Итоговая контрольная работа по алгебре и началам математического анализа в 11 классе

Итоговая контрольная работа по алгебре и началам математического анализа в 11 классе за 2016-2017 уч.год1 вариант
1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

2. Решите неравенство: 
3. а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
2 вариант
1.
 На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции y = f(x).
2. Решите неравенство: 
 
3. а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х+2
.
РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
1 вариант
1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.
Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.
 
Ответ: 14.
2. Решите неравенство: 
Решение.
Преобразуем неравенство:
 

 
Сделав замену  получаем неравенство  откуда 
Тогда:  откуда  или 
 
Ответ: 
3. а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение: 
Пусть  тогда уравнение запишется в виде  откуда  или 
При  получим:  откуда 
При  получим:  откуда 
б) Корень  не принадлежит промежутку  Поскольку  и  корень  принадлежит промежутку 
Ответ: а)  б) 
 
 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
РешениеНайдем пределы интегрирования, для этого найдем точки пересечений заданных функций



Ответ:
 
 
 
2 вариант
1.
.
 На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции y = f(x).
Решение.
Заданная функция имеет максимумы в точках 1; 4; 9; 11 и минимумы в точках 2; 7; 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44
 
Ответ: 44.
2. Решите неравенство: 
Решение.
Решим второе неравенство системы:
 

 
Сделаем замену  Тогда 
 
Вернемся к исходной переменной:

 
 
Ответ: 
3. а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
 


 
Откуда 
б) Оценим  сверху целыми числами:  Тогда
 
 и 
 
Значит, отрезку  принадлежит только 
Ответ а)  б) 
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х+2
.
Решение.
Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем
систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:
    или    .Находим: x1 = -2, x2 = 4.
Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Ответ: 18