Статья на тему Развитие пространственного мышления на уроках математики

РАЗВИТИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
В последнее время педагогами, методистами отмечается снижение геометрической подготовленности учащихся. Это проявляется в первую очередь в низком уровне развития пространственных представлений учащихся, а точнее, пространственного мышления.
Можно выделить две основные причины такого положения:
Процесс обучения геометрии в школе строится преимущественно как изучение некой проекции науки геометрии, а значит, не всегда учитываются психологические закономерности развития мышления, особенности процесса восприятия, личностный опыт учащихся.
Пространственное мышление является разновидностью образного, но основные качества образного мышления вряд ли могут быть сформированы полностью в рамках традиционной школьной программы по математике.
Но именно образная стратегия мышления учащихся лежит в основе их собственных интуитивных способов решения задач. Без воображения нельзя решать многие задачи, но особенно важно умение образно мыслить для таких разделов знаний, как черчение, математика, физика, архитектура, дизайн, конструирование.
Развивающая функция обучения математике требует учитывать в процессе обучения наиболее чувствительные к развитию определенных компонентов мышления периоды и опираться на личностный опыт учащихся.
Наиболее подходящим периодом для развития образных компонентов мышления является школьный возраст до 12-13 лет.
Исследования психологов показали, что представления о геометрических фигурах находятся в стадии прогрессивного развития до 15 лет, но только с этого возраста учащиеся начинают изучать стереометрию.
По окончании начальной школы у учащихся объемные представления более развиты, чем плоскостные, хотя в рамках традиционной программы по математике младших школьников знакомят только с элементами плоской геометрии.
У 9-11-классников, как считают психологи (К. Д. Мдивани, Б. Ф. Ломов и др.), преобладают планиметрические представления, хотя в старших классах изучают объемные фигуры.
Поэтому и пространственное мышление необходимо развивать у учащихся уже в 5-6 классах. А содержание учебного материала, направленного на развитие пространственного мышления, и его изучение должны учитывать основные качества образного мышления: субъективность, многозначность образа, целостность восприятия, динамичность создаваемых образов.
В настоящее время в качестве одного из главных критериев математического развития личности многие психологи рассматривают уровень развития пространственного мышления, который характеризуется умением оперировать пространственным образом.
Обучение начальному курсу геометрии играет важную роль в развитии и логического пространственного мышления учащихся 5-6 классов, в усвоении и накоплении знаний по основным геометрическим понятиям, готовит учащихся к активному и осмысленному восприятию систематического курса геометрии в средних и старших классах школы, ведь геометрический материал является одним из основных элементов всякого математического образования.
С появлением графического моделирования и изучением основ компьютерной графики задача усложняется, так как приходится заменять наглядные изображения условными обозначениями, зачастую абстрактными, применяя различные знаки и символы, что также требует хорошо развитого пространственного мышления.
Задача геометрической пропедевтики - развитие у учащихся 5-6 классов пространственных представлений, ознакомление с некоторыми свойствами геометрических фигур, формирование практических умений, связанных с построением фигур и измерением геометрических величин. Важной задачей изучения геометрического материала является развитие различных форм математического мышления, формирование приемов умственных действий через организацию мыслительной деятельности учащихся.
Курс математики 5-6 класса включает знакомство с основными линейными и плоскостными геометрическими фигурами и их свойствами, а также с некоторыми многогранниками и телами вращения. Расширение геометрических представлений и знаний используется для формирования мыслительной деятельности учащихся.[26]
В 5 – 6 классах используют различные задания, направленные на развитие восприятия и воображения. Вот некоторые из них:
Подбери заплатку (рис. 48).

Рис.48.
Найди недостающий элемент (рис.49,50).

Рис.49.

Рис.50.
Упражнение «Геометрические фигуры» («Танргам») (рис.51). Составлять геометрические фигуры по образцу.

Рис.51.
Вот, для примера, несколько фигур составленных их элементов головоломки изображены на рисунке 52.


Рис.52.
Для детей постарше, можно оставлять в фигуре только контуры (рис.53).

