Урок Объемы многогранников и тел вращения
Обобщающий урок
Решение задач по теме:
« Объёмы многогранников и тел вращения»
План урока:
организационный момент
устная работа
решение задач в группах
тестирование на компьютерах
решение задач из групп на кадоскопе и доске
подведение итогов урока
домашнее задание ( творческая работа по карточкам)
устная работа
Дано:
АВСДА1В1С1Д1параллелепипед
АА1 – высота
АА1=8 м
Sосн=12 м2
Найти: Vпараллелепипеда
Решение:
Vпараллелепипеда= Sосн*Н=12*8=96 м3
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Дано:
Конус
d=8 см
l=15 см
Найти: Vконуса
Решение:
Vконуса=13 EMBED Equation.3 1415
Дано:
цилиндр
Vцилиндра=13 EMBED Equation.3 1415
R=2 см
Найти: Н
Решение
Vцилиндра= Sосн*Н13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Дано:
Пирамида
Sосн=13 EMBED Equation.3 1415 м2
Н= 9м
Найти: Vпирамиды
Решение
13 EMBED Equation.3 1415 м3
Устная работа
Дано:
АВСДА1В1С1Д1параллелепипед
АА1 – высота
АА1=8 м
Sосн=12 м2
Найти: Vпараллелепипеда
Дано:
Конус
d=8 см
Н=15 см
Найти: Vконуса
Дано:
цилиндр
Vцилиндра=13 EMBED Equation.3 1415
R=2 см
Найти: Н
Дано:
Пирамида
Sосн=13 EMBED Equation.3 1415 м2
Н= 9м
Найти: Vпирамиды
Работа учащихся в группах по карточкам.
Задачи по теме «Объёмы» подобраны из тестовых задач по математике 2005 года.
Задачи для группы №1.
1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите объём конуса ( В - №11 задание 7 )
2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 450 . ( В - №9 задание 16 )
3. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 EMBED Equation.3 1415 см вокруг своего катета.
( В - №10 задание 27 )
4. Объём шара 13 EMBED Equation.3 1415 см3. Вычислите площадь поверхности шара.
( В - №20 задание 11 )
5. Образующая и радиусы большего и меньшего основания усечённого конуса равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см. Вычислите объём этого конуса.
( В - №16 задание 23 )
6. Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона основания – 4см. ( В - №28 задание 13 )
Задачи для группы №2.
1. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды. ( В - №8 задание 21 )
2.Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра. ( В - №4 задание 14 )
3. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда. ( В - №15 задание 19 )
4. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см. ( В - №14 задание 8 )
5.Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Найдите боковую поверхность и объём цилиндра. ( В - №14 задание 12 )
6. Объём шара 13 EMBED Equation.3 1415 см3. Вычислите площадь поверхности шара.
( В - №20 задание 11 )
Тест по теме: «Объёмы геометрических тел»
Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса,13 EMBED Equation.3 1415 на плоскость основания называется:
А) образующей Б) высотой В) диагональю Г) диаметром
2. Гранью куба является: А) ромб Б) прямоугольник В) квадрат Г) параллелограмм
3.Сечение конуса, параллельной плоскости основания будет
А) круг Б) прямоугольный треугольник В) равнобедренный треугольник
Прямая призма, в основании которой лежит параллелограмм называется:
А) куб Б) квадрат В) параллелепипедом Г) ромбом
Тело, состоящее из двух кругов, совмещенных параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов называется
А)цилиндром Б) конусом В) шаром Г) сферой
Объём усеченной призмы равен :
А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) V=abc Г) 13 EMBED Equation.3 1415
Объём наклонной призмы равен:
А) V=abc Б) нет верного ответа В)V=SH Г) V=a3
Объём шара выражается формулой:
А) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) 13 EMBED Equation.3 1415
Объём конуса можно вычислить по формуле:
А)13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) 13 EMBED Equation.3 1415
Объём цилиндра вычисляется с помощью формулы:
А) V=abc Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) 13 EMBED Equation.3 1415
Прямая призма, в основании которой правильный многоугольник называется :
А) многогранником Б) параллелепипедом В) правильной Г) додекаэдром
Тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного от данной точки, называется:
А) сфера Б) шар В) окружность Г) эллипс
Отрезок, соединяющий вершину конуса с точками окружности основания, называется:
А) касательной Б) диаметром В) высотой Г) образующей
Границей шара является : А) сфера Б) круг В) радиус Г) овал
Тело, состоящее из круга и точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками круга, называется:
А) цилиндром Б) усечённым конусом В) конусом Г) шаром
Объём усечённого конуса выражается формулой:
А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) V=abc
Объём параллелепипеда можно найти по формуле:
А) V=ab Б) V=ac В) V=bc Г) V=abc
Объём прямой призмы равен:
А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) 13 EMBED Equation.3 1415
Объём куба можно вычислить по формуле:
А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) V=a3
Объём пирамиды вычисляется с помощью формулы:
А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) V=abc Г) 13 EMBED Equation.3 1415
Тестирование проходит на компьютерах, поочерёдно по группам.
Учитель вносит первые оценки в протокол урока.
Решение задач.
1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите объём конуса ( В - №11 задание 7 )
Дано:
Прямой конус
l=4 см – образующая
(АВО=300
Найти:Vконуса
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
cos(АВО=13 EMBED Equation.3 1415 ВО=R=АВ*cos300=13 EMBED Equation.3 1415
треугольник АВО –прямоугольный, напротив угла в 300 лежит катет, равный половине гипотенузы, отсюда следует, что Н= 2 см
4. 13 EMBED Equation.3 1415 см3
Ответ: V=8 см3
2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 450 . ( В - №9 задание 16 )
Дано:
АВСДА1В1С1Д1 прямой параллелепипед
АВСД - квадрат
ВВ1 – высота
ВВ1= 4м
(В1ДВ=450
Найти: Vпараллелепипеда
Решение:
V=abc=S*H
рассмотрим треугольник В1ВД;
а) треугольник В1ВД – прямоугольный, так как ВВ1(АВСД,
б) (В1ДВ=450, отсюда следует (ДВ1В=450,( треугольник В1ВД - равнобедренный( ВВ1=ВД=4 см
треугольник АВД – ьпрямоугольный , так как с воновании АВСД – квадрат и АВ=АД
пусть АВ=АД=а, по теореме Пифагора
а2+а2=42
2а2=16
а2=8
а1=13 EMBED Equation.3 1415 и а2= - 13 EMBED Equation.3 1415 ( посторонний корень)
13 EMBED Equation.3 1415 см3
Ответ: объём параллелепипеда равен 32 см3
3. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 EMBED Equation.3 1415 см вокруг своего катета.
( В - №10 задание 27 )
В Дано:
Конус
· АОВ - прямоугольный,
равнобедренный
Найти: Vкон
А С Решение:
1)
2)
· АОВ - прямоугольный , равнобедренный 13 EMBED Equation.3 1415 АО=ВО, по т. Пифагора найдем
R=ОА
Пусть АО = а, тогда
а2 + а2 = 13 EMBED Equation.3 1415
2а2=18
а2 =9
а1=3 - радиус и высота
а2 = - 3 п. к.
3) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
4. Объём шара 13 EMBED Equation.3 1415 см3. Вычислите площадь поверхности шара.
( В - №20 задание 11 )
Дано:
шар
· 13 EMBED Equation.3 1415
Найти: S пов-ти шара
Решение:
1)13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3)
13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
5. Образующая и радиусы большего и меньшего основания усечённого конуса равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см. Вычислите объём этого конуса.
( В - №16 задание 23 )
Дано:
Усечённый конус
R=6 см
R1=11 см
l= 13см
Найти: V
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415, где S- площадь верхнего основания, S1 - площадь нижнего основания, 13 EMBED Equation.3 1415
x=R1 – R=11-6=5 (см)
найдём h по теореме Пифагора 13 EMBED Equation.3 1415 (см)
13 EMBED Equation.3 1415 (см3)
ответ: V= 892 см3
6. Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона основания – 4см. ( В - №28 задание 13 )
Дано:
SABCD- прав. 4х уг. пирамида
ABCD- квадрат
SA=3 см, AB=4 см
SO- высота
Найти: V
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
треугольник АВС – прямоугольный, АС=13 EMBED Equation.3 1415 см(АО=ОС=13 EMBED Equation.3 1415
Н, высоту найдём из прямоугольного треугольника АОS, 13 EMBED Equation.3 1415 см
V=13 EMBED Equation.3 1415 см3
Ответ: объём усечённого конуса равен 13 EMBED Equation.3 1415 см3
1. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды. ( В - №8 задание 21 )
Дано:
SABCD- прав. 4х уг. пирамида,
АВСД – квадрат
SO – высота,
SO = 21дм
АВ= 20 дм
Найти: V
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 дм3
Ответ: V=2800 дм3
2. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра. ( В - №4 задание 14 )
Дано:
Цилиндр
АВСД – осевое сечение
АС= 13 см
Н=СД= 5 см
Найти: V
Решение:
V=Sосн*Н=13 EMBED Equation.3 1415
Треугольник АСД – прямоугольный, по теореме Пифагора(
13 EMBED Equation.3 1415(
АД=2R (R=6 см
13 EMBED Equation.3 1415 смі
Ответ: объём цилиндра равен 13 EMBED Equation.3 1415 см3
3. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда. ( В - №15 задание 19 )
Дано:
Куб куб, параллелепипед,
а=15 м
с=50 м
в=36 м.
