Презентация по математике на тему:Объемы многогранников и тел вращения
@@@@@@Объёмы тел ЗМАЕВА Е.А.Учитель математики МАОУ СОШ№30 Содержание Объём прямоугольного параллелепипеда. Понятие объёма; Объём прямоугольного параллелепипеда; 2. Объём прямой призмы и цилиндра. Объём прямой призмы; задача; Объём цилиндра; 3. Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса. Вычисление объёмов тел с помощью оперативного интеграла; Объём наклонной призмы; Объём пирамиды; задача 4. Объём шара и площадь сферы. Объём шара; Объём шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора; Площадь сферы. Объём конуса; Выход Понятие объёма. 10 Равные тела имеют равные объёмы. 20 Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме этих тел. с a b c b a Объём куба с ребром 1/n равен 1/n3. 1/n 1/n 1/n Меню Объём прямоугольного параллелепипеда Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Дано: Параллелепипед P, измерения a, b, c. V – объём параллелепипеда. Док-ть: V=a*b*c. Док-во: Измерения a,b,c представляют собой десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходят число n (n ≥ 1), тогда a*10n, b*10n, c*10n – целые числа. Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины 1 /10n и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед разобьётся на abc*103.равных кубов с ребром 1/103. Так объём параллелепипеда P равен abc*103*1/103. Итак, V=abc. Следствия Следствие 1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Примем грань с рёбрами a и b за основание. Тогда площадь S основания равна ab, а высота h параллелепипеда c. Следовательно, V=abc=Sh. S h Следствия Следствие 2. Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. Плоскость B1BC разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы, одна из которых данная. (Эти призмы равны, так как основания и равные высоты.) Следовательно, Объём V данной призмы равен половине объёма параллелепипеда, т.е. V=SABC*h, ч. т. д. B A C A1 B1 C1 Дополним прямоугольную призму с основанием ABC ( A прямой) до полного параллелепипеда, как показано на рисунке. В Силу следствия 1 объём этого параллелепипеда равен 2SABC*h, где SABC - площадь треугольника ABC, h – высота призмы. Объём прямой призмы Теорема D C C1 B1 A1 D1 A Объём прямой призмы равен произведению площади на основание. Дано: Прямая призма ABCA1B1C1 B Док-ть: V=SABC*h Док-во: Рассмотрим прямую треугольную призму ABCA1B1C1 с объёмом V и высотой h. Проведём такую высоту треугольника ABC (отрезок BD), которая разделяет этот треугольник на два треугольника (по крайней мере одна высота треугольника этому условию удовлетворяет). Плоскость ВВ1D разделяет данную призму на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC. Поэтому объёмы V1 и V2 этих призм соответственно равны SABD*h и SBDC*h. По свойству 20 объёмов V=V1+V2, т.е V=SABD*h + SBCD*h = (SABD +SBDC)*h. Так V=SABC*h. (1) Задача Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильная призмаCC1=AB=BC=CA=aНайти: VABCA1B1C1 Решение: VABCA1B1C1=SABC*CC1SABC=1/2AB*BC*sin ABCBAC=600(т.