Элективный курс по геометрии Развитие пространственного мышления старшеклассников

МБОУ лицей №51 имени Б.В. Капустина Кировского района
города Ростова-на-Дону
Элективный курс «Развитие пространственного мышления старшеклассников»
Автор: Овчар Людмила Леонидовна,
Учитель математики,
высшей категории
г. Ростов-на-Дону
2013 год
Пояснительная записка
Элективный курс «Развитие пространственного мышления старшеклассников», можно использовать как в архитектурных, так и в общеобразовательных классах. Элективный курс имеет экспертное заключение доцента кафедры геометрии и методики преподавания математики Южного федерального университета, кандидата педагогических наук Бреус Ирины Анатольевны, подписано заведующей кафедрой геометрии и методики преподавания математики Южного федерального университета кандидатом педагогических наук, доцентом Князевой Ларисой Евгеньевной. Результаты внедрения элективного курса «Развитие пространственного мышления старшеклассников», обсуждены и одобрены на заседании кафедры геометрии и методики преподавания математики Южного федерального университета от 19.03.2013г. протокол №8.
Курс представляет собой синтез стереометрии, черчения и наглядной геометрии и рассчитан на 34 учебных часа. Практические задания включают в себя: построение сечений пространственных фигур, определение соответствия видов тел. Элективный курс имеет вводный и итоговый контроль.
Цель курса: развитие пространственного мышления обучающихся архитектурных классов.
Пространственное мышление является одним из важнейших интеллектуальных качеств, профессионально необходимых будущим архитекторам, дизайнерам и строителям.
На основании вышесказанного можно утверждать, что актуальность использования элективного курса определяется востребованностью развития пространственного мышления человеческой практикой, противоречиями между требованиями к геометрической подготовке выпускников школ и реальным уровнем развития у них пространственного мышления.
Пространственное мышление обучающихся 10-11 классов эффективно развивается при изучении стереометрии, если:
- в процесс обучения включена система упражнений, направленных на развитие указанного интеллектуального качества;
- учитываются возрастные особенности пространственного мышления у старшеклассников;
- производится диагностика и коррекция уровня развития пространственного мышления учащихся в ходе обучения.
При разработке элективного курса я ставила перед собой следующие задачи:
Осуществить анализ психолого-педагогической литературы по проблеме развития пространственного мышления.
Изучить проблемы формирования способности оперирования образами при изучении стереометрии и методы построения сечений геометрических тел.
Организовать исследовательскую работу и провести диагностику развития пространственного мышления учащихся.
Структура занятия состояла из трех этапов. На первом этапе учащимся предлагались упражнения, заимствованные у Е.В.Заика. (Приложение 2) На втором – задания на установление соответствия между видами чертежей, на развертки куба (Приложение 4) , на третьем – задания из рабочих тетрадей и презентаций Смирнова В.И. – автора учебника геометрии и одного из разработчиков КИМ для ЕГЭ и заданий из сборника дидактических материалов Зив Б.Г.(Приложение 3) Занятия сопровождались презентациями Смирнова В.И. В систему занятий включено изготовление моделей геометрических тел. При выполнении таких упражнений ученик имел возможность самостоятельно проанализировать поставленный вопрос, при необходимости сделать чертеж, провести (в уме или на черновике) рассуждения и только после этого дать ответ (устный или письменный) без описания хода решения или, по просьбе учителя, с кратким комментарием.
Диагностика на первоначальном и завершающем этапах опытной работы осуществлялась с помощью контрольных работ №1, №2 (Приложение 1), заимствованной из диссертации Бреус И. А. (За основу взята методика И. С. Якиманской)
Трудности в оперировании пространственными образами, в курсе стереометрии и черчения можно преодолеть с помощью авторского элективного курса, направленного непосредственно на развитие этого интеллектуального качества.
Календарно-тематическое планирование
№ занятия Дата
план Дата
факт Тема Элементы содержания Основные требования к уровню подготовки учащихся Вид контроля, самостоятельной деятельности Использование ИКТ технологий
4.09 Решение заданий В3, виды чертежей, задачи на развитие пространственного мышления Решать планиметрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей) Треугольник
Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат
Трапеция
Окружность и круг
Окружность, вписанная в треугольник, и окружность,
описанная около треугольника
Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника Уметь выполнять
действия с геометрическимифигурами, координатами и векторами Электронная книга В.А.Смирнов рабочая тетрадь В3 планиметрия: Площади
11.09 Решение заданий В3, виды чертежей, задачи на развитие пространственного мышления 18.09 Решение заданий В3, виды чертежей, задачи на развитие пространственного мышления 25.09 Решение заданий В6, виды чертежей, задачи на развитие пространственного мышления Моделировать реальные ситуации на языке геометрии,
исследовать построенные модели с использованием
геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать
практические задачи, связанные с нахождением геометрическихвеличин Электронная книга В.А.Смирнов рабочая тетрадь В6 планиметрия: Углы и длины
2.10 Решение заданий В6, виды чертежей, задачи на развитие пространственного мышления 9.10 Решение заданий В9, виды чертежей, задачи на развитие пространственного мышления Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые;
перпендикулярность прямыхПараллельность прямой и плоскости, признаки и свойства
Параллельность плоскостей, признаки и свойства
Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и
свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трех
перпендикулярахПерпендикулярность плоскостей, признаки и свойства
Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы Электронная книга В.А.Смирнов рабочая тетрадь В9 стереометрия: расстояние и углы в пространстве
16.10 Решение заданий В9, развитие пространственного мышления 23.10 Решение заданий В11 с\рЭлектронная книга В.А.Смирнов рабочая тетрадь В11 стереометрия: объемы и площади
30.10 Решение заданий С4Решать планиметрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей) Треугольник
Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат
Трапеция
Окружность и круг
Окружность, вписанная в треугольник, и окружность,
описанная около треугольника
Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника Решать планиметрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей) Электронная книга
Р.К.Гордин задания С4ЕГЭ 2013
13.11 Решение заданий С2
«Расстояния» Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые;
перпендикулярность прямыхПараллельность прямой и плоскости, признаки и свойства
Параллельность плоскостей, признаки и свойства
Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и
свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трех
перпендикулярахПерпендикулярность плоскостей, признаки и свойства
Параллельное проектирование. Изображение
пространственных фигур Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использовать при решении стереометрических задач
планиметрические факты и методы Определять координаты точки; проводить операции над
векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол междувекторами Электронная книга. В.А.Смирнов Задания С2 Геометрия
Стереометрия.
20.11 Решение заданий С2«Расстояния» 27.11 Решение заданий С2«Расстояния» 4.12 Решение заданий С2«Расстояния» 11.12 Решение заданий С2«Расстояния» с\р18.12 Решение заданий С2«Углы» 25.12 Решение заданий С2«Углы» 15.01 Решение заданий С2«Углы» 22.01 Решение заданий С2«Углы» с\р29.01 Решение заданий С2«Сечения» 5.02 Решение заданий С2«Сечения» 12.02 Решение заданий С2«Сечения» 19.02 Решение заданий С2«Сечения» 26.02 Решение заданий С2«Сечения» 5.03 Решение заданий С2«Сечения» 12.03 Тренировочные тесты. Решение геометрических задач ЕГЭ Уметь выполнять
действия с геометрическимифигурами, координатами и векторами
Моделировать реальные ситуации на языке геометрии,
исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать
практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы
Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол междувекторами Работа в формате ЕГЭ (геометрия) 2.04 Тренировочные тесты. Решение геометрических задач ЕГЭ Работа в формате ЕГЭ (геометрия) 9.04 Тренировочные тесты. Решение геометрических задач ЕГЭ Работа в формате ЕГЭ (геометрия) 16.04 Тренировочные тесты. Решение геометрических задач ЕГЭ Работа в формате ЕГЭ (геометрия) 23.04 Диагностические работы по геометрическим задачам различных типов. Работа в формате ЕГЭ (геометрия) 30.04 Диагностические работы по геометрическим задачам различных типов. Работа в формате ЕГЭ (геометрия) 7.05 Диагностические работы по геометрическим задачам различных типов. Работа в формате ЕГЭ (геометрия) 14.05 Диагностические работы по геометрическим задачам различных типов. Работа в формате ЕГЭ (геометрия) 21.05 Итоговое тестирование. Работа в формате ЕГЭ (геометрия) Итого: 33 часа в соответствии с годовым календарным графиком
Приложение 1
Контрольная работа №1
Задание 1
Мысленно представьте следующий объект и операции с ним:
Возьмите какую-нибудь диагональ боковой грани куба. Сколько имеется а). Верти-кальных ребер, не пересекающихся с этой диагональю (); б). Горизонтальных
ребер, не пересекающихся с этой диагональю ()?Задание 2
Найдите разницу в изображениях. Опишите, что изображено на каждом из рисунков.

Задание 3

Рассмотрите проекционный чертеж непрозрачной пирамиды. Мысленно определите,какому ее виду (сверху, сбоку и т.д.) соответствуют приведенные ниже изображения. Под-пишите на них названия видимых вершин пирамиды и точек сечения.

-396875100330Задание 4
Рассмотрите изображения, определите, какие из них обозначают один объект, а какие -разные. Укажите и заключите в скобки номера тех изображений, которые соответствуют од-ному и тому же геометрическому телу. Подпишите рядом его название.
00Задание 4
Рассмотрите изображения, определите, какие из них обозначают один объект, а какие -разные. Укажите и заключите в скобки номера тех изображений, которые соответствуют од-ному и тому же геометрическому телу. Подпишите рядом его название.


Задание 5
с
Куб ABCD разрезан плоскостями на части. Выдели-те среди них известные Вам выпуклые многогранники, пе-речислив буквы в их названии.
Задание 6
Рассмотрите четыре варианта различных форм отверстий (по два отверстия для каж-дого случая). Придумайте и изобразите для каждого варианта пробку, подходящую к двумотверстиям сразу. Либо напишите «решения нет», если считаете, что такой пробки не существует.
19113512763500
Задание 7
Задание 7
Мысленно представьте следующий объект и операции с ним:
Представьте себе квадрат, расположенный фронтально перед Вами. Перегните егопополам, наложив верхнюю половину на нижнюю. Соедините середины верхней и левой бо-ковой сторон полученного прямоугольника. Разрежьте мысленно фигуру по этой линии.Треугольник слева сверху отбросьте. Оставшуюся фигуру мысленно разверните. Нарисуйте,что у Вас получилось.
Задание 8
85788533782000Нарисуйте пересечение параллелепипедов на имеющемся чертеже.
12407901524000
(Контрольная работа №2).
За основу взята методика И. С. ЯкиманскойЗадания в контрольной работе расположены по возрастающей степени сложности(табл.).
Таблица

Охарактеризуем с точки зрения выбранного нами подхода систему диагностирую-щих заданий.
На проверку умения создавать верные представления на основе чертежа геометри-ческих фигур, а также на основании словесного описания исходной фигуры направлены за-дания №1 и №2.Задание 1.
Мысленно представьте следующий объект и операции с ним:
Возьмите какую-нибудь диагональ куба. Сколько имеется а). Вертикальных ребер, не
пересекающихся с этой диагональю (); б). Горизонтальных ребер, не пересекающихся сэтой диагональю ()?139192010033000Задание 2.
Опишите, изображением каких геометрических тел, известных из школьного курсаматематики, могут быть приведенные чертежи, укажите вид геометрических тел. (Неви-димые линии изображены пунктиром).
Проверка развития пространственного воображения осуществляется в следующих уп-ражнениях:
10610856286502613025640715Задания №3, №4 - диагностирует способность воображения рассматривать геометриче-ские тела, изменяя точку отсчета, с разных сторон (1 тип).Задание 3.
Дан проекционный чертеж непрозрачного куба. Устно выясните, какому виду (спере-ди, сбоку и др.) соответствуют приведенные справа изображения его видимой части. Под-пишите на них названия вершин (видимых) куба и точек сечения. Если считаете, что изо-бражение не соответствует никакому расположению куба, напишите «изображение невер-но».
Задание 4.
Заключите в скобки номера тех рисунков, которые могут служить изображениями(наглядными или ненаглядными) одного и того же геометрического тела. Напишите рядом
20313651035050его название. (Примечание. Если есть невидимые линии, то они изображены пунктиром.Иначе - невидимых линий нет или они совпадают с видимыми).35420302609215Задания №5, №6, №7 - проверяют способность студентов выделять объемные фигурыиз состава чертежа, мысленно или с опорой на чертеж фиксировать измененную конструк-цию исходного геометрического тела (2 тип).
Задание 5.
Большая пирамида разрезана плоскостямина части. Выделите среди этих частей другие пи-рамиды, перечислив буквы в их названии.
Задание 6.

377825737870Задание 7.
Мысленно представьте следующий объект и операции с ним:
00Задание 7.
Мысленно представьте следующий объект и операции с ним:
Рассмотрите четыре варианта различных форм отверстий (по два отверстия для каждо-го случая). Придумайте и изобразите для каждого варианта пробку, подходящую к двумотверстиям сразу. Напишите «решения нет», если считаете, что такой пробки не существует.
Пример
возьмите одну из вершин верхнего основания куба. В плоскости нижнего основаниявозьмите проекцию этой вершины. В плоскости нижнего основания возьмите два ребра, ис-ходящие из этой проекции. Через концы этих двух ребер и первую вершину проведите плос-кость. Какую фигуру представляет собой сечение этой плоскостью поверхности куба? Ответнапишите.
Задания №8,№9,№10 - направлены на диагностику способности оперирования образомпутем перекомбинирования входящих в его состав элементов, изменения структуры объекта,а также умения рассматривать процесс преобразования с различных точек зрения (3 тип).
Задание 8. (Задание заимствовано из методики Ломова Б.Ф.)
Мысленно представьте следующий объект и операции с ним:
Представьте себе квадрат, расположенный фронтально перед Вами. Проведите мыс-ленно диагональ из правого верхнего угла в левый нижний. Согните квадрат по диагонали,так чтобы верхний левый треугольник лег на нижний правый. Из середины горизонтальнорасположенного катета полученного треугольника восставьте перпендикуляр. Разрежьтемысленно фигуру по этой линии. Треугольник слева отбросьте. Оставшуюся фигуру мыслен-но разверните. Нарисуйте, что у Вас получилось.
Задание 9.
11430093980Дана правильная четырехугольная пирамида (в основании - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники). Мысленно разрежьте пирамиду плоскостью, проходящей через ее вершину S и диагональ основания АС.
Поверните отрезанную часть вокруг стороны АС так, что-

бы совпали вершины B и D. Нарисуйте полученную фигуру. Если она относится к известным Вам выпуклым многогранникам, напишите название ее вида.Задание 10.
На поверхности куба найти множество точек, удален-ных от его центра на расстояние, равное половине диагоналиграни. Изобразите получившееся множество на данном чер-теже.
Особо выделим задание №10. Оно носит творческий характер, требует умений оперирования образами, теоретических знаний, умения рассматривать условие задачи с различных точек зрения, изменять формулировку вопроса задачи и др.
Успешность выполнения заданий №№1,2,3,4,5,6 рассчитывается по формуле
где N- ожидаемый эталон ответа, количество правильно указанных объектов или со-отношений, a n - количество верных ответов на данный вопрос задачи. Таким обра-зом, окончательная оценка за каждое решение не будет превышать единицы. Задания, в ко-
торых нельзя осуществить простой подсчет количества правильных решений, оценивалисьпо качеству и полноте выполнения задания: №№7,8,9,10.
В №7 максимальная оценка 2 балла ставилась за правильный ответ «равностороннийтреугольник». За ответ «равнобедренный треугольник» -1,5 балла. Если в ответе указывает-ся не сечение, а отрезанная часть - тетраэдр, либо дается ответ «треугольник», этосвидетельствует о невнимательности, о недостаточной способности представить объект совсеми его особенностями и характеристиками. Образ нечеток и расплывчат. Поэтому мыоцениваем такое решение в 1 балл, поскольку общее представление о полученной фигуре всеже имеется.
В №8 за правильный ответ ставилась оценка 2 балла. В случае если сохранялась общаяформа полученной фигуры, но искажались истинные расстояния и пропорции -1 балл. Еслиформа не соответствовала верному ответу - 0 баллов.
В №9 максимальная оценка 2 балла ставилась за ответ «четырехугольная пирамида» иверное изображение. Чтобы на результат не влияли изобразительные способности студентов,дополнительно требовалось указать название полученного геометрического тела. Ответы«тетраэдр», «октаэдр» свидетельствуют о неполном представлении выполняемых преобразо-ваний над объектом. Если пирамида разрезана, отрезанная часть присоединена, но истиннаяформа объекта не определена (об этом свидетельствуют неверные названия полученных гео-метрических тел и неточное, с ошибками изображение полученной фигуры), то ставился -1балл, если отрезанная часть присоединена неверно -0,5 балла.
В задании №10 максимальную оценку мы приняли равной 3 баллам. Она ставилась, ес-ли полностью найден правильный ответ, то есть обучающийся изобразил все шесть окружностей,вписанных в грани куба. Задание оценивалось 2 баллами, если обучающийся обнаружил геометри-ческое место точек, а именно - шар, вписанный в куб, изобразил окружности, однако, не впи-санные в грани. Оценка 1,5 балла, ставилась, если обучающимся изображен шар, но не указанани одна из точек на гранях куба. Мы ставили 1 балл, если обучающийся указал точки в серединахвсех ребер куба. Решающий задачу учел расстояние, указанное в задаче, но не сумел пред-ставить полученное множество точек как шар, а указал лишь дискретное множество из 12точек. Оценка 0,5 балла ставилась, если имелись хотя бы наметки решения, несколько пра-вильно указанных точек. Остальные варианты ответов расцениваются нами как неверныПриложение 2
Перемещения на плоскости. Зачитывается ряд из 4—6 цифр, например:
5, 6, 8, 9, 4, 7. Эти цифры обозначают количество шагов (или метров), на которые перемещается некоторое воображаемое лицо, двигаясь от фиксированной исходной точки в последовательности: вперед — вправо — назад — влево — вперед — вправо и так далее (рис. 1) Такие перемещения надо совершать мысленно, стараясь как можно точнее учитывать длину каждого отрезка и соотношения между ними. При этом и названные цифры, и промежуточные конфигурации отрезков удерживаются в памяти. Ответ дается в виде рисунка двух точек: исходной и конечной, с точным соблюдением масштаба места положения конечной точки относительно исходной. Правильность ответа определяется через сопоставление с эталоном, тут же вычерчиваемым самими детьми в форме внешних действий. Победитель — тот, кто указал расположение точек, наиболее близкое к эталонному.
Перемещение по сторонам света.
Зачитывается ряд из 3—4 букв и стольких же цифр. Используются только буквы С, Ю, З и В, обозначающие стороны света. Услышав, например, ряд Ю — З — В, 6 — 2 — 8, ребенок мысленно должен построить общий маршрут перемещения некоторого воображаемого лица в соответствии с заданным порядком букв (рис. 5), а затем придать каждой линии длину, соответствующую последовательности цифр. Указать следует лишь конечную точку перемещений по отношению к исходной.
Перемещения в пространстве.
В этом упражнении вдобавок к четырем направлениям на плоскости (север, юг, запад, восток) используются еще и два направления в пространстве: вверх, вниз. Игрокам прочитываются (сначала медленно, потом быстрее) ряды, подобные следующему: юг — 8, восток — 3, вверх — 5, запад — 8, вниз — 9 и т.д. Испытуемый должен мысленно перемещаться в этих направлениях от некоторой фиксированной точки на горизонтальной плоскости.
Наибольшая эффективность выполнения задания достигается тогда, когда испытуемый мысленно перемещается лишь в направлениях на плоскости (как в двух предыдущих упражнениях), а перемещения вверх и вниз отслеживает отдельно, удерживая в памяти их результаты. Так, в нашем примере этапы «вверх — 5» и «вниз — 9» выполняются отдельно, как бы параллельно с общим ходом перемещений: просто запоминается число +5, затем из него вычитается 9 и удерживается в памяти —4.
Ответ выдается в виде положения конечной точки перемещения отно-
сительно начальной (как в предыдущих заданиях), и рядом записывается число, указывающее третью — пространственную — координату, например -4, что значит: вниз на 4 единицы.
Применение правила «левой руки». Используется известное в физике правило определения направления силы, действующей на проводник, находящийся в магнитном поле: если распрямленные пальцы левой руки расположить по направлению тока в проводнике (от «плюса» к «минусу») и повернуть ее так, чтобы в ладонь входили силовые линии магнитного поля, то оттопыренный большой палец укажет на направление силы, действующей на проводник со стороны этого магнитного поля.В начале игрокам задают направления тока и силовых линий магнитного поля и просят, мысленно проделав описанные манипуляции, определить направление выталкивания проводника, например: «Ток идет от вас влево, силовые линии магнитного поля направлены снизу вверх» (правильный ответ: проводник выталкивается вперед, или от меня); «Плюс внизу, магнитное поле действует справа налево» (ответ: назад, или на меня).
Затем решаются обратные задачи, когда известны направление вытал- кивания проводника и, например, направленность магнитного поля, а надо определить направление тока: «Проводник выталкивается вниз, силовые линии магнитного поля входят спереди» (ответ: ток идет слева направо) или «Проводник выталкивается вверх, плюс справа» (ответ: магнитные силовые линии идут спереди назад, или на меня). Чтобы стимулировать действия игроков именно во внутреннем плане, можно жестко потребовать, чтобы левая рука у всех лежала на парте или, еще лучше, чтобы они на ней сидели. Правой же рукой можно в этом случае быстро записывать ответы, если предъявляется целая серия таких задач.
Сравнение двух прямоугольников. Называются четыре цифры, например: 5, 8,7, 3. Требуется мысленно построить два прямоугольника со сторонами 5x8 и 7x3 и как можно быстрее определить, поместится ли один из них внутри другого, не выступая за стороны последнего, при условии, что прямоугольники можно поворачивать в плоскости листа. Затем надо быстро построить также мысленно два других прямоугольника, но теперь для длин их сторон берутся из исходного ряда цифры через одну: 5x7 и 8x3. Ответ надо дать в виде пар слов: да — да, да — нет, нет — нет, нет — да, обозначающих, вкладываются ли один в другой два прямоугольника в первом случае и во втором (в нашем примере правильный ответ: «да — нет»). Побеждает тот, кто допускает наименьшее количество ошибок и быстрее всех называет правильные ответы. На начальных этапах освоения этого упражнения ответы на первую и вторую его части можно давать раздельно, на заключительных — только вместе. В этом и последующих упражнениях желательно (особенно на первых этапах усвоения) вводить какой-либо сюжет, придающий осмысленность выполняемым с прямоугольниками манипуляциям, например: войдет ли картина такого-то размера в такую-то рамку; можно ли книгой такого-то размера прикрыть другую такую-то; можно ли на таком-то участке земли построить дом такого-то размера; в такую-то нишу вставить такую-то плиту?Сравнение трех прямоугольников. Называются шесть цифр (или три двузначных числа), например: 78, 52, 43. Требуется поочередно сравнить три пары прямоугольников со сторонами: 1) 7x8 и 5x2; 2) 7x8 и 4x3; 3) 5x2 и 4x3, определяя, может ли один из них полностью поместиться в другом. Выполнив в уме все необходимые построения, надо быстро и слитно произнести три слова, в данном примере: «да — да — нет».
