Задачи для обобщающего повторения 11 класс

Задачи для обобщающего повторения
Задача 1.
Корни уравнения являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения
– длинами высот того же треугольника. Найти и площадь треугольника.
Решение:
Пусть – стороны треугольника, – длины высот треугольника, – площадь треугольника.

Аналогично:
.
– корни кубического уравнения. Это уравнение можно представить в виде
Раскроем скобки и перегруппируем:


Из первого уравнения имеем:

Из второго уравнения:











.
или


но что не может быть.



.
В третьем уравнении:


– возникает противоречие не подходит.


Все уравнения совместимы
Ответ:
Задача 2.
B прямоугольном треугольнике ABC точка D – середина гипотенузы АВ, а медианы треугольника пересекаются в точке Е. Треугольник ABC расположен на координатной плоскости так, что точка А лежит на оси , точка D симметрична точке С относительно оси , а точки С, D и Е лежат на графике функции Найти уравнение прямой CD и площадь треугольника AB C. Решение:
Так как C и D симметричны , то они имеют координаты Точка т.к. это точка пересечения медиан и или Точки C, D и E лежат на графике
xDECA0yВ
Для точки Е:
Для точки C:



2)
Так как ∆ АВС прямоугольный, то AD = DC. Из условия симметрии точек D и C следует, что AC = AD, т.е. ∆ ADC равносторонний.
Площадь ∆ АВС в два раза больше площади ∆ ADC.сторона ∆ ADC: AC = AD= = DC = .



Ответ:
Задача 3.
Найти все решения
удовлетворяющие условию
Решение:
Обозначим и перепишем второе уравнение:



Тогда
Рассмотрим первое уравнение:


Возникло противоречие. Т.е.
Решим уравнение
при



Рассмотрим



Рассмотрим системы:
(1)
или
(2)
Решаем первую (1) систему. Предварительно рассмотрим:




Тогда должны выполнятся условия:

Видно, что система не имеет решения, т.к. из свойства логарифма следует, что
Решаем систему (2).



Должны выполняться условия:

Это равносильно:

а) Если

Проверим, подставив в уравнение:



что неверно.
б) Проверим, подставив во второе уравнение:


верно.
Ответ:
Задача 4.
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника FKT с основанием KT описана окружность. Точка M – середина дуги FT, не содержащей точки K. Известно, что расстояния от точки M до прямых KT и FT, равны соответственно и Найдите радиус окружности и площадь треугольника FKT.
Рещение:

Точка М равноудалена от концов хорды FT, следовательно, она находится на серединном перпендикуляре MA и FA = AT. FB так же серединный перпендикуляр KT. Тогда точка О пересечения прямых FB и MA есть центр описанной окружности.
OM = R OA = R – 1; OF = R. Обозначим ∠ OFA = – вписанный угол, а ∠ LOT = 2как центральный, опирающийся на ту же дугу.
Опустим перпендикуляр OH на прямую MP. ∆ OMH = ∆ OFA (OF = OM = R, ∠ OFA = ∠ MOH = , оба треугольника прямоугольные). MH = R – 1.
С другой стороны MH = так как HP = OB = Тогда R – 1 = =
Из ∆ OFA:





Площадь треугольника можно найти несколькими способами.
Способ I:


Так как FK = FT, то воспользуемся формулой

Способ II:∆ OFA ∼ ∆ TFB.




Способ III:




Ответ: