Методическое пособие Моделирование на уроках математики при решении текстовых задач
Челябинский педагогический колледж № 2
Моделирование на уроках математики при решении текстовых задач
Методическое пособие по междисциплинарному курсу «Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания»
Мальцева Галина Геннадьевна
2012
ЧЕЛЯБИНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ №2
МОДЕЛИРОВАНИЕ
НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Методическое пособие
по междисциплинарному курсу
«Теоретические основы начального курса математики
с методикой преподавания»
Для специальности 050146 «Преподавание в начальных классах»
Челябинск
2012
Моделирование на уроках математики при решении текстовых задач: методическое пособие по междисциплинарному курсу «Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания» (Для специальности 050146 «Преподавание в начальных классах») [Текст] / Сост. Г.Г. Мальцева. – Челябинск: ЧПК № 2, 2012. – 36 с.
В пособии рассматриваются теоретические и методические аспекты использования метода моделирования при формировании у младших школьников умения решать текстовые задачи в процессе обучения математики.
Методическое пособие предназначено для студентов педагогических колледжей, обучающих по специальности 050146 «Преподавание в начальных классах»
Мальцева Галина Геннадьевна
Моделирование на уроках математики при решении текстовых задач
Методическое пособие
Г.Г. Мальцева, 2012
ГБОУ СПО (ССУЗ) ЧПК № 2, 2012
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современный курс математики немыслим без такого фундамен-тального понятия, как модель. Общая тенденция гуманитаризации мате-матики ставит понятие модели в один ряд с такими понятиями, как множество, отображение, число, структура и т.д.
Призванные поддержать и показать целостность научного знания, математические модели становятся общим языком науки, который позволяет глубже понять суть происходящих явлений в природе, обществе и сознании. Процесс математизации знаний, начавшийся с механики и физики, охватывает теперь не только все естественные науки, но и большинство гуманитарных наук. Стало привычным строить и исследовать модели биологических объектов, исторических процессов, мыслительной деятельности и т.п.
Однако в настоящее время в школьных программах и учебниках понятия модели и моделирования практически отсутствуют. Несмотря на это учитель начальных классов XXI века призван первым:
- сформировать у школьников элементарные представления о моделях и моделировании;
- показать учащимся роль моделей в познании окружающей действительности;
- познакомить с соотношениями между явлениями реального (и абстрактного) мира и его математическими моделями;
- научить детей строить простейшие модели некоторых объектов и процессов, используя математическую символику;
- привить исследовательские навыки при работе с моделями и научить интерпретировать получаемые результаты.
Моделирование математических объектов и понимание математики младшими школьниками
Согласно И. Канту, познание осуществляется не столько посредством понятий, сколько посредством их конструирования как формы мысли.
Собственно обучение, направленное на понимание, должно обеспечить такую организацию познавательной деятельности, в процессе которой в сознании ребёнка формируется образ объекта познания, позволяющий его «опредметить», мысленно видеть его семантические признаки. Такой мысленный образ, адекватно отражающий соответствующую понятийную структуру, является интегральным когнитивным образованием, в составе которого выделяются чувственно-сенсорный, визуально-пространственный, словесно-речевой и операционально-логический компоненты (М.А. Холодная). С этих позиций ключ к пониманию – конструирование мысленного образа математического объекта.
С методологических позиций представление информации символическими средствами есть моделирование изучаемого явления или процесса, который включает в мыслительную деятельность интеллектуальные операции: абстрагирование, идеализацию, обобщение, конкретизацию. Модель эффективна, если она
- адекватна объективному содержанию изучаемого объекта;
- воспроизводит преимущественно функциональные свойства ориги-нала;
- является достаточно простой.
В условиях обучения математике в начальной школе новое знание предъявляется, как правило, в форме сообщения на естественном языке, являющегося вербальной моделью конкретного фрагмента реальности, абстрагирование, идеализация и обобщение свойств которого ведут к конструированию соответствующего математического объекта. Сообщение понято, если ученик может построить его предметную модель, что требует привлечения житейских и лингвистических знаний.
Например, предметная модель ситуации, с помощью которой выявляется смысл отношения «больше в несколько раз», задаваемого вербальной моделью «Имеются 3 тетради в линейку, а тетрадей в клетку в 4 раза больше», может быть как изображением соответствующих предметов, так и моделированием реальными предметами.
Понимание смысла этого отношения на предметном (минимально обобщённом) уровне достигается только тогда, когда ученик может осуществить обратный переход от предметной модели к вербальной.
Предметный уровень понимания достигнут, если ученик может вербализовать изучаемое отношение между совокупностями предметов в такой, например, форме: одних предметов в 4 раза больше, чем других, значит, их столько же, сколько других 4 раза. Вместе с тем это первый шаг создания мысленного образа понятия «больше в несколько раз», на котором выявляются преимущественно чувственно-сенсорные когнитивные компоненты понятийной структуры.
Поскольку такие характеристики в начальном обучении являются чаще всего числами, которые не могут быть представлены предметно, необходимо их символическое наглядное изображение.
В процессе обучения символическое представление математического объекта выполняет функцию модели, если оно адекватно отражает не только содержание изучаемого объекта, но и его связи с той реальностью, абстракцией которой этот объект является.
Самостоятельное построение ребёнком такой модели означает его переход на новый уровень понимания – наглядно-графический. Он реализуется в полной мере, если ученик овладевает умением интерпретировать графическую модель вербально, т.е. может осуществить обратный переход. В силу более высокого, в сравнении с предметной моделью, уровня обобщённости, данный переход неоднозначен. Такая модель может быть наглядным представлением различных ситуаций, имеющих ту же математическую структуру.
Наглядно-графическую модель ситуации «На приготовление блинов израсходовано 2 кг муки, а на приготовление пирожков в 3 раза больше», где объектом моделирования является отношение между непрерывными величинами, можно представить следующим образом:
0 1 2
0 1 2 3
Новый уровень понимания реализуется при построении графической модели, в которой предметом наглядного моделирования являются только математические объекты, в данном случае – числа, между которыми устанавливается изучаемое отношение. Построение подобной модели опирается на усвоенные на предшествующих уровнях понимания способы действий и привлечение имеющегося в когнитивном опыте детей знаний об умножении. Для непрерывных величин аналогичная модель задаётся следующим образом:
0 1 2
0 1 2 3
0 1 2 3 4 5 6 = 2 ∙ 3
Этот уровень можно назвать когнитивно-графическим. Он позволяет осуществить овладение соответствующими способами действий и перейти к построению математической модели изучаемого объекта путём обобщения усвоенных знаний.
Математическая модель отношения «больше в несколько раз» строится средствами естественного языка, а используемые вербальные символы приобретают новый смысл: число, в несколько раз большее данного, есть произведение данного числа на то число, во сколько раз оно больше данного.
На предметном уровне понимания выявляется значение слов и предложений естественного языка, житейский смысл сообщения. Наглядно-графический уровень реализуется путём построения наглядно-графической модели, представляющей математические характеристики конкретного фрагмента реальности.
Когнитивно-графический уровень достигается при построении соответствующей модели, которой наглядно отражены собственно математические объекты, функциональные и содержательные связи между ними. Операционально-логический уровень позволяет оперировать реальными явлениями объектной области путём оперирования их мысленными моделями. Результатом понимания выступает целостное знание об изучаемом объекте, его содержательных связях и способах функционирования.
Таким образом, понимание математики младшими школьниками можно рассматривать как углубляющий процесс постепенного приближения к полному пониманию нового знания путём овладения операциями способами их выполнения, направленными на конструирование объекта познания. Этот процесс может быть положен в основу организации познавательной деятельности младших школьников.
Моделирование: сущность, виды и обоснованность использования
в начальном математическом образовании младших школьников
Первоначальное знакомство с моделями и моделированием начнём с определения этих понятий, не вдаваясь в философские аспекты моделирования как метода познания окружающего мира.
Слово «модель» произошло от латинских слов modus, modulus, означающих «мера», «образ», «способ».
Под моделью понимают мысленно представимую или материально реализованную систему, которая, отражая и воспроизводя объект исследования, способна замещать его при определённых условиях так, что изучение её даёт новую информацию об этом объекте.
В качестве модели могут выступать изображения, описания, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, копии оригинала (уменьшенные или увеличенные), компьютерные программы и т.п. При этом следует помнить, что модель всегда является лишь отображением оригинала, и этот представитель в каком-либо отношении должен быть не только удобен для изучения свойств исследуемого объекта, но и позволяет перенести полученные при этом знания на исходный объект.
Обычно модель строится с тем расчётом, чтобы охватить только такие свойства оригинала, которые существенны в данной ситуации и являются объектом изучения. Модель, полностью воспроизводящая оригинал, перестаёт быть моделью.
Моделирование – это процесс построения моделей, а также изучения на них соответствующих явлений, процессов, систем объектов (оригиналов). Он заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирается или строится другой объект (модель), в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.
Пример. Метод моделирования во многих науках является средством, позволяющим устанавливать более глубокие и сложные взаимосвязи между теорией и опытом и способным заменить эксперимент. Целый ряд исследований вообще невозможен без моделирования потому, что:
а) эксперименты могут проводиться лишь на ныне существующих объектах, так как невозможно распространить эксперимент в область прошлого;
б) вмешательство в некоторые системы иногда имеет такой характер, что невозможно установить причины появившихся изменений (вследствие вмешательства или по другим причинам);
в) некоторые теоретически возможные эксперименты неосуществимы вследствие низкого уровня развития экспериментальной техники или её высокой стоимости;
г) большую группу экспериментов, связанных с человеком, следует отклонить по морально-этическим соображениям.
Однако моделирование находит широкое применение не только из-за того, что может заменить эксперимент. Оно имеет большое самостоятельное значение и свои преимущества:
1. С помощью метода моделирования на одном комплексе данных можно разработать целый ряд различных моделей, по-разному интерпретировать исследуемое явление и выбрать наиболее плодотворную из них для теоретического истолкования.
2. В процессе построения модели можно сделать различные дополнения к исследуемой гипотезе и получить её упрощение.
3. В случае сложных моделей можно применять компьютерную технику.
4. Существует возможность проведения модельных экспериментов и т.д.
Следует отметить, что среди большого многообразия моделей выделяется особый класс математических моделей. Математической моделью называют приближённое описание какого-либо явления внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Математические модели описываются с помощью средств самой математики: языка, понятий, отношений, теорий. В отличие от естественнонаучных и гуманитарных дисциплин математическая модель не требует создания материализованных объектов. Кроме того, если все другие науки изучают модели, то математика изучает «модели моделей». Потому её материал в наилучшей степени соответствует задаче овладения методом моделирования.
Математической моделью достаточно сложного оригинала служит система уравнений (и неравенств) в самом широком понимании. Они могут содержать обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, интегральные уравнения, алгебраические и трансцендентные уравнения (и неравенства), набор вероятностно-статистических данных и т.д. К математическим моделям можно отнести и программы, составленные для компьютеров, которые отражают (моделируют) определённые процессы, описанные средствами математики, положенными в основу алгоритмов.
Построение модели, адекватно отражающей объект, – дело непростое, требующее специальных знаний и хорошей математической подготовки.
Метод математического моделирования сводит исследование внешнего мира к математическим задачам. Процесс математического моделиро-вания состоит из четырёх этапов:
1) формализации, т.е. перехода от реальной практической задачи (исследуемой ситуации) к построению адекватной математической модели и формулировке на её основе абстрактной математической задачи;
2) решения задачи путем преобразования модели (проведение матема-тического исследования), т.е. получение в результате анализа в исследования модели выходных данных (теоретических сведений);
3) интерпретации полученного результата, когда решение формаль-ной математической задачи исследуется на предмет его соответствия с исходной ситуацией, истолковывается в терминах исходной ситуации и применяется к ней;
4) модернизации модели, т.е. построение новой, более совершенной модели в связи с накоплением данных об изучаемом объекте или процессе.
