Урок геометрии по теме: Тела вращения. Объемы и площади поверхностей. (11 класс)

Урок геометрии в 11 классе
учитель МОУ СШ №6 г. Снежное
Докука Лариса Владимировна
Тема: Тела вращения. Объемы и площади поверхностей.
Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме, показать практическое применение изученных формул, по которым находятся объемы и площади поверхностей тел вращения, обращать внимание учащихся на связь предмета с жизнью; расширять кругозор учащихся и их пространственное воображение; учить ориентироваться в нестандартных ситуациях.
Оборудование: модели тел вращения.
Межпредметные связи: литература, экономика, физика, информатика.
Ход урока
Учитель объявляет тему и цель урока.
Сегодня у нас состоится презентация товаров «Тела вращения». К нам приехали представители различных фирм, акционерных обществ, которые представят нам свою продукцию. Они хотят убедить всех присутствующих, что именно их товар - гарант вашего благополучия. Фирмы, безусловно, конкурируют между собой, а потому подготовка к презентации велась тайно. Итак, во время представления товара, представители других фирм имеют право задавать вопросы конкурентам. Фирмы конкурируют в борьбе за право получения сертификатов качества:
1) лучшее представление товара;
2) лучшая практическая задача;
3) лучший вопрос к объяснению.
Сейчас мы проверим готовность компаний к презентации с помощью упражнения «Ассоциативный куст».
В центре доски учитель пишет слова «Тела вращения» и предлагает ученикам вспомнить слово или словосочетание, которые ассоциируются с этими словами.
На доску проецируются формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей тел вращения. Учитель спрашивает, что можно найти с помощью данных формул (упражнение «Микрофон»).
S=4πR2 V=13πH(R2+Rr+r2) V=13πR2H V=πR2HS=πRl S=π(R1+R2l) S=2πRH V=43πR3Итак, фирмы к презентации подготовились хорошо. А теперь начнем презентацию.
Фирма «Шар»
І. Реклама товара фирмы.
ІІ. Поставщики шаров.
Задача. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найти диаметр шара, если плотность чугуна 7,2 г/см³.
Решение
ρ=7,2гсм3=7,2 ∙10-3 кг/м3.
m=ρV⇒V=mρ;V=43πR3⇒R=33V4π=33m4πρ;
R=33∙104∙3,14∙7,2 ∙10-3=0,07 (м); отже, d=2R=0,14 (м).
Ответ: 14 см.
ІІІ. Поставщики спортинвентаря.
  Задача. Сколько необходимо квадратных сантиметров кожи, чтобы сделать покрышку для футбольного мяча? (На швы и обрезки добавить 5% материала).
Решение
Диаметр футбольного мяча стандартный - он равен 25 см.
d=0,25 м;
S=4πR2;S=4∙3,14∙0,1252≈0,196 (м²).
Вычислим 5% от данной площади S1=0,196∙0,05=0,0098 (м²).
Итак, всего необходимо материала: 0,196+0,0098=0,206 (м²)=2060 (см²).
Ответ: 2060 см².
IV. Промышленные производители.
Задача. Какой должна быть общая масса космического аппарата, который имеет форму шара радиусом 1 м, чтобы он не тонул в воде?
Решение
R=1 м; ρ=1000кгм3.
V=43πR3; m=ρV=43πρR3;
m=43∙3,14∙1000∙1=4186 (кг).
Ответ: 4186 кг.
Фирма «Цилиндр»
І. Реклама товара фирмы.
ІІ. Поставщики труб.
Задача. Цилиндрическая дымовая труба диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести необходимо для ее изготовления, если на соединение идет 10% материала.
Решение
d=65 см=0,65 м; H=18 м.
S=2πRH=πdH;
S=3,14∙0,65∙18≈36,74 (м2);
Вычислим 5% от данной площади S1=36,74∙0,1=3,67 (м²).
Итак, всего необходимо материала 36,74+3,67=40,4 (м²).
Ответ: 40,4 м².
ІІ. Строители.
Задача. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить колонну цилиндрической формы, если диаметр ее основания 63 м, высота - 38 дм. Известно, что на один квадратный метр поверхности колонны расходуется 200 г краски.
Решение
H=38 дм=3,8 м, d=63 м.
S=2πRH=πdH;
S=3,14∙63∙3,8≈751,72 (м²).
Тогда, чтобы покрасить эту колонну, нужно будет 751,72∙0,2=150,3 (кг).