Vкуб = Vпар
Найти:
сторону куба
Решение:
Vпар-да=авс
Vкуба=а3 Vпар-да=Vкуб (по условию)
Vпар-да=15*36*50=27000 см3
а=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: а куба= 30 см.
В-16 №23
Дано:
Усеч конус
R =6 см
R1=11 см
l = 13 см
Найти:Vусеч конуса
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
х=R1-R=11-6=5 (см)
Найдем h по т. Пифагора h=
·l2-x2 =
·132-52 = 12 (см)
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: V=892
· см3
Подведение итогов урока
Домашнее задание
Объемы тел вращения
Отрезок CD, концы которого лежат на разных окружностях оснований цилиндра, пересекает ось цилиндра под углом 60°. Найдите объем цилиндра, если CD=8 см
а) 84 см3 б) 72(3 см3 в) 36(3( см3 г) 48( см3
Объем цилиндра равен 60( см3, а площадь осевого сечения 24 см2. Найдите радиус основания цилиндра.
а) 4(2 см б) 6 см3 в) 5 см г) 8 см
Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду CD основания, образует с основанием угол, равный 60°, и удалена от центра основания на 6 см. Найдите объем конуса, если длина хорды CD равна 4 см.
а) 172(3( см3 б) 180(3( см3 в) 208( см3 г) 192( см3
Объем конуса равен 18( дм3. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите высоту конуса.
а) 3 (2 дм б) 2(2 дм в) 2(3 дм г) 3 (3 дм
Шар касается сторон треугольника МКР, причем МК = 4 см, МР = 5 см, КР = 7 см. Центр шара – точка О находится от плоскости треугольника МКР на расстоянии, равном (10/2 см. Найдите объем шара.
а) 15( см3 б) 32/3 ( см3 в) 12( см3 г) 8(2 см3
Равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и углом при вершине 120° вращается вокруг оси, содержащей боковую сторону. Найдите объем фигуры вращения.
а) 140( см3 б) 140(2 ( см3 в) 136(3 ( см3 г) 250( см3
Алюминиевый шар объемом 36( см3 переплавили в равновеликий конус, образующая которого равна 3(5 см. Найдите высоту этого конуса, если она не более 4 см.
а) 2,5 см б) (10 см в) 3 см г) 2(3 см
Внутри прямоугольного параллелепипеда лежит шар таким образом, что он касается трех граней, имеющих общую вершину. Найдите расстояние от центра шара до этой вершины, если объем шара равен 32(/3 см3.
а) 3(3 см б) 2(3 см в) 3(2 см г) 2(2 см
Объёмы многогранников.
1. Диагональ куба равна 15см. Найдите объём куба. А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) 450см3
2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1дм и 13 EMBED Equation.3 1415дм, а угол между ними равен 300. Найдите объём параллелепипед, если площадь большего сечения параллелепипеда равна 13 EMBED Equation.3 1415.
А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Все рёбра наклонного параллелепипеда равны, причём боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 450. Меньшая диагональ основания равна 13 EMBED Equation.3 1415, а один из углов 1200. Найдите объём параллелепипеда, если меньшее диагональное сечение перпендикулярно основанию. А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 84 см3 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол, равный 300. Найдите объём призмы, если площадь боковой поверхности призмы равна 13 EMBED Equation.3 1415.
А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) 13 EMBED Equation.3 1415
5. В основании прямой призмы СДЕКС1Д1Е1К1 лежит равнобедренная трапеция, ДЕ параллельна СК, причём ЕК=6 см, СК=10 СМ. Диагональ призмы СЕ1 образует с основанием угол 450, а плоскости СС1Е1 и КЕЕ1 перпендикулярны. Найдите объём призмы. А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 300 см3 В) 272,8 см3 Г) 245,76 см3.
6. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды является прямоугольным
треугольником. Площадь которого равна 24 см2. Найдите объём пирамиды.
А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 Г) 54 см3
7. В треугольной пирамиде MNKP MN
·MK и MK
·MP, а угол PMN равен 600. Найдите объём пирамиды ,
если MN=13 EMBED Equation.3 1415, MK=12 см, РМ=4 см.
А) 28см3 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 24 см3 Г) 13 EMBED Equation.3 1415
8. Через точку В бокового ребра пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости
основания, причём объём образовавшейся усечённой пирамиды равен 372 см3. Найдите объём
пирамиды, если точка В делит ребро пирамиды в отношении 1:4, считая от вершины.
А) 13 EMBED Equation.3 1415 Б) 13 EMBED Equation.3 1415 В) 375 см3 Г) 420 см3
H
R
d
H
R
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
О R
3
3
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeSEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native