни от того, как выбираются промежуточные точки .
Общий предел всех интегральных сумм функции называется определенным интегралом от функции на отрезке . Он обозначается символом и читается: «интеграл от до от функции по ». Числа и называют пределами интегрирования: — нижним, — верхним, отрезок — это отрезок интегрирования.
По определению .Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке определенный интеграл.
Если функция непрерывна и положительна на отрезке , то интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена осью , прямыми , и графиком функции . Итак, . Такой геометрический смысл определенного интеграла.
2 Основные свойства определенного интеграла
Все ниже приведённые свойства сформулированы в предположении, что данные функции интегрируемы на соответствующих промежутках.
1 Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.

2 Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равняется нулю

3 При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4 Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
, где .5 Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:

6 Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равняется алгебраической сумме определенных интегралов от функций, которые суммируются:

3 Связь между определенным и неопределенным интегралами
Исторически определенный интеграл был введен как обозначения для предела интегральных сумм. Начиная от Архимеда, именно таким образом находили площади криволинейных трапеций и значения разных физических величин. Позднее, в 17 столетии И. Ньютоном и независимо от него И. Лейбницем была установлена формула: , где любая первообразная для функции на отрезке . Сложная задача отыскания предела интегральной суммы заменена более простой задачей определения произвольной первообразной для функции на отрезке и отыскания ее приращения на этом отрезке. Таким образом, число является определенным интегралом от функции на отрезке и можно дать еще одно определение определенного интеграла: определенным интегралом называется приращение произвольной первообразной при изменении аргумента от до .
Это определение записывают в виде формулы Ньютона-Лейбница:

Ее еще называют основной формулой интегрального исчисления, поскольку она связывает между собой определенный и неопределенный интегралы от функции на отрезке .
4 Непосредственное вычисление определенных интегралов
Для вычисления определенного интеграла при условии существования первообразной пользуются формулой Ньютона-Лейбница. Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:
1) найти неопределенный интеграл от данной функции, считая, что ;2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, а потом нижний пределы интегрирования;
3) найти приращение первообразной, то есть вычислить интеграл.
Пример. Выполнить непосредственное интегрирование:
1)
2)
3)


5 Интегрирование частями и замена сменной в определенном интеграле
При вычислении определенных интегралов, как и неопределенных, широко пользуются методом замены переменной. При вычислении определенного интеграла методом замены переменной новая переменная вводится подобно случаю неопределенного интеграла. Но в отличие от неопределенного интеграла, где в первообразной функции необходимо было от новой переменной вернуться к предыдущей, при вычислении определенного интеграла вместо этого надо изменить пределы интегрирования.
Пример. Вычислить интеграл методом замены переменной:


Метод интегрирования частями также используют при вычислении определенных интегралов. Если функции и имеют на отрезке непрерывные производные, то справедлива формула , которая называется формулой интегрирования частями определенного интеграла.
Пример. Выполнить интегрирование частями при вычислении определенного интеграла:



Упражнения для самостоятельного решения
№1. Вычислить интегралы, применяя формулу Ньютона-Лейбница:
1) ;2) ;3) ;4) ;
5) 6) ;7) ;8)
№2. Вычислить интегралы методом замены переменной:
1) ;2) ;3) ;4)
№3. Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования частями:
1) ;2) ;3) 4)
43624599695?
00?
Вопросы для самопроверки
1 Сформулируйте определение определенного интеграла.
2 Приведите геометрическое смысл определенного интеграла.
3 Сформулируйте основные свойства определенных интегралов.
4 Приведите формулу интегрирования частями в определенном интеграле.
5 Приведите формулу Ньютона-Лейбница.
6 Какая особенность метода замены переменной в определенном интеграле?
8.4 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1 Метод прямоугольников
2 Метод трапеций
3 Метод парабол
4 Алгоритм приближенного вычисления определенных интегралов
Определенный интеграл вычисляют с помощью формулы Ньютона-Лейбница, если можно найти первообразную от непрерывной на отрезке функции . Если же первообразная не является элементарной функцией, или задана графиком или таблицей, то формулой Ньютона-Лейбница воспользоваться нельзя. Тогда определенный интеграл вычисляют приближенно. Приближенно вычисляют определенный интеграл и тогда, когда первообразная функция хоть и является элементарной, но точные ее значения и получить не просто.
Приближенные методы вычисления определенного интеграла основываются на геометрическом смысле определенного интеграла. Идея приближенного вычисления интеграла заключается в том, что заданную кривую заменяют новой линией, «близкой» к заданной. Тогда искомая площадь приближенно равняется площади фигуры, ограниченной сверху этой линией.
1 Метод прямоугольников
Если отрезок интегрирования разделить на равных частей длиной и обозначить значения функции в точках деления , то определенный интеграл можно определить по одной из формул, которые называют формулами прямоугольников:
— формула «левых» прямоугольников
— формула «правых» прямоугольников
2 Метод трапеций
Если разделить отрезок интегрирования точками на равных частей длиной и обозначить значения функции в точках деления , тогда определенный интеграл можно вычислить по формуле:
, которую называют формулой трапеций.
3 Метод парабол
Если отрезок интегрирования разделить на чётное количество равных частей (то есть ) и обозначить , тогда определенный интеграл можно вычислить по формуле:
, которую называют формулой Симпсона.
В каждом случае при увеличении шаг уменьшается, поэтому правые части всех четверых формул будут давать более точное значение определенного интеграла.
4 Алгоритм приближенного вычисления определенных интегралов
Чтобы приближенно вычислить определенный интеграл, надо:
1) поделить отрезок интегрирования на равных частей точками и определить длину каждой части ;
2) вычислить значение подинтегральной функции в точках деления:
;
3) использовать одну из приближенных формул.
Пример. Вычислить интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница и по приближенным формулам, разделив отрезок интегрирования на 8 равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.
Решение:
1) Найдём интеграл по формуле Ньютона-Лейбница

