Электронное пособие по математике Интегральное исчисление
ГБПОУ ВО «ВЮТ»Интегральное исчислениеПреподаватель математики: Будаева А.Б Воронеж-2015
Интегральное исчисление Цель: рассмотреть понятие первообразной функции, неопределенного и определенного интеграла, свойства неопределенного и определенного интеграла, формулу Ньютона-Лейбница. Ознакомиться с таблицей интегралов, понятием криволинейной трапеции и нахождением ее площади. Освоить навыки вычисления интеграла. Развивать познавательный интерес, логическое мышление, внимание. Формировать потребности в приобретении знаний. Воспитывать ответственность, самостоятельность, культуру общения и учебного труда. В результате проведения занятия студент должен: Знать основные понятия: неопределенный интеграл, свойства неопределенного интеграла (таблица интегралов), определенный интеграл, свойства определенного интеграла.Уметь находить неопределенный и определенный интеграл.
Интегральное исчислениеПервообразнаяНеопределенный интеграл Определенный интегралСвойства определенного интеграла Свойства неопределенного интеграла Таблица основных интегралов ПримерыПриложения определенного интеграла
Первообразная Задача дифференциального исчисления: по данной функции найти её производную. Задача интегрального исчисления: найти функцию, зная её производную.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутка справедливо равенство Fʹ(x)=f(x).
Теорема. Если функция непрерывна на каком-нибудь промежутке, то она имеет на нём первообразную.Для всякой ли функции f(x) существует первообразная?
Теорема. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+C, где C∈R. Геометрически:F(x)+C представляет собой семейство кривых, получаемых из каждой из них параллельным переносом вдоль оси ОУ.
Неопределённый интегралМножество всех первообразных F(x)+C функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается символом , т.е
- подынтегральная функция- подынтегральное выражение- знак неопределённого интегралах – переменная интегрированияF(x)+C – множество всех первообразныхС – постоянная интегрированияПроцесс нахождения первообразной функции называется интегрированием, а раздел математики- интегральным исчислением.
Свойства неопределённого интеграла1. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е
3. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.еСвойства неопределённого интеграла
Таблица основных неопределенных интегралов
Таблица основных неопределенных интегралов
Пример 1.Интеграл суммы выражений равен сумме интегралов этих выражений Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
Пример 2. Вычислить интеграл
Пример 3. Вычислить интеграл
Пример 4. Вычислить интеграл
Пример 5. Вычислить интеграл
Пример 6. Вычислить интеграл
Определенный интеграл Выражение вида Числа а и b называются соответственно нижними и верхними пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией; f(x)dx- подынтегральным выражением, х- переменной интегрирования, отрезок [а;b] – областью (отрезком) интегрирования.называется определенным интегралом
Свойства определенного интеграла
Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)Для непрерывной функциигде F(x) – первообразная функции f(x).
Геометрический смыслопределенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:Геометрический смыслопределенного интеграла
Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , тоГеометрический смыслопределенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигурВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x-2 и y=x2-4x+2 1. y=x2- 4x+2, xв =2, yв = -2y=x-23. Абсциссы точек пересечения: x2- 4x+2=x-2 х1=1, х2=4 y-2y=x2- 4x+24. S=41xОтвет: S=4,52. у=х-2: х=0, у=-2; х=2, у=0
ppt_yppt_yppt_y
Вычисление площади криволинейной трапеции Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 0, y = , x = 1, x = e.yx = 1x = e1exy = 0y = S = Ответ: S = 1
Вычисление площади криволинейной трапеции Ответ: S = π+1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:xy = 0y1
Физический смыслопределенного интегралаПри прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:
Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой v = 3t2-4t+1, (время измеряется в секундах, скорость – в cантиметрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 3 секунды,считая от начала движения (t=0)? Ответ: 12смФизический смыслопределенного интеграла
Дан прямолинейный неоднородный стержень [0;6], его плотность в точке х определяется по формуле р(х) = х2+х+1.Найдите массу стержня.Ответ: 96Физический смыслопределенного интеграла
Основные источники 1. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для образовательных учреждений: базовый уровень / [Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]. – М.: Просвещение, 2011. – 464 с.2. Атанасян, Л.С. Геометрия: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2011. – 384 с.3. Башмаков, М.И. Математика: учебник / М.И. Башмаков. – М.: КНОРУС, 2013. – 400, с.4. Богомолов, Н.В. Математика: учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Издатльство Юрайт, 2013. – 396 с. 6. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобрзоват. Учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др. – М.: Просвещение, 2013. – 365 с.Интернет-ресурсыwww.interneturok.ruwww.researcher.ruwww.schools.keldysh.ru/labmrowww.urokimatematiki.ruwww.1september.ruwww.pedsovet.org