Ответ: 150,3 кг.
IV. Штамповщики.
Задача. Из круглого листа металла отштамповали цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Допустим, что площадь листа при штамповке не изменилась. Найдите диаметр листа.
Решение
d=25 см, то R=12,5 см, H=50 см.
S=2πRH+πR2=πR(2H+R);
S=3,14∙12,5∙100+12,5=4415,625 (см²) – количество металла, необходимое для изготовления цилиндрического стакана.
S=πR2⇒R=Sπ;R=4415,6253,14=1406,25=37,5 (см);
Значит, d=2R=2∙37,5=75 (см).
Ответ: 75 см.
Акционерное общество «Конус»
І. Реклама товара общества.
ІІ. Строители.
Задача. Куча песка имеет форму конуса. Длина окружности основания которого 62,8 дм, а его образующая - 11,2 м. Определите массу песка, если его плотность 1,6·10³ кг/м³.
Решение
ρ=1,6·10³кгм3, С=62, 8 дм=6,28 м, l=11,2 м.
C=2πR⇒R=C2π=6,282∙3,14=1 (м).
m=ρV;V=13πR2H;H=l2-R2;
H=11,22-12=124,44=11,16 (м).
V=13∙3,14∙12∙11,16=11,68 (м³).
Значит, m=1,6∙103∙11,68≈18700 (кг) =18,7 (т).
Ответ: 18,7 т.
ІІІ. Поставщики спортинвентаря.
  Задача. Конусообразный шатер высотой 3,5 м и диаметром основания 4 м покрыт тканью. Сколько ткани пошло на палатку?
Решение
H=3,5 м, d=4 м, значит R=2 м.
S=πRl;l=H2+R2=22+3,52=16,25=4,02 (м).
Тогда, S=3,14∙4,02∙2≈25,3 (м²).
Ответ: 25,3 м².
IV. Поставщики игрушек.
Задача. Игрушечное ведёрко имеет все размеры в 10 раз меньше, чем ведро емкостью 12 л. Поместится ли в это ведёрко стакан воды?
Решение
V=13πhR12+R1R2+R22;V=12 л.
V1=13π∙0,1h0,1R12+0,1R1∙0,1R2+0,1R22=
=13∙0,1∙0,01πhR12+R1R2+R22=0,001V=0,012 (л).
Так как стакан води содержит 0,2 л, то она не поместится в ведерко объемом 0,012 л.
Ответ: не поместится.
Подведение итогов урока
Определение тайным голосованием и присуждение сертификатов качества за лучшую презентацию, лучшую практическую задачу и лучший вопрос к объяснению задачи.
Итак, сегодня на уроке мы увиділи , что применение математики во всех отраслях науки, хозяйства и жизни неограничено. Математика везде, она - на каждом шагу.
Наше общество нуждается как в талантливых исследователях, так и в специалистах, которые хорошо знают математику и способны применить свои знания на практике.
Где же практически используются знания о телах вращения, вычисления их объемов и площадей поверхностей:
архитектура;
строительство;
сельское хозяйство;
промышленность;
наука
космонавтика.
Как результат презентации есть новые адреса, новые предложения, которые получают наши фирмы для расширения сферы своей деятельности. Домашнее задание, которое поступило по факсу, получает каждая группа.
Домашнее задание
Задача 1. Пусть у нас есть две цилиндрические кастрюли: одна узкая и высокая, а вторая вдвое ниже, но вдвое шире. Какая из кастрюль имеет большую емкость?
Решение
Площадь дна широкой кастрюле в 2·2=4 раза больше, чем узкой, а высота - всего в два раза меньше.
Итак, объем широкой кастрюли в 2 раза больше, чем узкой. Это нужно учитывать в своей практике.
Ответ: широкая кастрюля будет иметь большую ёмкость.
Задача 2. Продаются два арбуза шаровидной формы: один - в полтора раза шире, чем второй, и вдвое дороже. Какой арбуз выгоднее купить?
Решение
С увеличением линейных размеров тела в 1,5 раза, его объем увеличивается в 1,5³≈3,4 раза. Итак, объем большего арбуза почти в 3,4 раза больше, чем объем малого. Отсюда понятно, что выгоднее купить больший арбуз.
Ответ: выгоднее купить больший арбуз.
Задача-шутка.  Почему колбасу нарезают косо, а не прямо?
Ответ: помимо эстетических соображений, в основном потому, что так колбасу можно нарезать быстрее.