Сборник внеаудиторных самостоятельных работ по математике

Сборник внеаудиторных самостоятельных работ по математике
Ханты-Мансийский технолого-педагогический колледж - 2013.
Составитель:
Л.И. Кива, преподаватель физики и математики
Сборник заданий по внеаудиторной самостоятельной работе по математике предназначен студентам, обучающимся по специальностям среднего профессионального образования 050146 «Преподавание в начальных классах», 050144 «Дошкольное образование».
Рассмотрено на заседании методического объединения «Математика»
Протокол № 1 от 28.08. 2013 г.
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение PAGEREF _Toc373007921 \h 2Перечень внеаудиторных самостоятельных работ по математике PAGEREF _Toc373007922 \h 5Самостоятельная работа № 1 на тему: Теорема о трех перпендикулярах PAGEREF _Toc373007923 \h 6Самостоятельная работа №2 на тему: Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями PAGEREF _Toc373007924 \h 8Самостоятельная работа №3 . Составление кроссвордов на тему: Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве PAGEREF _Toc373007925 \h 13Тема: Векторы и координаты PAGEREF _Toc373007926 \h 14Самостоятельная работа №4 на тему: Действие над векторами в координатной форме PAGEREF _Toc373007927 \h 14Самостоятельная работа №5 на тему: Жизнь и деятельность математиков-ученых PAGEREF _Toc373007928 \h 16Тема: Геометрические тела. Объемы и площади поверхностей геометрических тел PAGEREF _Toc373007929 \h 17Самостоятельная работа №6 на тему: Многогранники и их поверхности PAGEREF _Toc373007930 \h 17Самостоятельная работа № 7 на тему: Выполнение моделей многогранников PAGEREF _Toc373007931 \h 21Самостоятельная работа №8 на тему: Площади поверхности и объем фигур вращения PAGEREF _Toc373007932 \h 22Тема: Показательная, логарифмическая, степенная функции: PAGEREF _Toc373007933 \h 26Самостоятельная работа №9 на тему: Решение иррациональных уравнений PAGEREF _Toc373007934 \h 26Самостоятельная работа №10 на тему: Преобразование выражений, содержащих показательные и логарифмические функции. PAGEREF _Toc373007935 \h 27Самостоятельная работа №11 на тему: Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств PAGEREF _Toc373007936 \h 28Тема: Тригонометрические функции PAGEREF _Toc373007937 \h 32Самостоятельная работа №12 на тему: Использование тригонометрических формул для преобразования тригонометрических выражений PAGEREF _Toc373007938 \h 32Самостоятельная работа №13 на тему: Решение тригонометрических уравнений PAGEREF _Toc373007939 \h 34Самостоятельная работа №14 на тему: Геометрический смысл производной PAGEREF _Toc373007940 \h 37Самостоятельная работа №15 на тему: Применение производной к исследованию функции PAGEREF _Toc373007941 \h 39Тема: Интеграл и его приложения PAGEREF _Toc373007942 \h 40Самостоятельная работа №16 на тему: Вычисление площадей плоских фигур PAGEREF _Toc373007943 \h 40Тема: Повторение. Подготовка к экзамену PAGEREF _Toc373007944 \h 42Домашняя контрольная работа №17 PAGEREF _Toc373007945 \h 42Литература: PAGEREF _Toc373007946 \h 44Интернет - ресурсы PAGEREF _Toc373007947 \h 44
ВведениеСамостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов:
Изучение материала по учебнику.
Выполнение еженедельных домашних заданий.
Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы.
В сборнике Вам предлагается перечень внеаудиторных самостоятельных работ, которые вы должны выполнить в течение учебного года.
При выполнении внеаудиторной самостоятельной работы учащийся может обращаться к преподавателю для получения консультации.
Внеаудиторная самостоятельная работа учащихся – планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская, проектная работа, выполняемая за рамками расписания учебных занятий по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия и является обязательной для каждого студента.
Целью самостоятельной работы учащихся является:
- обеспечение профессиональной подготовки выпускника в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования;
- формирование и развитие общих компетенций, определённых в Федеральном государственном образовательном стандартом среднего профессионального образования;
- формирование и развитие профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности.
Задачами, реализуемые в ходе проведения внеаудиторной самостоятельной работы учащихся, в образовательной среде колледжа являются:
- систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и практических умений студентов;
- развитие познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;
- формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;
- овладение практическими навыками применения информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности;
- развитие исследовательских умений.
- Объем времени, отведенный на внеаудиторную самостоятельную работу, находит свое отражение:
- в рабочем учебном плане – в целом по циклам основной профессиональной образовательной программы, отдельно по каждому из учебных циклов, по каждой дисциплине, междисциплинарному курсу и профессиональному модулю;
- в рабочих программах учебных дисциплин и профессиональных модулей с ориентировочным распределением по разделам и темам.
Контроль результатов самостоятельной работы учащихся может осуществляться в пределах времени, отведенного на обязательные учебные занятия и самостоятельную работу по дисциплине математика и может проходить в письменной, устной или смешанной форме с предоставлением изделия или продукта творческой деятельности.
Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы учащегося являются:
- уровень освоения учебного материала;
- умение использовать теоретические знания и умения при выполнении практических задач;
- уровень сформированности общих компетенций.
Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы способствует формированию общих компетенций:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы решения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.
ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством, коллегами и социальными партнерами.
Указания к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы
Внеаудиторную самостоятельную работу нужно выполнять в отдельной тетради в клетку.
Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».
После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.
Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения внеаудиторной самостоятельной работы производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).
Процент результативности (правильных ответов) Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений
балл (отметка) вербальный аналог
90 ÷ 100 5 отлично
80 ÷ 89 4 хорошо
70 ÷ 79 3 удовлетворительно
менее 70 2 неудовлетворительно
Учебники:
Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / (Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.)-16-е изд.-М.: Просвещение, 2007г.- 256 с.:ил.
Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / (Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др.)- 15-е изд. М.: Просвещение, 2007 г. 384с.
Всего часов по математике 175. Из них внеаудиторная самостоятельная работа –58 часов.