Рис.53.
Упражнение «Треугольники». Для этого упражнения вам понадобятся разноцветные треугольники, а также карточки, с нанесенными на них образцами фигур, которые состоят из треугольников (рис.54). Существуют два правила для этой игры. Первое: для детей даются образцы, по которым они из треугольников и складывают эти объекты. Второе: дети развивают свою фантазию и сами придумывают, что именно они будут складывать из разноцветных треугольников.

Рис.54.
Особенности восприятия объектов, усвоения учебного материала требуют при изучении геометрии опираться на жизненный опыт ученика, его практическую деятельность, обязательно включающую осязание. Поэтому начинать изучение геометрического материала лучше всего с объемных фигур – с их моделями ребенок постоянно имеет дело в повседневной жизни. Далее рассматривать объемные и плоские фигуры совместно, т. к. в детском возрасте наблюдается более тесная взаимосвязь развития плоскостных и объемных представлений.
Из объемных фигур детям наиболее знакомы шар и куб. Для изучения свойств геометрических фигур и отношений между ними куб более «разнообразен», поэтому в 5 классе начинаю знакомство с фигурами с него.
Работая с геометрическим материалом, дети знакомятся и используют основные свойства изучаемых геометрических фигур. С целью освоения этих геометрических фигур можно предложить детям специальные практические задания, предполагающие изготовление моделей изучаемых геометрических фигур на предметах и объектах, окружающих детей. Использование моделирования в процессе обучения создает благоприятные условия для формирования таких приемов умственной деятельности как абстрагирование, классификация, анализ, синтез, обобщение, что, в свою очередь, способствует повышению уровня знаний, умений и навыков школьников.
Моделирование - это особый метод исследования, основанный на том, что конкретный объект, который нельзя исследовать непосредственно, заменяется моделью.
Использование моделирования как метода и средства обучения способствует эффективному формированию у учащихся научных понятий и общих способов действий с ними. Деятельность моделирование оказывает влияние, как на усвоение учебного материала, так и на развитие психических функций ребенка. Действие моделирование формируется сразу как действие двухстороннее, т.е. как движение от конкретного к абстрактному и, наоборот - от абстрактного к конкретному, модель выполняет в процессе обучения анализирующую, абстрагирующую и обобщающую функции.
Моделируя изучаемые понятия или явления, ученик овладевает умением анализировать исходные данные под разным углом зрения, осуществляется их переосмысление, переконструирование, что формирует общую творческую направленность слышания, повышает уровни анализа, рефлексии.
Включение целенаправленного формирования действия моделирования в систему обучения и использования его в качестве средства ознакомления с разными сторонами действительности дает двоякий результат: с одной стороны, происходит значительное продвижение в овладении соответствующим содержанием, с другой стороны, развивается и совершенствуется сама общая способность к моделированию.
На уроках математики при изучении раздела «Многогранники», можно предложить ученикам выполнить практическую работу по склеиванию моделей многогранников из готовых разверток. В этом плане очень удобно пользоваться пособием В.Литвиненко. В этом пособии собраны развертки моделей различных пирамид, призм. Сделав ксерокопии рисунков раздать их ученикам. Предложить вырезать и склеить, чтобы получить модель многогранника. Вторым этапом работы на таком уроке является изображение модели в тетради. Здесь можно помочь ученику выбрать наиболее удачный ракурс, обратив внимание на то, что одну и ту же модель можно изобразить разными рисунками.
Такие занятия очень эффективны. Они повышают мотивацию учащихся, у них идет активное формирование пространственных представлений. Однако возникают трудности технического характера. Во-первых, довольно сложно учителю заготовить столько разверток, сколько у него учеников. Во-вторых, сам процесс разрезания и склеивания занимает довольно много времени. И, в-третьих, на этих моделях не видны очень важные характеристики, как-то: основание высоты пирамиды, опущенной из вершины или точка пересечения биссектрис основания пирамиды или призмы; или расстояние от точки, находящейся на высоте, до боковой грани или до бокового ребра пирамиды и т.п.
Как вариант демонстрации многогранников можно предложить каркасные металлические модели, которые можно приобрести в магазине наглядных пособий или изготовить ученикам вместе с родителями, используя сварку. Такие изделия очень надежные, долговечные, могут прослужить не один год. Однако на них не очень удобно иллюстрировать решение конкретной задачи. Было бы хорошо иметь такие модели, которые легко трансформируются, адаптируются к решению любой задачи. Можно использовать в своей работе тоненькие деревянные палочки (деревянные шампуры) и пластилин. В качестве подставки под модель можно использовать белый лист бумаги, к которому модель прикрепляется пластилином. На этом же листе ручкой обозначаются все точки, которые лежат в плоскости основания многогранника. Остальные точки отмечаются на плотной бумаге, вырезаются и прикрепляются к каркасу модели пластилином. Длина отрезков, необходимых для построения модели, легко регулируются углом наклона ломать, можно лишь обозначить необходимые точки. А «лишние» части палочек только помогут ученику проследить процесс образования пространственной модели. Это особенно ценно при решении задач на построение сечений многогранников плоскостью, когда проводятся прямые и ищутся точки их пересечения.