к.1800/3) AB=BC=CA правильный прямоугольникSABC=1/2a2 sin600=1/2a2 *√3/2= √3/4*a2=√3*a /4CC1=aVABCA1B1C1=√3a2/4*a=√3a3/4. A1 A B C B1 C1 嶜ĨТ␗уtǯЂ伀ѣ…‡їƁࠀƂƿǀࠀǿȁࠀȿ̿쎀οAutoShape 23 რ Č销NྟྡྪྦрǔːϰԐĚؒ␘уtǯЂ佐ѣ…‡їƁࠀƂ쳌ƿǀࠀǿȁࠀȿ̿쎀οAutoShape 24ྐᒠᗀრ Ď锇NྟྡྪྦрǔːϰԐĮТ␙ăzґǯЂѣ…‡їƁࠀƂƿǀࠀǿȁࠀȿ̿쎀οAutoShape 25开敲獬ⸯ敲獬콬櫁ッ،ﯠ瑠鑟僮裆寓힡㻒놀쒕똬撌柭橺軇䤿괧⍦죑싙僁ᳶ鹢尭윯ྷ娰ᙌꑮᡰ彟㎆꺭邶넮榨噊䬋儓䋽槉藇魲ⱌ헉쩖얌⿹ğ牟汥⽳爮汥偳ŋⴂ᐀ࠀ℀樀ଇ펚ༀ܀搀獲搯睯牮癥砮汭䭐·̇ନწᅰନ,န$܀䀄ᥤ嶜Ҝł␛У^ǯ…‡їſƿǀࠀǿȁࠀȿ̿쎀οLine 27开敲獬ⸯ敲獬콬櫁ッ،ﯠ瑠鑟僮裆寓힡㻒놀쒕똬撌柭橺軇䤿괧⍦죑싙僁ᳶ鹢尭윯ྷ娰ᙌꑮᡰ彟㎆꺭邶넮榨噊䬋儓䋽槉藇魲ⱌ헉쩖얌⿹ğ牟汥⽳爮汥偳ŋⴂ᐀ࠀ℀戀毤펦ༀ܀搀獲搯睯牮癥砮汭䭐·̇ମቸዼମ,န$܀䀄ᥤ嶜Ҝł␜У^ǯ…‡їſƿǀࠀǿȁࠀȿ̿쎀οLine 28开敲獬ⸯ敲獬콬櫁ッ،ﯠ瑠鑟僮裆寓힡㻒놀쒕똬撌柭橺軇䤿괧⍦죑싙僁ᳶ鹢尭윯ྷ娰ᙌꑮᡰ彟㎆꺭邶넮榨噊䬋儓䋽槉藇魲ⱌ헉쩖얌⿹虒덊ァᵲ鰝ᐷ咵캞�犴斒튏捐菓躦㕟읗꿝硁糏띵ﺜ䮌�㟮漑林鄐磻－�숔ⓓ䇏嘜붗呯ⅉ䞲䑈⾉膱ﾜϿ倀ŋⴂ᐀ࠀ℀�蔀ğ牟汥⽳爮汥偳ŋⴂ᐀ࠀ℀娀䥍팓ༀ܀搀獲搯睯牮癥砮汭䭐·̇ଢᒠᔤଢ,န$܀䀄᭘ 嶜Ҝł␝У^ǯ…‡їſƿǀࠀǿȁࠀȿ̿쎀οLine 29开敲獬ⸯ敲獬콬櫁ッ،ﯠ瑠鑟僮裆寓힡㻒놀쒕똬撌柭橺軇䤿괧⍦죑싙僁ᳶ鹢尭윯ྷ娰ᙌꑮᡰ彟㎆꺭邶넮榨噊䬋儓䋽槉藇魲ⱌ헉쩖얌⿹ğ牟汥⽳爮汥偳ŋⴂ᐀ࠀ℀刀⦮팯ༀ܀搀獲搯睯牮癥砮汭䭐·̇൨ඟฅ൨,န$܀䀄ᵌ!嶜Ҝł␞У^ǯ…‡їſƿǀࠀǿȁࠀȿ̿쎀οLine 30开敲獬ⸯ敲獬콬櫁ッ،ﯠ瑠鑟僮裆寓힡㻒놀쒕똬撌柭橺軇䤿괧⍦죑싙僁ᳶ鹢尭윯ྷ娰ᙌꑮᡰ彟㎆꺭邶넮榨噊䬋儓䋽槉藇魲ⱌ헉쩖얌⿹ğ牟汥⽳爮汥偳ŋⴂ᐀ࠀ℀䨀袋퍫ༀ܀搀獲搯睯牮癥砮汭䭐·̇൨ဍၹ൨,န$܀䐄ᵌ"嶜ђ␁ఀЈjƀƁ欕 Теорема Объём прямой призмы Объём прямой призмы равен произведению площади на основание. Дано: Прямая призма ABCDA1B1C1 Док-ть: V=SABC*h Док-во: A1 B1 C1 D1 E1 A B C D E Докажем теорему для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объём каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объёмы. V=S1*h+S2*h+Sn+(S1+S2+S3)*h=S*h Вынося за скобки общий множитель, получим в скобке сумму площадей основания треугольных призм, т.е. S основания исходной призмы. Таким образом объём исходной призмы равен произведению S*h. Теорема доказана. Объём цилиндра Призма вписана в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра r h Призма описана около цилиндра, если её основание описанного основания цилиндра. Ясно, что высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него, равна высоте самого цилиндра. Призма вписана в цилиндр Объём цилиндра Теорема Объём цилиндра равен площади основания на высоту. Дано: Цилиндр P, радиус r. Док-ть: V=S осн*h. Док-во: Впишем в данный цилиндр P радиуса r правильную n-угольную призму Fn а в эту призму впишем цилиндр Pn. Обозначим V и Vn объёмы цилиндров P и Pn через rn, радиус цилиндра Pn. Так как объём призмы Fn равен Sn*h, где Sn – площадь основания призмы, а цилиндр P содержит призму Fn, которая, в свою очередь содержит цилиндр Pn, тоVn < Sn*h < V. (2) Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радикс rn цилиндра Pn стремится к радиусу r цилиндра P (rn=r cos 180n →r при n →∞ ). Поэтому объём цилиндра Pn стремится к объёму цилиндра P: lim Vn =V. Из неравенства (2) следует, что и lim Sn*h=V. Но lim Sn=r2. Таким образом, V= r2*h. (3) Обозначив площадь r2 основание цилиндра буквой S, из формулы (3). Цилиндр P Цилиндр Pn Призма Fn Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса Пусть тело T, объём которого нужно вычислить, заключено между двумя параллельными плоскостями α и β.Введём систему координат так, чтобы ось Ox была перпендикулярна к плоскостям и, обозначена буквами a и b абсциссы точек пересечения оси Ox с этими плоскостями (a b). Будем считать, что тело таково, что его сечение Ф(x) плоскостью, проходящей через точку с абсциссой x и перпендикулярной к оси Ox, является либо кругом, либо многоугольником для любого x [a; b] (при x= a; x=b сечение может вырождаться в точку, как, например, при x=a Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(x) и предположим, что S(x) - непрерывная функция на числовом отрезке a x b α β Ф(x) Вычисление объёмов тел с помощью интеграла x0=a x1 x2 xi-1 xi b=xn x Ф(xn) Ф(xi) Ф(x2) Ф(x1) Объём наклонной призмы Теорема Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту. A2 x A1 A O C C1 C2 B B1 B2 h x0 Дано: ABCA1B1C1, Док-ть: V = Sосн*h. Док-во:Рассмотрим треугольную призму с объёмом V, площадью S и высотой h. Отметим точку O на одном из оснований призмы и направим ось Ox перпендикулярно к основаниям. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярно к оси Ox и , значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой x абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ox, а через S(x) – площадь получившегося сечения. Докажем, что площадь S(x) равна площади S основания призмы. Для этого заметим, что треугольники ABC (основание призмы) и A1B1C1 (сечение призмы рассматриваемой плоскостью) равны. В самом деле, четырёхугольник AA1B1B – параллелограмм (отрезки AA1 и BB1 равны и параллельны), поэтому A1B1=AB. Аналогично доказывается, что B1C1=AC. Итак, треугольники A1B1C1 и ABC равны по трем сторонам. Следовательно, S(x)=S. Применяя теперь основную формулу для вычисления объёмов тел при a=0 и b=h, получаем A V= h 0 Объём наклонной призмы h S1 S2 S3 V=(S1+S2+S3)h=Sh Докажем теорему для произвольной призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h. Выразим объём каждой треугольной призмы по доказанной нами формуле и сложим эти объёмы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадь оснований треугольных призм, т.е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объём исходной призмы равен S*h. Теорема доказана Объём пирамиды Теорема Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. A A1 C C1 B1 B Дано:ABCO - пирамида h Док-ть:V=1/3*Sосн *h Док-во:Рассмотрим треугольную пирамиду OABC с объёмом V , площадью основания S и высотой h. Проведём ось Ox (OM - высота пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через x абсциссу точки M1 пересечения этой плоскости с осью Ox, а через S(x) – площадь сечения. Выразим S(x) через S,h и x.Заметим, что треугольники A1B1C1 и ABC подобны. В самом деле, A1B1║ AB, потому ,OA1B1 ∾ OAB. Следовательно, A1B1/AB=OA1/OA. Прямоугольные треугольники OA1M1 и OAM также подобны (они имеют общий острый угол с вершиной O). Поэтому OA1/OA=OM1/OM=x/h Таким образом, A1B1/AB=x/h. Аналогично доказывается, что B1C1/BC= x/h и C1A1/CA=x/h. Итак, треугольник A1B!C1 b и ABC подобны с коэффициентом подобия x/h.Следовательно, S(x)/S=S(x)=S/h2 x2. О 0 Объём пирамиды V призмыSосн * h V пирамиды=1/3 Sосн *h Если все боковые рёбра пирамиды равны, то вершина проецируется на основании в точку, которая является центром описания окружности около основания пирамиды. Если все апофемы пирамиды равны, то вершина проецируется на основании в точку, которая является центром вписанной окружности, в основании пирамиды. Если все двугранные углы при основании равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности. Если все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания одинаковые углы, то вершина проецируется на основании в точку, которая является центром описанной окружности. Объём усечённой пирамиды Объёмом V