Перечень внеаудиторных самостоятельных работ по математике№п/пНаименование тем Количество часов Вид работы Формируемые компетенции
Тема: Прямые и плоскости в пространстве, их взаимное расположение
11 Теорема о трех перпендикулярах 3 Решение задач ОК 2.
22 Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями 3 Решение задач ОК 2.
33 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 3 Составить кроссворд на тему ОК 2.
ОК 4.
ОК 5.
Тема: Векторы и координаты
44 Действия над векторами в координатной форме 3 Решение задач ОК 2.
55 Биографии ученых 3 Сообщения, презентации ОК 2.
ОК 4.
ОК 5.
Тема: Геометрические тела. Объёмы и площади поверхностей геометрических тел
66 Многогранники и их поверхности 4 Решение задач ОК 2.
ОК 3.
67 Выполнение моделей многогранников 3 Практическое задание ОК 2.
ОК 3.
ОК 6.
88 Площадь поверхности и объемы фигур вращения 4 Решение задач ОК 2.
ОК 3.
Тема: Показательная, логарифмическая, степенная функции
19 Решение иррациональных уравнений 3 Решение задач ОК 2.
ОК 4.
110 Преобразование выражений, содержащих показательные и логарифмические функции 4 Решение задач ОК 2.
ОК 4.
111 Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств 3 Решение задач ОК 2.
ОК 4.
Тема: Тригонометрические функции
112 Использование тригонометрических формул для преобразования тригонометрических выражений 4 Решение задач ОК 2.
ОК 4.
113 Решение тригонометрических уравнений и неравенств 3 Решение задач ОК 2.
ОК 4.
Тема: Производная и её приложение
114 Геометрический смысл производной 3 Решение задач ОК 2.
115 Применение производной к исследованию функции и построению графиков 4 Решение задач ОК 2.
Тема: Интеграл и его приложение
116 Вычисление площадей плоских фигур 4 Решение задач ОК 2.
Тема: Повторение. Подготовка к экзамену
217 Домашняя контрольная работа 4 Решение задач ОК 2.
Итого часов 58 Тема: Прямые и плоскости в пространстве, их взаимное расположение
Самостоятельная работа № 1 на тему: Теорема о трех перпендикулярахЦель: уметь применять теорему о трех перпендикулярах при решении задач.
Теоретический материал
152400Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Теорема (обратная): Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Определение: Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость

Вопросы для закрепления.
Как найти расстояние от точки до плоскости?
Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же плоскости?
Если наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, равны, то, что можно сказать об их проекциях?
Как формулируется обратное утверждение? Справедливо ли оно?
Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах
Как формулируется теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах?
Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проектируется?
Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то во что она проектируется?
Что называется углом между прямой и плоскостью?
Решить самостоятельно.
Вариант 1
Докажите, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной.

Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 6 см длиннее второй. Проекция наклонных равны 17 см и 7 см. Найдите наклонные.
Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АD к плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки D до прямой ВС, если АD=1дм, ВС=8 дм?
Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата. SO= 42 см.
Докажите равенство углов, образованных прямыми SA, SB, SD с плоскостью квадрата.
Найдите эти углы, если периметр АВСD равен 32 см.
Отрезок SA длиной 15 см – перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором АС=10 см, АВ=6 см.
Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC имеют равные площади.
Вариант 2
Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.
Из вершины квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АЕ к плоскости квадрата. Чему равно расстояние от точки Е до прямой ВD, если АЕ=2дм, АВ=8 дм?
Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. SO – перпендикуляр к плоскости квадрата. SO= 4см. Точки K, L, M, N – середины сторон квадрата.
Докажите равенство углов, образованных прямыми SK, SL, SM, SN с плоскостью квадрата.
Найдите эти углы, если площадь АВСD равен 64 см2.
Отрезок SA длиной 6 см – перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD, в котором АС=82 cм.
Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскости квадрата равны.
Самостоятельная работа №2 на тему: Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостямиЦель: Уметь находить угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями.
Теоретические сведения
Угол между прямой и плоскостью.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.
Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

Определим понятие угла между плоскостями.
Определение: Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.
472440108585Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями .
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.
Решить самостоятельно. Ответы обосновать.
Вариант 1
Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AA1 и плоскостью AB1C1.

В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD1.

В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ACC1 и BDD1.

В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BC1D.

В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BB1C1.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A1B1C.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC.

Вариант 2
Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 6. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 18. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AB1 и плоскостью BCC1.

В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA1.

В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD1.
1139190131445
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями BC1D и BA1D.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC1 и BCC1.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ACB1.

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SAD и SBC.

