Урок на тему:Решение систем линейных уравнений методом Крамера

ПЛАН УРОКА
Тема урока: Практическое занятие: Решение систем линейных уравнений методом Крамера . Цель урока: рассмотреть и изучить метод Крамера решения систем линейных уравнений .Задачи урока.
Образовательная: сформировать навыки умения по решению систем линейных уравнений методом Крамера; научить переводить реальные предметные ситуации в различные математические модели, выработать умение выбирать рациональный способ решения текстовых задач по теме.
Воспитательная: воспитать внимательность, аккуратность и последовательность в действиях, интерес к математике, активность, мобильность,  взаимопомощь, умение общаться, объективность при контроле знаний.
Развивающая: развивать умения применять правила и методы при решении задач, логическое мышление и математический кругозор, навыков решения экономических задач на проценты;
Оборудование для проведения урока: доска, парты
Межпредметная связь: экономика и производство
Тип урока: комбинированный.
Метод проведения урока:
ХОД УРОКА
1. Организационный момент. Проверить наличие рапортички и журнала теоретического обучения группы. Отметить отсутствующих студентов. Проверить наличие тетрадей у студентов.
Здравствуйте, студенты. Тема урока: “Решение систем линейных уравнений методом Крамера”. Ученый-математик Колмогоров А.Н. говорил: “Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления”, поэтому математика связана с будущей специальностью. Сегодня в результате изучения темы мы научимся решать задачи прикладного характера для профессиональной деятельности.
2 . Вопросы для повторения.
Какое уравнение называется линейным?
Напишите систему m линейных уравнений с n переменными.
Назовите коэффициенты при переменных.
Какие числа называются свободными членами?
Что является решением системы?
Какие методы решения систем линейных уравнений знаете?
Ответы: Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.
В системе m линейных уравнений с n переменными:
.
Числа     называются коэффициентами при переменных, а  – свободными членами.
Совокупность чисел (х1, х2, …, хn) называется решением системы линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.
3. Изучение нового материала.
В школьном курсе рассматриваются способ подстановки, графический способ и способ сложения. В курсе высшей математике решают методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера3.1.Знакомство с биографией КрамераПри изучении новой темы “Решение систем линейных уравнений методом Крамера” важное место занимает связь истории с математикой, что прививает интерес к предмету. Познакомимся с биографией Габриэля Крамера.
Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.
В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции
3.2. Теорема Крамера.
Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами.
Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Дана система 
Формулы Крамера ………….

Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной свободными членами:

4. Закрепление изученного материала.
4.1. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера:
 1) 
Ответ: (1;-1)
2)  Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?
Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году.
Тогда условие задачи можно записать в виде системы: 
Решив систему, получим x = 4, y = 8.
Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения - 4 млн усл. ед., второго - 8 усл.ед.: б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед., второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.
3) За 16 м материи 1-ого сорта и 20 м материи 2-ого сорта заплатили 63 ден.ед. Если бы материю покупали не в розничном магазине, а на оптовом , продающей эту же ткань, то за эту же покупку заплатили бы на 18 ден.ед. меньше, так как на оптовом магазине цена материи 1-ого сорта на 25% меньше, чем в розницу, 2-ого сорта – меньше на 3313%. Сколько стоит 1 м ткани каждого сорта в магазине?
При решении системы уравнений могут встретиться три случая:
1) система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Условия:

.
2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместна и неопределённа)
Условия:
,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
3) система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Условия:


Система называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.
4.2 Решение системы трех линейных уравнений с тремя двумя неизвестными методом Крамера.
4) Решите систему:

Ответ: (1; 0; -1) .
Решение. Находим определители системы:

 

Ответ: (1; 0; -1) .
5) Решите систему

6) Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырьё трёх типов. Характеристика производства описана в следующей таблице. Найдите объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.
Тип сырья Норма расхода по видам изделий, у.е. Запас сырья, у.е.
1 2 3 сахар 3 1 4 85
яйца 2 2 3 82
мука 10 20 15 580
∆=-10, ∆х1=-120, ∆х2=-170, ∆х3=-80
Ответ: Объём выпуска продукции 1-ого вида 12 у.е., 2-ого вида 17 у.е., 3-го 8 у.е.
5. Задание на дом.
Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Характеристики производства описаны в следующей таблице.
Тип сырья Нормы расходов по видам изделий, у.е. Запас сырья, у.е.
1 2 3 I 1 3 3 190
II 2 1 3 140
III 3 2 1 120
Найдите объём выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.
6. Подведение итога урока.
Подведение итога урока и выставление оценок студентам за решение примеров и задач.
7.Рефлексия.
Закончите предложение:
*Сегодняшний урок мне позволил…
*Я никогда не думал, что…
*Очень интересным на уроке было…
*Хочу предложить…
Литература:
Основная
Григорьев В.П.Дубинский Ю.А Элементы высшей математики. Москва, 2011
Гуринович С.Л. Математика. Задачи с экономическим содержанием, Минск, 2008
Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика. Москва, 2008
Дополнительная
Богомолов Н.В. Практические занятия по математики. Москва, 2013
Интернет-ресурсы: www.en.edu.ru