усечённой пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S1 и S2, вычисляется по формуле V=1/3h(S1+S2+√S1*S2) α α1 O M M1 Ф Ф1 В ходе доказательства теоремы об объёме пирамиды мы установили, что в сечении треугольной пирамиды, получается треугольник, подобный основанию. Оказывается, имеет место и более общее свойство. Рассмотрим какую-нибудь фигуру Ф, лежащую в плоскости α, и точку O, не лежащую в этой плоскости. Проведём через каждую точку М фигуры Ф прямую ОМ и рассмотрим множество Ф1 точек пересечения этих прямых с плоскостью α1, параллельной плоскости α, как показано на рисунке. Можно доказать, что фигура Ф1 подобна фигуре Ф. Это свойство широко используется на практике. Например, на нём основано устройство оптических приборов. Задача S B1 C1 A1 B C A Дано : пирамида SABC ABC-основание. C =900AC=24; CB=18; SA=SB=SC=25AA1=12,5смНайти:V усеч. пирамиды Решение:!) V =1/3h(S1+S2+√S1S2)2) Sосн=1/2 BC*AC=19*24/2=216(дм2)3) A1C1 – средняя линия ASCA1C1=1/2AC=94/2=124) S2=A1C1*C1B! /2=6*9=54(дм2)5) Из треуг. ASH : =√AS2-HA2= √625-225= √ 400=20дм h=10(дм) BA= √182+242= √576+324= = √900=30(дм)V=10/3(216+54+ √216*54)=10/3*(270+108)=10/3*378=1260(дм) Н Объём конуса Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высотуV=1/3S*h h R Объём усечённого конуса, высота которого равна h, а площади оснований равна S1 и S2, вычисляется по формуле V=1/3h (S1+S2+√S1*S2) Задача A B C O 600 Дано: ABC=600 , BC=2 2 Найти: Vконуса Решение: Vконуса 1/3*Sоснования*h= 1/3r2h. 1) ∆BOC- равнобедренный=> CBO=300 , OCB=600.Значит OC=1/2 BC=1, r=1.По теореме Пифагора h=BO=√BC2-OC2= √3;2) Vконуса=1/3 *12* √3= (√3* )/3= / √3 Объём шара h C x M A О B Дано: шар.Док-ть: V шара радиуса R=4/3R3.Док-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Оx произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку M. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(x), где x – абсцисса точки M. Выразим S(x) через x и R . Из прямоугольного треугольника OMC нахогдим r=√OC2-OM2=√R2-x2 S(x)= π r2,то S(x)= π (R2-x2). Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при a = -R, b=R, получим Vшара= 4/3 πR3. Объём шарового сегмента а) Шаровым сегментом называется часть, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Секущая плоскость α, проходящая через точку B, разделяет шар на два шаровых сегмента.Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины AB и ВС диаметра AC, перпендикулярного к секущей плоскости, называется высотами сегментов. O A AB=h C α Если радиус шара равен R , а высота сегмента равна h , то объём V шарового сегмента вычисляется по формуле V= πh2 (R-1/3h). B Объём шарового сегмента б) Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя. Шаровой слой Шаровой слой Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов двух шаровых сегментов. Объём шарового сегмента в) Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90 0 , вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен R , а высота шарового сегмента равна h , то объём V шарового сектора вычисляется по формуле V=2/3 π R2h. Площадь сферы S=4 π R2. Vn = SiR=1/3R i=RPn Где Pn= I -площадь поверхности многогранника.Отсюда получаем Pn= 3Vn/R. (2) Поэтому 4/3 πR3