Самостоятельная работа №3 . Составление кроссвордов на тему: Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространствеЦель: развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления.
Кроссворд — игра, состоящая в разгадывании слов по определениям.
Правила составления кроссвордов
В общем случае определение должно состоять из одного предложения.
Определения должны быть по во возможности краткими. Следует избегать перечислений, не злоупотреблять причастными и деепричастными оборотами, не перегружать текст прилагательными. Определение кроссворда - своего рода компромисс между краткостью и содержательностью.
Запрещается использование в одной сетке двух и более одинаковых слов, даже с различными определениями.
В вопросах следует избегать энциклопедических определений. В целом работа должна быть авторской, а не перепечаткой статей из словаря.
Нежелательно начинать формулировку вопроса с цифры, глагола, деепричастия.
Запрещается использование однокоренных слов в вопросах и ответах.
В работе должна быть изюминка, то есть нечто, отличающее ее от миллионов других.
Запрещается помещать слова без пересечений (встречается и такое).
Не используются слова, пишущиеся через тире и имеющие уменьшительно-ласкательную окраску.
Образец оформления и составления кроссвордов:
По горизонтали:
53340161925
1. Сторона прямоугольного треугольника.
4. Он есть у функции и последовательности.
8. Его штаны равны во все стороны.
10. Полный круг вращения.
13. Французский математик, специалист теории вероятностей.
14. Арифметическое действие.
16. Гектар — ... площади.
17. Часть матрицы.
18. Свойство углов.
19. Полупрямая.
22. Нейтральный элемент относительно умножения.
23. Группа повторяющихся цифр в бесконечной десятичной дроби.
24. Наибольший общий ...
По вертикали:
2. Бублик как математический объект.
3. Положение, нуждающееся в доказательстве.
4. Поверхность, имеющая 2 измерения.
5. Линейное алгебраическое уравнение.
6. Тригонометрическая функция.
7. Один из двух экстремумов.
9. Функция по своей сути.
11. Часть прямой.
12. Линия.
15. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами.
17. Полный квадрат первого двузначного числа.
18. Для него необходимы натуральные числа.
20. В теории графов: маршрут, все ребра которого различны.
21. В теории графов: замкнутый маршрут, все ребра которого различны.
Ответы:
По горизонтали:
1-катет;
4-предел;
8-пифагор;
10-оборот;
13-пуассон;
14-умножение;
16-мера;
17-строка;
18-смежность;
19-луч;
22-единица;
23-период;
24-делитель;
По вертикали:
2-тор;
3-теорема;
4-плоскость;
5-лау;
8-синус;
7-максимум;
9-отображение;
11-отрезок;
12-кривая;
15-угол;
17-сто;
18-счёт;
20-цепь;
21-цикл.
Тема: Векторы и координатыСамостоятельная работа №4 на тему: Действие над векторами в координатной формеЦель: Знать правила действия над векторами и уметь их применять при вычислениях.
Теоретический материал
Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим i, j, k векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.

Теорема. Вектор a имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда он представим в виде a=xi+yj+zk/
Вариант 1
№п/пНазвание операции Формулы
1 Найти сумму векторов a1;-2;3, b4;0;-1
a+bx1+x2 ; y1+y2 ; z1+z2
2 Найти разность векторов a4;1;-3, b0;-5;2
a-bx1-x2 ; y1-y2 ; z1-z2
3 Найти произведение вектора на число a-1;3;1, δ-число δ=-3δaδ∙x; δy ;δz 4 Вычислить координаты середины отрезка Точка A1;2;-3 Точка B (-3;4;-1) Точка С- середина отрезка АВ. С(xc; yc; zc)xc=x1+x22, yc=y1+y22, zc=z1+z22 5 Найти координаты вектора Точка A5;0;-3. Точка B (-1;4;-7).Находим координаты вектора АВ. Из координат конца вычислить координаты начала вектора
АВ x2-x1 ;y2-y1; z2-z1
6 Найти длину вектора a5;1;-1
a=x2+y2+z2
7 Вычислить скалярное произведение векторов a-2;3;7, b-9;0;2
a∙b=x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2
8 Найти косинус угла между векторами a2;0;1, b-3;1;2
cosα=x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2x12+y12+z12∙x22+y22+z229 При каких значениях m и n векторы коллинеарны? am;3;1, b1;n;2

x1x2=y1y2=z1z2=k 10 Проверьте перпендикулярность векторов a-4;0;1, b2;7;8
x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2=0 - условие перпендикулярности векторов
Вариант 2
№п/пНазвание операции Формулы
1 Найти сумму векторов a2;-3;4, b-1;2;0
a+bx1+x2 ; y1+y2 ; z1+z2
2 Найти разность векторов a4;-5;7, b3;-1;2
a-bx1-x2 ; y1-y2 ; z1-z2
3 Найти пароизведение на число a-2;4;0, δ-число δ=-4 δaδx; δy ;δz 4 Вычислить координаты середины отрезка Точка A-3:1;2 Точка B (2;-3;1) Точка С- середина отрезка АВ. С(xc; yc; zc)xc=x1+x22, yc=y1+y22, zc=z1+z22 5 Найти координаты вектора Точка A6;-3;4. Точка B (1;-4;7).
Находим координаты вектора АВ. Из координат конца вычислить координаты начала вектора
АВ x2-x1 ;y2-y1; z2-z1
6 Найти длину вектора a7;2;-1
a=x2+y2+z2
7 Вычислить скалярное произведение векторов a-3;2;9, b-7;0;3
a∙b=x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2
8 Найти косинус угла между векторами a4;1;0, b-5;3;1
cosα=x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2x12+y12+z12∙x22+y22+z229 При каких значениях m и n векторы коллинеарны? am;5;3, b2;n;4