Построенные таким образом пространственные модели могут рассматриваться на различных этапах решения задачи. Для иллюстрации определения, формулировки теоремы или условия задачи.
При изучении главы « Введение в стереометрию» в 10-м классе очень полезно строить каркасные модели различных многогранников. Учащиеся должны сами построить эти модели, «прощупать» их, рассмотреть с разных сторон. На этих занятиях хорошо усваиваются основные понятия: ребра, вершины, грани, основания, боковые грани, правильные многогранники. Параллельно с выполнением моделей необходимо отрабатывать основные приемы изображения геометрических тел и правильное оформление решения в тетради. Например:
« Изобразите в тетради правильную треугольную пирамиду и отметьте на этом изображении точку пересечения медиан какой-либо из ее граней»
« ABCD - правильный тетраэдр. Точки Т, К и Е – середины ребер DC, DB, AB соответственно. Вычислите площадь полной поверхности тетраэдра, если известно, что длина пространственной ломанной, образованной отрезками СВ, ВЕ, ЕК, КТ и ТС, равна 9 см.»
« Боковое ребро правильной треугольной призмы в два раза больше стороны основания. Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если длина ломанной, образованной отрезками BA, BB, CB, CA, AA , равна 25 см. »
По мере усложнения изучаемого материала пространственные модели, изготовленные учащимися, используются для иллюстрации формулировок теорем и условий задач. Например, очень наглядной получается формулировка теоремы о трех перпендикулярах: «Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной».
После выполнения своей функции модели из деревянных палочек могут быть легко разобраны, а строительный материал будет использован еще не раз при решении задач. Предложенный методический прием эффективно использовать при групповой или парной форме организации познавательной деятельности.
Описанный методический прием может быть использован учителями математики при изучении разделов «Планиметрия» «Стереометрия»; учителями химии для демонстрации кристаллических решеток твердых тел; учителями физики при изучении темы «Векторы. Действия над векторами». Во-первых, это очень наглядно; во-вторых, такой вид деятельности под силу большинству учащихся; и, в-третьих, что очень важно, не требует больших временных и материальных затрат.
Использование моделирования в процессе обучения создает благоприятные условия для формирования таких общих приемов умственной деятельности, как абстрагирование, классификация, анализ, синтез, обобщение, что в свою очередь способствует повышению уровня знаний, умений и навыков школьников.
Общаясь с разнообразными материальными моделями геометрических фигур, выполняя с этими моделями большое число опытов, учащиеся выясняют наиболее общие признаки, не зависящие от материала, цвета, положения, веса и т.п. Это достигается систематическим применением приема материализации изучаемых геометрических объектов. Например, перпендикулярные прямые - это не только объект, полученный с помощью линейки и карандаша, но и края парты, классная доска, пол, потолок, оконная рама, клеточки тетради и многое другое. Отвлекаясь от конкретных свойств материальных вещей, учащиеся овладевают геометрическими представлениями.
Значительное место занимает применение приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур. Это позволяет уточнить свойства фигур, их классификацию. Например, выделение множества треугольников из множества многоугольников, выделение квадратов из множества прямоугольников.
В процессе изучения геометрических фигур у учащихся формируются навыки индуктивного мышления, воспитываются умения делать простейшие индуктивные умозаключения. Одновременно с этим постепенно развиваются и используются навыки дедуктивного мышления. Все это ведется через формирование приемов умственных действий, таких, как анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение.
Важной задачей является обеспечение целенаправленного и полного анализа фигуры, на основе которого выделяются ее существенные свойства, и происходит отвлечение от несущественных свойств. В ходе такой работы возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, условий изображений. Введение символики помогает не только отличать фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений.
Для развития пространственного мышления учащихся можно предложить для выполнения специально подобранные задания. Выполнение такого типа заданий позволяет повысить уровень развития пространственного мышления учащихся, приобрести базу для изучения стереометрии в старших классах, развить творческие способности, т. к. в основе творчества лежит деятельность образных компонентов мышления.
Задания предлагаются в занимательной, эмоциональной форме или в виде описания практических действий, т. к. эмоциональная память наиболее устойчива.
Задания для учащихся 5-6 классов.
Представьте, что вам поручено обеспечить освещение тумбы для объявлений, имеющей кубическую форму и установленной на темной улице. Где вы разместите источник света, чтобы вечером можно было прочесть как можно больше объявлений?
Представьте себе, что любопытная сорока залетела в террариум полюбоваться коброй. Та находилась в стеклянной клетке в форме куба. Сорока узнала, что увидеть кобру можно, наблюдая клетку в положении, изображенном на рисунке. Пусть ваш кубик на столе будет клеткой со змеей. Займите то положение наблюдения относительно клетки, в котором должна находиться сорока, чтобы увидеть кобру.