Вкладывание двух прямоугольников в один большой. Называются шесть цифр или три двузначных числа (см. предыдущее упражнение). Требуется мысленно построить три прямоугольника со сторонами 7x8, 5x2 и 4x3 и определить, могут ли быть два из них, небольшие, помещены в третий, большой, так, чтобы их края не выступали за его стороны. Выполняя это задание, прямоугольники можно поворачивать в плоскости листа, но так, чтобы их стороны сохраняли горизонтальное и вертикальное направления (рис. 6). Ответить надо только одним словом: «да» (вкладываются) или «нет». В случае, если стороны прямоугольников располагаются лишь впритык (например, меньшие прямоугольники со сторонами 3 и 5 вкладываются в большой со стороной 8), к слову «да» обязательно добавляется «впритык».
Определение числа маленьких прямоугольников, вмещающихся в большой. Называется ряд из четырех чисел, например: 5, 8, 4, 3. Первые два обозначают стороны большего прямоугольника: 5x8, вторые — меньшего: 3x4. Нужно мысленно представить себе их и попытаться вложить меньший в больший; если получится, то надо определить, сколько всего меньших прямоугольников: один, два, три — могут вместиться в большом. При этом их можно поворачивать на 90°. Ответить следует лишь одним словом: «ноль» (ни один), «один», «два», «три». В нашем примере верный ответ «два».
Определение числа квадратов, вмещающихся в прямоугольник. Услышав ряд из четырех чисел, например: 5, 8, 4, 3, которые обозначают длину сторон двух прямоугольников, следует мысленно построить больший из них: 5x8 — и вместить в него меньший: 4x3. Затем следует попытаться расположить меньший прямоугольник в большем так, чтобы в него (в больший) поместилось еще и как можно больше квадратов со сторонами 2x2. Проделав все эти построения и подсчеты во внутреннем плане действия, надо назвать лишь количество дополнительно вмещающихся в прямоугольник квадратов: «ноль», «один», «два» и т.д. В нашем примере расположим больший прямоугольник так, чтобы сторона в 8 единиц была горизонтальной, а сторона в 5 — вертикальной. Поместим в него меньший прямоугольник так, чтобы сторона в 4 единицы была горизонтальной, а в 3 — вертикальной, и придвинем его впритык в левый (или правый) нижний угол большего. Тогда в свободное место над маленьким прямоугольником поместятся два квадрата 2x2, а справа от него — четыре таких же квадрата (рис. 7). Вариант: меньший прямоугольник в верхнем левом; или правом углу. Следовательно, ответ должен быть: «шесть».
Вписывание параллелепипедов.
Называется ряд из шести цифр, например: 5, 8, 2, 3, 4, 6. Первые три числа рассматриваются как стороны первого параллелепипеда (5x8x2), вторые — второго. Мысленно построив их и попытавшись поместить один в другой (при этом их можно как угодно поворачивать), надо дать ответ, вписываются ли они один в другой (да или нет) и какой в какой (первый во второй или второй в первый). В нашем случае правильный ответ — «нет», потому что ни при каких поворотах ни один из них не вписывается, (не вкладывается) в другой полностью.
Затем, исходя из того же ряда цифр, следует рассматривать три числа, стоящие на нечетных местах (первом, третьем и пятом) как стороны ; одного, «нечетного» параллелепипеда: 5x2x4, а стоящие на четных местах — другого, «четного»: 8x3x6. Мысленно построив их и попытавшись вместить один в другой, следует дать четкий ответ о возможности их вписывания. В нашем случае верный ответ: «да, нечетный в четный».
По мере приобретения достаточного опыта в выполнении этого задания обе его части следует не разделять во времени, добиваясь от игроков ответа сразу о двух парах параллелепипедов.
Выявление пересекающихся отрезков. Медленно зачитывается ряд из восьми цифр со стоящими перед ними знаками, например: -2, +5, +6, -3,-5, -4, +4, -3. Каждая пара цифр обозначает координаты точки в прямоугольной системе координат (абсциссу и ординату). Первая точка (-2, +5) мысленно соединяется отрезком со второй (+6, -3), а третья — с четвертой (рис. 8). Надо определить, пересекаются ли отрезки, и ответить одним словом: «да» или «нет». На начальных этапах освоения упражнения ученики могут иметь перед глазами оси координат, на последующих эта зрительная опора устраняется. По мере достижения стабильного успеха в выполнении упражнения скорость прочитывания восьми цифр все более возрастает.
Определение формы треугольника.
Зачитывается ряд из шести цифр со знаками, например: -7, +2, -3, +6, -1, -5. В представляемой прямоугольной системе координат мысленно строится треугольник с координатами вершин (-7, +2), (-3, +6) и (-5, -1) (рис. 9). Затем быстро зарисовывается конфигурация получившегося треугольника на листке с системой координат. Ответ сравнивается с построенным во внешнем плане эталонным треугольником; побеждает тот, у кого расхождение минимально. При сравнении особенно обращается внимание на соблюдение пропорций (подобие).
-17526018351500рис. 1
753110-36131500


рис.4


Приложение 3
Система упражнений, способствующая развитию пространственного мышления.
С-1
Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая a лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a и m? Почему?
C-2
На рисунке 1 плоскости α и β пересекаются по прямой EF. Прямая АВ лежит в плоскости α. В плоскости β через точку С проведите прямую так, чтобы она
пересекала прямую А В;

C-4
Отрезок CD лежит в плоскости α. Концы отрезка ЕМ лежат в параллельных плоскостях α и β (рис 4). Постройте линии пересечения плоскостей ECD, EMC и EMD с плоскостью β.
С—6
1. Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки Р, М и К, где P QUOTE AD, M QUOTE BD и K QUOTE BC, причём AP=PD и DM=MB.
2. В параллелепипеде ABCD QUOTE основание A BCD — квадрат со стороной, равной 8 см, остальные грани — прямоугольники. Боковое ребро равно 3 см, E - середина QUOTE . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через AC и точку E, и найдите периметр сечения.
С-12
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1Bl C1D1 точки Е, F и К — середины ребер A1Bl, A1D1 и AD соответственно, АВ = 4, AA1= 6, С = QUOTE .
1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е, F и К, и докажите, что плоскости сечения и основания взаимно перпендикулярны.
2) Найдите AD.
K-1 Вариант 1
1. Точки А, С, М и Р лежат в плоскости α , а точка В QUOTE α (рис. 66). Постройте точку пересечения прямой MP с плоскостью ABC. Поясните.

Рис. 66 Рис. 67
3. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая а лежит в плоскости α. Каково возможное взаимное расположение прямой а и плоскости β? Сделайте рисунок и поясните.
4.Используя рисунок 67, постройте линию пересечения плоскости EFM с плоскостью α. Поясните.
K-l Вариант 2
1. Точки А B В лежат в плоскости α, а точка С — в плоскости β (рис. 68). Постройте линии пересечения плоскости ABC с плоскостями α и β. Поясните.

Рис. 68 Рис. 69
3. Прямая a параллельна плоскости α, точка М и прямая с лежат в плоскости α (М QUOTE с). Через точку М проведена прямая b , параллельная а. Каково взаимное расположение прямых b и с? Поясните.
4*. Плоскости α и β пересекаются по прямой m (рис. 69). Прямая АВ лежит в плоскости α, a CD - в плоскости β. Что нужно изменить в условии, чтобы прямые EF и МК были параллельными? Поясните.
K-1 Вариант 3
QUOTE Точки QUOTE и QUOTE лежат в плоскости QUOTE , а точка В QUOTE α (рис. 70). Постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью АBС. Поясните.

Рис. 70 Рис. 71
3. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая а лежит в плоскости α, а b — в плоскости β. Каково возможное взаимное расположение прямых а и в? Сделайте рисунок и поясните.
4*. Используя рисунок 71, достройте линию пересечения плоскости МРК с плоскостью α. Поясните.
K-1 Вариант 4
1) Точки Е и F лежат в плоскости β, а точка М — в плоскости α (рис. 72). Постройте линии пересечения плоскости EMF с плоскостями α и β. Поясните.