x1x2=y1y2=z1z2=k 10 Проверьте перпендикулярность векторов a0; -3;2, b9;4;6
x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2=0 - условие перпендикулярности векторов
Самостоятельная работа №5 на тему: Жизнь и деятельность математиков-ученыхЦель: расширить кругозор учащихся, познакомить с жизнью и деятельностью математиков – ученых.
Задание для учащихся. Написать сообщение на заданную тему.
Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.
Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.
Этапы подготовки сообщения:
1. Прочитайте текст.
2. Составьте его развернутый план.
3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.
4. Объедините близкие по смыслу части.
5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.
6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.
Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.
Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.
Выполнить самостоятельно:
Написать сообщение на тему: «Математики - известные ученые» (на выбор).
Николай Лобачевский;
Софья Ковалевская;
Николай Боголюбов;
Григорий Перельман;
Пафнутий Чебышев;
Виктор Садовничий;
Леонтий Магницкий;
Владимир Брадис;
Константин Поссе;
Андрей Колмогоров;
Рене Декарт;
Эварист Галуа;
Карл Вейерштрасс;
Пьер Ферма;
Джон Нейман;
Жан Даламбер;
Клаус Мёбиус;
Евклид;
Пифогор;
Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц.
Тема: Геометрические тела. Объемы и площади поверхностей геометрических телСамостоятельная работа №6 на тему: Многогранники и их поверхностиЦель: Знать формулы вычисления площади боковой и полной поверхности призмы, пирамиды, параллелепипеда и уметь применять их к решению задач.
Теоретический материал
Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.
Основные формулы
№п/пНаименование многогранника Изображение Площадь боковой и полной поверхности
1 Куб
Sп=6a22 Прямоугольный параллелепипед
Sп=2ab+2ac+2ac
3 Призма Sб=p∙НSп=Sб+2So4 Пирамида Sб=12p∙hSп=Sб+SoРешить самостоятельно.
Вариант 1
Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.

Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?

Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

Вариант 2
Объем куба равен 8 м3. Найдите площадь его поверхности.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь поверхности данной призмы.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.

Как изменится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?

Чему равна площадь поверхности октаэдра с ребром 1?

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

Самостоятельная работа № 7 на тему: Выполнение моделей многогранниковЦель: Закрепить понятие правильных многогранников, при изготовлении моделей, используя развертки.
Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием, так называемых, развёрток.
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.

Самостоятельная работа №8 на тему: Площади поверхности и объем фигур вращенияЦель: Знать формулы для вычисления площадей поверхности фигур вращения и уметь применять их при решении задач.
Теоретический материал
№п/пНаименование фигуры Изображение Формула площадей полной и боковой поверхности
1 Цилиндр Sб=2πRHSп=2πRH+2πR2So=πR2V=πR2∙H2 Конус Sб=πRlSп=πRl+πR2So=πR2V=13πR2∙H3 Сфера, шар Sп=4πR2V=43πR3Решить самостоятельно:
Вариант 1
Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м2. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника вокруг его неравных сторон. Равны ли у этих цилиндров площади: а) боковых; б) полных поверхностей?; в)объемы?
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Площадь большого круга шара равна 3 см2. Найдите площадь поверхности и объем шара.

Площади поверхностей двух шаров относятся как 4 : 9. Найдите отношение их диаметров.

Около шара описан цилиндр. Найдите отношение их площадей поверхностей и объемов.

Прямоугольник вращается вокруг одной из сторон, равной 5см. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 100π см2. Найдите площадь прямоугольника.
Вариант 2
Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.

Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь поверхности и объем конуса.

Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения равен 90о. Вычислите площадь боковой поверхности и объем конуса.

Два конуса образованы вращением одного и того же прямоугольного треугольника вокруг его неравных катетов. Равны ли у этих конусов площади: а) боковых; б) полных поверхностей? в)объемы?

Как изменится площадь поверхности и объем шара, если увеличить радиус шара в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?

Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите площадь поверхности и объем шара.

Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 1 дм, 2 дм и 3 дм, описан шар. Найдите площадь его поверхности.