.
2) Разделим отрезок интегрирования на 8 равных частей и найдем длину одной части
.
3) Найдем значения функции в точках деления

4) Вычислим интеграл с помощью приближенных формул:
По формулам прямоугольников:


По формуле трапеций:

По формуле Симпсона:

Упражнения для самостоятельного решения
№1. Вычислите приближенное значение интеграла по формулам прямоугольников при с двумя десятичными знаками.
№2. Вычислите приближенное значение интеграла по формуле трапеций при с тремя десятичными знаками.
№3. Вычислите приближенное значение интеграла по формуле Симпсона при с двумя десятичными знаками.
38100081915?
00?

Вопросы для самопроверки
1 В каких случаях целесообразно использовать формулы приближенного вычисления определённых интегралов?
2 Какие вы знаете формулы приближенного вычисления определенных интегралов?
3 Которая из формул приближенного вычисления дает лучшее приближение при заданном значении ?4 Приведите алгоритм приближенного вычисления определенных интегралов.

8.5 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1 Вычисление площадей плоских фигур
2 Объем тела вращения
3 Путь, пройденный точкой
1 Вычисление площадей плоских фигур
Если фигура является криволинейной трапецией, то ее площадь согласно геометрическому смыслу определенного интеграла равняется: .
4457700237490у
0
xaby=f(x)
00у
0
xaby=f(x)
Если же фигура не является криволинейной трапецией, то вычисление ее площади сводится к одному из следующих случаев:
кривая на . В этом случае площадь можно вычислить по формуле:
;
4457700119380у
0
xabcy=φ1(x)
y=φ2(x)
00у
0
xabcy=φ1(x)
y=φ2(x)
если на , то для нахождения площади фигуры находят точку , как абсциссу точки пересечения графиков функций и , а площадь вычисляют по формуле:

4572000126365у
0
xaby=f1(x)
y=f2(x)
00у
0
xaby=f1(x)
y=f2(x)

если фигура ограничена двумя кривыми и , в этом случае площадь фигуры находят по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .
457200026670y0
xy=x2
y2=x
00y0
xy=x2
y2=x
Решение: Найдем пределы интегрирования, то есть абсциссы точек пересечения графиков функций и . Для этого решим систему:.Имеем:

Итак, .Вычисление площади фигуры сводится к случаю . При этом: , и

Ответ: (кв. ед.)
2 Объем тела вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции , ограниченной непрерывной кривой , (где ), отрезком оси и отрезками прямых и , вычисляется по формуле: .
Пример. Вычислить объем шара радиуса .Решение: Шар образован вращениям вокруг оси круга, ограниченного окружностью с центром в начале координат и радиусом . Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, сначала найдем половину искомого объема:


Ответ: (куб. ед.)
3 Путь, пройденный точкой
Если точка движется прямолинейно и ее скорость является известной функцией времени, то путь, пройденный точкой за промежуток времени , вычисляется по формуле: .
Пример. Тело движется прямолинейно со скоростью (V – в м/с).
Найти путь, пройденный телом за 10 с.
Решение: Используя формулу, находим:
м
Ответ: м
Упражнения для самостоятельного решения
№1. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой , прямой , осью .
№2. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой , прямыми осью
№3. Тело движется прямолинейно со скоростью ( – в м/с). Вычислить путь, пройденный телом за первые три секунды.
№4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)
б)
№5. Вычислите объемы тел, образованных вращением фигуры вокруг оси и ограниченных графиками функций:
а)
б)
№6. Скорость движения точки (м/с). Найдите
а) путь, пройденный точкой за три секунды от начала движения;
б) путь, пройденный точкой за третью секунду;
в) путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.