Задания для учащихся 7 - 11 классов
Подобного рода задачи можно с успехом использовать и на внеклассных занятиях.
1 уровень
1) Укажите несколько симметричных букв, слов, предложений.
(Например: Д, Ж, М, Н, О, П, Т, Ф, Ш;ТОПОТ,ПОТОП,ПОП,ТОТ; АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА, ЛЕВ ВОЛОВ ВЕЛ, А РЕМЕНЬ - НЕ МЕРА, УЖАС: АНГЕЛ ЛЕГ НА САЖУ.)
Написание слова НОС имеет горизонтальную ось симметрии, слово ПОТОП – вертикальную. Как надо написать слово « НАТАША », чтобы оно обрело ось симметрии? ( Столбиком)
2 уровень
1) Из проволоки сделаны два одинаковых квадрата. Как нужно один из них наложить на другой, чтобы можно было получить 8 одинаковых треугольников и восьмиугольник?

Прямоугольник со сторонами 4 и 9 единиц разрезать на две равные части, сложив которые надлежащим образом, можно было бы получить квадрат.
3 уровень
Квадратный лист сложили по диагонали, затем еще раз вдвое так, чтобы получился равнобедренный треугольник. Какая образуется фигура, если каждую вершину последнего треугольника отрезать по отрезкам одинаковой длины, параллельным его противоположным сторонам, и развернуть лист?

Задания для учащихся 10 - 11 классов
1 уровень
Что представляет собой множество точек, являющихся серединами параллельных хорд сферы?
2 уровень
Выбрать расположение оси и провести симметричное преобразование заданной правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы пересечением симметричных фигур были: точка, отрезок, треугольник, четырехугольник, объединение двух усеченных пирамид.
3 уровень
Каким одним преобразованием может быть заменено произведение (последовательная композиция) симметрий относительно трех взаимно перпендикулярных прямых в пространстве, проходящих через одну точку?
Первая задача диагностирует возможность ученика мысленно осуществлять параллельный перенос первого уровня оперирования, то есть преобразование, обеспечивающее движение (перемещение), но не затрагивающее структурных особенностей исходного образа.
Следующая задача проверяет возможность ученика осуществлять мысленную симметрию второго уровня трудности, требующего преобразования исходного образа и по структуре его конструкции.
Задача третьего уровня требует умения осуществлять в представлении композицию нескольких осевых симметрий.
Диагностические задачи для определения уровня развития пространственного мышления желательно решать методом «в воображении », то есть без всякой графической опоры и вспомогательных средств. Это значительно сокращает время решения, а главное – снимает многие трудности, связанные с умением графического изображения найденного решения и его этапов. Приведенные задачи решаются учащимися в течение 5 – 7 минут. Это дает возможность предлагать их школьникам на уроке в качестве небольшой самостоятельной работы или индивидуальных заданий.
Решение таких задач можно использовать для диагностики уровня развития пространственного мышления учащихся.