Прямоугольник, одна из сторон которого равна 5см, вращается вокруг неизвестной стороны. Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного при вращении, равна 60π см2. Найдите площадь прямоугольника.
Тема: Показательная, логарифмическая, степенная функции:Самостоятельная работа №9 на тему: Решение иррациональных уравненийЦель: Закрепить навыки решения иррациональных уравнений.
Теоретический материал
Формулы для повторения:
a+b2=a2+2∙a∙b+b2;
a-b2=a2-2∙a∙b+b2;
Решение квадратных уравнений:
a∙x2+bx+c=0D=b2-4ac,
Если D>0, то x1,2=-b±d2aЕсли D=0, то x=-b2aЕсли D<0, то корней нет
Вариант 1
Решить уравнения
х2-4х = 6-3х ;
х2+х-3 = 1-2х ;3х+1 = х-1 ;х-2+2х+6 =4 ;2х 4х = 1;
х2+3х- х2+3х -2 =0;
При каких значениях х функция у= 3х2-1 принимает значение равное 2?
Вариант 2
Решить уравнения
1. х2-10 = -3х ;х2-4х+3 = 1-х ;2х+4=х-2 ;
х-1+х+2 =3 ;3х +2 4х = 5;
х2-8х- 2х2-8х - 3 =0 ;При каких значениях х функция у= 3х2+2 принимает значение равное 3?
Самостоятельная работа №10 на тему: Преобразование выражений, содержащих показательные и логарифмические функции.
Цель: Знать основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов, уметь применять их при решении упражнений.
Теоретический материал:
Основное логарифмическое тождество: alogab=b.Свойство логарифмов:
logab+logac=logab∙c;logab-logac=logabc;
logabr=r∙logab.
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Вычислить:
1.1. 5,1log5,19; 1.2. 7log716; 1.3. 121+log124; 1.4. log2132; log279 ; 1.6.31+log35;.
Выяснить при каких значениях Х имеет смысл выражение:
log124-х; 2.2. log23х2-16; 2.3. log37-3хх-4; Вычислить:
22+log25; 3.2. 23log24; 3.3. log725log75 .
Вычислить:
log155+log153; log0,15+log0,12;log550-log52;log287;log135169;12log100,81-2log103;Вариант 2
Вычислить:
1.1. 6,3log6,37; 1.2. 5log513; 1.3. 72+log74; 1.4. log3127; 1.5. log168 ; 1.6. 5log50,2.
Выяснить при каких значениях Х имеет смысл выражение:
log0,27-х; 2.2. log23х2-16; 2.3. log57+2хх-3; Вычислить:
31+log38; 3.2. 52log53; 3.3. log436log46; Вычислить:
log123+log124;log164+log169;log4192-log43;log3910;log153225; 12log3181-13log3827;Самостоятельная работа №11 на тему: Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенствЦель: Знать методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств, применять их при решении упражнений.
Теоретический материал
Степени чисел от 0 до 10
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3n1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
4n1 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 5n1 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 6n1 6 36 216 1296 7776 46656 279936 7n1 7 49 343 2401 16807 117649 8n1 8 64 512 4096 32768 9n1 9 81 729 6561 59049 10n1 10 100 1000 10000 Решение квадратных уравнений:
a∙x2+bx+c=0D=b2-4ac,
Если D>0, то x1,2=-b±d2aЕсли D=0, то x=-b2aЕсли D<0, то корней нет
Формулы сокращенного умножения:
a+b2=a2+2ab+b2a-b2=a2-2ab+b2a2-b2=a-b∙a+ba+b3=a3+3a2b+3ab2+b3a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3 Свойства степеней Свойства корней n-ой степени
am∙an=am+naman=am-namn=am∙nan∙bn=a∙bnamn=nama-n=1ana0=1abn=ba-nnam=amnnab=na∙nbnab=nanbnma=n∙manam=namn∙kan∙k=namnan=aamn=namПоказательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени
Решение показательных уравнений. Метод выноса за скобки
Образцы решения
Решить уравнение: 3х+1-2∙3х-2=25 В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть 3х-2. В результате получим:
3х-23х+13х-2- 2∙3х-23х-2=25
3х-23х+1-(х-2)-2=253х-23х+1-х+2-2= 253х-233 -2= 253х-2∙25=253х-2=1 , 3х-2=30, отсюда следует, что х=2.Ответ: х = 2.
Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)
Образцы решения
Решить уравнение: 4х+ 2х+1- 24=0.
Решение: Заметив, что 4х= 22х= 22х=2х2, а 2х+1=2∙2хПерепишем заданное уравнение в виде:
2х2+ 2∙2х-24=0Вводим новую переменную: t=2x, тогда уравнение примет вид:
t2+2t-24=0Решив квадратное уравнение, получим: t1=4, t2=-6. Но так как t=2x, то надо решить два уравнения:
2х=4 и 2х≠ -6 Решим первое уравнение:
2х=22 отсюда следует, что х=2.Рассмотрим второе уравнение.
Второе уравнение не имеет решения, так как 2х >0 для любых значений х.
Ответ: 2.
Образцы решения логарифмических уравнений
Решить уравнение:
log3х-2+log3х+2=log32х-1Решение: Используя формулу: logax+logay=logax∙y, заменим сумму логарифмов произведением: log3(х-2∙х+2)=log32х-1х2-4=2х-1х2-4-2х+1=0
х2-2х-3=0х1=3; х2=-1.
Проверка:
х1=3log33-2+log33+2=log32∙3-1log35=log35х2=-1log3-1-2+log3-1+2=log32∙(-1)-1 - не существует.
Ответ: х=3Решить уравнение:
log42x+log4x-2=0. Используем метод замены.
log4x=t ⟹ t2+t-2=0
t1=1, t2=-2. Подставим в замену.
log4x=1⇒x= 41=4, log4x=-2⟹x= 4-2=142=116.
Ответ: x=4; х=116.
Образцы решения показательных неравенств
Решить неравенство 2х-2х-2≤3. Решение:
Выносим за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. 2х-2.
Получим: 2х-222-1≤3, 2х∙3≤3, 2х≤1, так как 20=1 то 2х≤20Так как основание 2>1, то неравенство равносильно неравенству того же смысла х≤0.Ответ: х ϵ -∞;0.
Решить неравенство 72х-8∙7х+7>0Решение.
Заменим : 7х=t, t>0;Получим неравенство: t2-8t+7>0. Трехчлен t2-8t+7 разложим на множители: t-7t-1>0.
t<7;t>1. 7x<7, a=7>1, то x<17x>1, 7x > 70, a=7>1, то x>0.