рис. 72 рис.73
4*. Плоскости α и β пересекаются по прямой m(рис. 73). Прямая АВ лежит в плоскости α, a CD — в плоскости β. Что нужно изменить в условии, чтобы прямые АС и BD пересекались? В каком случае это возможно?
К—2 Вариант 1
QUOTE .Плоскости α и β параллельны, а QUOTE (рис. 74). Прямая QUOTE пересекает плоскости α и β соответственно в точках QUOTE и QUOTE , а прямая QUOTE , пересекает плоскость QUOTE в точке QUOTE . Постройте точку пересечения QUOTE с плоскостью β. Поясните.

Рис.74 Рис.75
4*. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е и F параллельно прямой а (рис. 75).
3. В тетраэдре DABC QUOTE DBA = QUOTE DBC = 90°, DB = 6, АВ = ВС = 8, АС = 12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Найдите площадь сечения.
К—2 Вариант 2
2. Плоскости α и β параллельны (рис. 76). Прямая а пересекает плоскости α и β соответственно в точках А и В, а прямая b — в точках С и D. Найдите взаимное расположение прямых а и Ь. Поясните.

Рис. 76 рис.77
4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и К параллельно прямой a (рис. 77).
3. Все грани параллелепипеда ABCD QUOTE — квадраты со стороной а. Через середину ребра AD параллельно плоскости D QUOTE проведена плоскость. Найдите периметр сечения.
К—2 Вариант 3
2. Плоскости α и β параллельны (рис. 78). Прямые a и b пересекаются в точке М. Прямая а пересекает плоскости α и β соответственно в точках А и В, а прямая b пересекает плоскость β в точке D, Постройте точку пересечения прямой b с плоскостью α.

Рис.78 Рис.79
4*. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е и Р параллельно прямой а( рис. 79).
QUOTE . В тетраэдре QUOTE точка QUOTE — середина QUOTE = QUOTE , QUOTE = QUOTE , QUOTE DBM = 90°. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра DC параллельно плоскости DMB, и найдите площадь сечения.
К—2 Вариант 4
2. Плоскости α и β параллельны (рис. 80). Прямая а пересекает плоскости α и β соответственно в точках А и В, а прямая Ь — в точках С и D. Каково взаимное расположение прямых а и b? Поясните.

Рис.80 рис.81
4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и М параллельно прямой а (рис. 81).
3. ABCD QUOTE параллелепипед, все грани которого— прямоугольники, AD=4, ВС = 8, С QUOTE = 6. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра DC параллельно плоскости A QUOTE , и найдите периметр сечения.
К—4 Вариант 1
2.В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, QUOTE C = 90°, QUOTE A 30°, ВС = 10. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Высота пирамиды равна 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3*.В указанной выше пирамиде найдите угол между прямыми АС и DB.
К—4 Вариант 2
.Основанием пирамиды MABCD служит ромб ABCD, АС = 8, BD = 6. Высота пирамиды равна 1. Все двугранные углы при основании равны. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3*. В указанной выше пирамиде найдите угол между гранями ВМС и ВМС.
К—4 Вариант 3
1.В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной 12. Грани MBА и МВС перпендикулярны плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3*.В указанной выше пирамиде найдите расстояние между прямыми ВС и MD.
К—4 Вариант 4
QUOTE Основанием пирамиды QUOTE служит прямоугольный треугольник QUOTE , катеты которого QUOTE . Высота пирамиды равна QUOTE . Двугранные углы при основании пирамиды равны между собой. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
QUOTE . В указанном выше параллелепипеде найдите угол между QUOTE C и плоскостью грани D QUOTE C.
МД—4 Вариант 1
4. Каково взаимное расположение прямых (рис. 86): 1) A QUOTE и MN; 2) A QUOTE и В QUOTE ; 3) MN и DC?
7.Прямые mиn пересекаются в точке М (рис. 87), А QUOTE m, В QUOTE n, b лежит в плоскости α, а || Ь. Каково взаимное расположение прямых bиc?
10. Плоскость α пересекает только боковые ребра параллелепипеда. Определите вид сечения.
QUOTE QUOTE

МД—1 Вариант 2
4.Каково взаимное расположение прямых (рис. 89): 1) QUOTE D и MN; 2) QUOTE D и QUOTE С; 3) MN и QUOTE
7. Прямые mиn параллельны (рис. 90). Точки A и B соответственно принадлежат прямым mиn; b лежит в плоскости α, а || b . Каково взаимное расположение прямых bис?
10. Плоскость α проходит через диагональ основания параллелепипеда и середину одной из сторон верхнего основания. Определите вид сечения.

Рис. 89 рис. 90
Приложение 4