Ответ: х ϵ -∞;1∪0;∞.
Образцы решения логарифмических неравенств.
Решить неравенство:
№п/пВариант 1 Вариант 2
1 3х+2- 3х=722х-2х-4=152 2∙3х+3-5∙3х-2=1443 3х-1+3х-2+ 3х-3=31593 22х+3∙2х-10=02∙4х-5∙2х+2=04 162х-5∙16х-6=04∙116х+15∙14х-4=05 log32x-2log3x-3=0log42x-4log4x+3=06 log72=log7х2-log78log2х2=log22+log2187 log0.7x+3+log0.7x-3=log0.72x-1log11x+2+log11x-2=log11(2х-1)Показательные и логарифмические неравенства
1 2х+ 2х+2≤20153х+4+153х+5>62 7х≥7х-1+62х+2-2х>963 72х-8∙7х+7>09х-6∙3х<274 0,22х-1,2∙0,2х+0,2>0172х-8∙17х+7<05 log72-х≤log7(3х+6) log2,54х-5≥log2,53х-66 log131-2х>log13(5х+25)
log0,8(2х-3)<log0,8(3х-5)Тема: Тригонометрические функцииСамостоятельная работа №12 на тему: Использование тригонометрических формул для преобразования тригонометрических выраженийЦель: Закрепить навыки преобразования тригонометрических выражений.
Основные формулы тригонометрии
sin2x+cos2x=1;
sin2x=1-cos2x;
cos2x=1-sin2x;
tgx=sinxcosx ; ctgx=cosxsinx ; tgx∙ctgx=1; tgx=1ctgx ; ctgx=1tgx.
Синус и косинус суммы и разности аргументов:
sinα+β=sinαcosβ+sinβ+cosαsinα-β=sinαcosβ-sinβ+cosαcosα+β=cosαcosβ-sinαsinβcosα-β=cosαcosβ+sinαsinβtg(α+β)=tgα+tgβ1-tgα∙tgβФормулы двойного аргумента:
sin2α=2sinαcosαcos2α=cosα2-cosα2 tg2α=2∙tgα1-tg2αФормулы понижения степени:
sinα2=1-cos2α2cosα2=1+cos2α2Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение:
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα- cosβ=-2sinα+β2sinα-β2Вариант 1
Вариант 2
Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
sin1050Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
cos150Упростить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
2.1. sinπ3+α-12sinα2.2. sinαsinβ+cosα+β2.3. cosα-β- cosαcosβ2.4. sinα+β+ sinα-βУпростить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
2.1. cosπ4+α+22sinα2.2. sinα+β-sinαsinβ2.3. sinαcosβ-sinα-β2.4. cosα-β-cosα+βНайдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
3.1. cos1070cos1070+sin1070sin1703.2. sin630cos270+cos630sin2703.3. cosπ12cosπ4-sinπ12sinπ43.4. sinπ12cosπ4-cosπ12sinπ43.5. cos1050cos50+sin1050cos850sin950cos50-cos950sin1850Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
3.1. cos360cos240-sin360sin2403.2. sin510cos210-cos510sin2103.3. cos5π8cos3π8+sin5π8sin3π83.4. sin2π15cosπ5+cos2π15sinπ53.5. sin750cos50-cos750cos850cos3750cos50-sin150sin3650Докажите тождество используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
4.1. sinα+β+ sin-αcos-β==sinβcosα 4.2. sin300-α-cos600-α=-3sinαДокажите тождество используя формулы синус и косинус суммы и разности аргументов:
4.1. cosα+β+sin-αsin-β== cosαcosβsin300-α +sin300+α=cosαУпростить выражение, используя формулы двойного аргумента:
5.1. sin2αcosα= sinα5.2. cos2αcosα-sinα=-sinα5.3. 2sin150cos1505.4. cos150+sin15025.Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента:
5.1. cosα2-cos2α5.2. sin6αcos3α25.3. cos750-sin75025.4. cos1502-sin15026.Известно, что sinα=513,
π2<α<πНайдите: sin2α, cos2α6.Известно, что cosα=0,8,
0<α<π2Найдите: sin2α, cos2α7.Известно, что cosα=23. 0<α<π2Найдите: sinα2, cosα27.Известно, что cosα=34. 0<α<π2Найдите: sinα2, cosα2Представить в виде произведения:
8.1. sin400+ sin160 8.2. sin200-sin400 8.3. cos150+cos450 8.4. cos460-cos7408.Представить в виде произведения:
8.1. sin100+ sin500 8.2. sin520-sin360 8.3. cos200+cos400 8.4. cos750-cos150Представить в виде произведения:
9.1. 1 2- cosαcosα+ sinα9.3. cos680-cos220sin680-sin2209.Представить в виде произведения:
9.1. 3 2+ sinα9.2. sinα - cosα9.3. sin1300+sin1100cos1300+cos110010.Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение:
sin200+sin400 -cos100=010.Докажите, что верно равенство используя формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение:
cos850+ cos350-cos250=0Самостоятельная работа №13 на тему: Решение тригонометрических уравненийЦель: Знать методы решения тригонометрических уравнений и применять их при решении упражнений.
Теоретический материал
Формулы для повторения
arcsin( a) = arcsin a
arccos (a) = π-arccosaarctg (a) = arctg a
arcctg (a) = π- arcctg a
Общие формулы решения тригонометрических уравнений
I. sinх=а, а ≤1;
х х= -1narcsina+ πn, n ϵ zII. cosx=а, а ≤1 x= ±arccosa+2πn, n ϵ z II tg x = a, a – любое число
T x = arctg x + πn, nϵzI ctg x = a, a – любое число
х= arcctgx + πn, nϵzЧастные решения тригонометрических уравнений
sin x=0
х=πn, nϵz sin x=1
x= π 2+2πn, nϵz sin x=-1 x= -π2+2πn, nϵzcos x=0
x= π2+πn, nϵzcos x=1
x= 2πn, nϵzcos x=-1
x=π+2πn, nϵzЗначение тригонометрических функций
град 00 300 450 600 900
радиан 0 π6π4π3π2sinα0 1222321
cos α1 3222120
tg α0 331 3не существ
ctg αНе существ 31 330
Формулы для повторения:
ax2+bx+c=0, D=b2-4∙a∙c.
Если D>0, то корни квадратного уравнения находим по формуле:
х1,2=-b±b2-4ac2aОбразцы решения тригонометрических уравнений второго порядка:
Образец№1
Решить уравнение:
2sin2x-5sinx+2=0Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид: 2z2 – 5z + 2 =0. Решая квадратное уравнение находим z1 = 2 и z2 = 1 2.
Значит, либо sin x = 2, либо sin x = 1 2. Первое уравнение не имеет корней, а из второго находим
х= -1narcsin12+ πn, nϵzx=-1nπ6+ πn, nϵzОбразец №2
Решить уравнение:
cos2x- sin2 x-cosx=0Решение:
Воспользуемся тем, что sin2x=1- cos2x
Тогда заданное уравнение можно записать в виде:
cos2x-1-cos2x- cosx=0После преобразования получим:
2cos2x-cosx-1=0Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид:
2z2 –z -1 = 0. Решая его, находим z1 = 1, z2 =- 1 2Значит, либо cos x = 1, либо cos x = - 1 2Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение
x=2πn, nϵz .
Решая второе уравнение, находим решение:
x=±arccos -12+ 2πn, nϵzx= ±π-arccos12 +2πn, nϵz x= ±(π-π3) + 2πn, nϵz x=±2π3 + 2πn, nϵzОбразец №3
Решить уравнение:
3sin2x-23 sinxcosx+5cosx=2Решение:
С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом. Известно, что sin2x+cos2x=1 - это тождество верно для любого значения х.
Тогда 2(sin2x+cos2x)=2sin2x+2cos2x=2.
Заменив в первом уравнении 2 на 2sin2x+2cos2x , получим: 3sin2x-23 sinxcosx + 5cos2x=2sin2x+2cos2x3sin2x-23 sinxcosx + 5cos2x-2sin2x-2cos2x=0sin2x-23 sinxcosx+3 cos2x=0Обе части уравнения разделим на cos2 x почленноsin2xcos2x- 23 sinxcosxcos2x+3 cos2xcos2x=0Так как sinхcosх=tgх, то полученное уравнение запишем в виде:
tg2x - 23 tgx+3=0 Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение:
t2-23 t +3=0, решая уравнение, получим: t = 3 Итак, tg x=3 x= arctg 3 + πn, x= π3+πn, nϵZ.
Решить самостоятельно
Вариант 1
1. Решить уравнения:
2cosх – 2 = 0
tg2x + 1= 0
sinx3+π4 = 1
2. Определить число корней уравнения
3ctg 2x 3 = 0 принадлежащих отрезку π6 ; π. Вариант 2
Решить уравнения:
3 tgx – 1 = 0
2sin -x2 = 1
2cos (2x + π4) = -2Найдите наименьший положительный корень уравнения
sin x-π6 = -32.
Решить уравнения:
3sin2x – 5sinx – 2 = 0
3cos22x + 10cos2x + 3 = 0
3cos2x + 10cosx + 3 = 0
2sin2x + 3cosx = 0
3tg2x + 2tgx – 1 = 0
2sin2x-5sinxcosx+2cos2x=02cos2x-sinxcosx+5sin2x=3Решить уравнения:
6cos2x + cosx – 1 = 0
2sin22x – 3sin2x + 1 = 0
3. 2sin2x – 3sinx + 1 = 0
5cos2x + 6sinx – 6 = 0
2tg2x + 3tgx – 2 = 0
3cos2x+10sinxcosx+3sin2x=0 2sin2x-3sinxcosx+4cos2x=4Самостоятельная работа №14 на тему: Геометрический смысл производнойЦель: Иметь понятие о геометрическом смысле производной. Уметь находить тангенс угла наклона касательной к оси ох.
Теоретический материал
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти угол между касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0.
fx=3x2, x0=1. fx=12x2, x0=2. fx=4x, x0=4.fx=5cosx, x0=π6.fx=sin3x, x0=π12.Записать уравнение касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0.fx=x5-x3+3x-1, x0=0.fx=x3-2x, x0=2.
Вариант 2
Найти угол между касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0.
fx=2x3, x0=1. fx=14x4, x0=2. fx=3x, x0=9.fx=4sinx, x0=π3.fx=cos5x, x0=π20.Записать уравнение касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой x0fx=x4-x3+5x-2, x0=0.fx=x3+3x, x0=2.
Самостоятельная работа №15 на тему: Применение производной к исследованию функцииЦель: Знать условия возрастания, убывания функции, точек максимума и минимума функции. Знать схему исследования функции и применять её при построении графика.
Признак возрастания функции: Если f/(x)>0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) возрастает.
Признак убывания функции: Если f/(x)<0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x)убывает.
Признак максимума функции: Если функция fx непрерывна в точке х0, а f/(x)>0 на интервале a;x0 и f/(x)<0 на интервале x0 ;a, то x0 является точкой максимума.
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.
Признак минимума функции: Если функция fx непрерывна в точке х0, а f/(x)<0 на интервале a;x0 и f/(x)>0 на интервале x0 ;a, то x0 является точкой минимума
Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.
Схема исследования функции.
Находим область определения;
Вычисляем производную;
Находим стационарные точки
Определяем промежутки возрастания и убывания;
Находим точки максимума и минимума;
Вычисляем экстремум функции;
Данные заносят в таблицу.
На основании такого исследования строится график функции.
Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
fx=2x2-1fx=-x2+2xfx=x3+2x2fx=x3-6x2+9x-1Найти экстремум функции
fx=3x2-2xfx=cos2xИсследовать функцию и построить график
fx=x3-3x2+2Вариант 2
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
fx=-x2+1fx=x2-4xfx=x3+3x2fx=2x3-3x2-12x+5Найти экстремум функции
fx=3x-5x2fx=sin3xИсследовать функцию и построить график
fx=x3+3x2-1Вариант 3
Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания
fx=-2x2+32fx=x2-4xfx=-x3+6x2fx=2x3-6x2-18x+4Найти экстремум функции
fx=6x-x3fx=x2∙lxИсследовать функцию и построить график
fx=-x3+6x2+2Тема: Интеграл и его приложенияСамостоятельная работа №16 на тему: Вычисление площадей плоских фигурЦель: закрепить знания, умения и навыки нахождения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла;
Теоретический материал
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C. Записывают: fxdx=Fx+C, где Fx- есть некоторая первообразная функции fx на этом промежутке, С – const. При этом знак ∫называется знаком интеграла, fx - подынтегральной функцией, fxdx - подынтегральным выражением, x - переменная интегрирования, С- постоянная интегрирования.
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием данной функции.
Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования. У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.
Таблица неопределенных интегралов
dx=x+Csinxdx=-cosx+Cdxa2+x2=1aarctgxa+Cxndx=xn+1n+1+Ccosxdx=sinx+Ctgxdx=-lncosx+Cdxx=lnx+Cdxsin2x=-ctgx+Cctgxdx=lnx+Caxdx=axlna+Cdxcos2x=tgx+cdxa2-x2=arcsinxa+Clxdx=lx+Cdx1+x2=arctgx+Cdxx2-a2=12alnx-ax+a+CСвойства неопределенного интеграла:
dFx=Fx+C;
kfxdx=kfxdx;
f(x)±g(x)dx=fxdx±gxdx;fax+bdx=1aFax+b+C;
Определение: Фигура, ограниченная снизу отрезком [a, b] оси Ох ,сверху графиком непрерывной функции у= f(x), принимающей положительные значения , а с боков отрезками прямых х = а, х =b называется криволинейной трапецией.
S=abfxdx=F(x)ab=Fb-F(a).
1524074930
Образец решения:
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
у = 4 - х² и у=0
Решение:
1. у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз, вершина (0;4)у = 0 - ось абсцисс.
2. Найдём точки пересечения параболы с осью Х: x2-4=0;x2=4, x=2, x=-2.3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:
S=-224-x2dx=4x-x332-2=4∙2-233-4∙(-2)-(-2)33==8-83+8-83=16-163=16-513=1023(ед.2)Решить самостоятельно:
Вариант 1
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1.1 fx=16-x2, fx=0.
1.2. fx=1+x2, y= 2.
1.3. fx=x-12, y=0, x=3.
1.4. fx=5cosx, fx=3cosx.
1.5. fx=x2+2, fx=3x+2.
Вариант 2
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
fx=9-x2, fx=0.
fx=3+x2, y= 41.3. fx=x-22, y=0, x=3.
1.4. fx=5sinx, fx=3sinx.
1.5. fx=x2+3, fx=2x+3.
Тема: Повторение. Подготовка к экзаменуДомашняя контрольная работа №17
Цель: Контроль знаний учащихся
Вариант 1
Отрезок AB имеет с плоскостью α единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 3:1, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость α соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 16 см. Найдите длину отрезка АВ1.
Ромб со стороной 12 мс и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
Решить уравнение: 2sin2x-3cosx-3=0Решить систему уравнений: x-y=5log54x+y=2Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции
fx=2x3-x+3 в точке с абсциссой x0=-1.
Решить уравнение: log122x-1-log1216=5Решите уравнение: cos3π+x-sinπ2-x=2Найдите все первообразные функции: fx=x5-x2-sin3xРадиус основания цилиндра равен 4 см, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания. Найти объем цилиндра.
Найдите область определения: y=lg4-5xx-3.
Вариант 2
Отрезок AB имеет с плоскостью α единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 3:2, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость α соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 15 см. Найдите длину отрезка АВ1.
Ромб со стороной 18 мс и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
Решить уравнение: 2sin2x+ cos2x-3sinx-5=0Решить систему уравнений: x-y=4log43x+y=2Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции
fx=4x2+7x+1 в точке с абсциссой x0=-2.
Решить уравнение: log123x+2-log12164=2Решите уравнение: sinπ+x+cos(3π2-x)=2Найдите все первообразные функции: fx=x7-x9-cos5xРадиус основания цилиндра равен 3 см, площадь боковой поверхности втрое больше площади основания. Найти объем цилиндра.
Найдите область определения: y=lg3-2xx+1.
Вариант 3
Отрезок AB имеет с плоскостью α единственную общую точку А. Точка С делит его в отношении 2:3, считая от точки А. Через точки С и В проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость α соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1 равна 20 см. Найдите длину отрезка АВ1.
Ромб со стороной 24 мс и острым углом 600 вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
Решить уравнение: sin2x+2cos2x-5cosx-7=0Решить систему уравнений: x+y=17log33x+y=3Найдите угловой коэффициент касательной. Проведенной к графику функции
fx=4x3-3x+1 в точке с абсциссой x0=-2.
Решить уравнение: log25-2x+log28=4Решите уравнение: sin3π2+x-cos2π-x=1Найдите все первообразные функции: fx=x3-x9-cos4xРадиус основания цилиндра равен 6 см, площадь боковой поверхности в четыре раза больше площади основания. Найти объем цилиндра.
Найдите область определения: y=lg7+2xx-5.
Литература:Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].-15-е изд. – М.: Просвещение, 2007.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; учебное пособие /П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисмаш, 2008.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. - М.: Аквариум, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств.- М.: Аквариум, 1997.Интернет - ресурсыhttp://catalog.alledu.ru/predmet/math/Учебно-информационные комплексы по математике для средних школ: http://mschool.kubsu.ru/uik/index.htmСайт-справочник правил, формул и теорем по математике:
http://matemathik.narod.ru/Мир Геометрии: http://geometr.info/Страна Математика: http://www.bymath.net/Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (статьи по математике): http://kvant.mirror1.mccme.ru/rub/1.htmГрафики функций" Небольшой сайт в помощь школьнику, изучающему графики функций: определения, примеры, задачник: http://graphfunk.narod.ru/Виртуальная школа юного математикаhttp://math.ournet.md/indexr.html