Велика роль моделирования в установлении истинности той или иной формы теоретического знания (аксиоматической теории, гипотезы и т.д.). В ходе многовекового исторического развития математики сконструированы особые модели количественных отношений и пространственных форм окружающего мира. Это такие математические понятия, как число, функция, уравнение, геометрическая фигура и др. Хотя математическая модель и создается человеческим разумом, в дальнейшем она во многих случаях становится предметом объективного изучения.
Познавая её свойства, мы тем самым познаём и свойства отраженной моделью реальности, т.е. абстрактные математические открытия обнару-живают ранее неизвестные свойства окружающего мира. Например, представление, что числа бывают только, скажем, до миллиарда (а дальше чисел нет!), прямым наблюдением вряд ли может быть опровергнуто. Только создание математиками древности такого понятия натурального числа (такой модели), при котором натуральных чисел оказывалось бесконечно много, позволяет это сделать. С помощью модели геометрии Лобачевского челове-чество пришло к пониманию искривлённости пространства.
Абстрактные функциональные зависимости дают возможность предсказывать развитие тех или иных процессов, модели геометрических тел позволяют на практике определять количественные характеристики окружающих нас предметов и т.д.
Для исследования существующих моделей и построения новых в математике разработаны специальные методы. Среди них известные методы теории графов, теории вероятностей и математической статистики, математической логики и комбинаторики, аксиоматический метод, методы исследования элементарных функций, решения уравнений, доказательства утверждений, построения геометрических фигур, измерения величин и т.д.
Разработаны и особые методики использования на практике математических моделей, например приёмы решения задач с помощью уравнений и систем уравнений, изучение различных явлений и процессов с помощью исследования соответствующих функций, графов, геометрических фигур и т.д.
Несколько подробнее остановимся на том, как идеи метода моделиро-вания находят своё применение при решении текстовой задачи.
Во-первых, само понятие текстовой задачи можно ввести, пользуясь понятием «модель». Текстовая задача – это словесная модель ситуации, явления, события, процесса и т.д.; и, как в любой модели, в ней описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики.
Во-вторых, понятие модели позволяет строго определить понятия «метод решения» и «способ решения» текстовой задачи. В ходе решения задачи выбранным методом строится «своя» математическая модель: запись решения по действиям (с объяснением) или выражение (если задача решается арифметическим методом); уравнение или система уравнений и неравенств (если задача решается алгебраическим методом) диаграмма или график (если она решается геометрическим методом) и т.д.
Пример. Даны три числа, сумма которых равна 100. Сумма двух из них равна 80, а первое число на 20 больше второго. Найти эти числа.
Решение задачи алгебраическим методом приводит к математической модели, которая представляет собой совокупность систем линейных уравнений. В самом деле, пусть х, у, z – данные числа. Без ограничения общности будем считать, что х – первое число, у – второе, z – третье. Тогда по условию имеем первые два уравнения:
х + у + z =100
x = y + 20
В условии задачи не сказано, сумма каких именно двух чисел равна 80. Поэтому третье уравнение может иметь вид: либо х + у = 80, либо x + z = 80, либо y + z = 80. Следовательно, математическую модель задачи можно записать так:
x + y + z =100
х = у + 20
x + y = 80
или
x + у + z =100
х = у + 20
x + z = 80
или
х + у + z = 100
х = у + 20
y + z = 80
Решив первую систему, найдем x1 = 50, y1 = 30, z1 = 20; решив вторую систему, найдем x2 = 40, y2 = 20, z2 = 40; решив третью систему, найдем х3 = 20, у3 = 0, z3 = 80. Ответ: 50, 30, 20; 40, 20, 40; 20, 0, 80.
В процессе решения текстовой задачи обычно выделяют три этапа математического моделирования.
I. Построение математической модели: анализ задачи и перевод условия задачи на математический язык, т.е. выделение исходных данных и искомых величин, описание связей между ними.
II. Решение задачи в рамках выбранной математической модели: нахождение значения выражения, выполнение арифметических действий, решение уравнений и неравенств.
III. Интерпретация результатов: перевод полученных решений на естественный язык, получение значений искомых величин.
IV. Модернизация модели – этот этап, как правило, является необязательным. Однако в некоторых случаях полезно в учебных и познавательных целях произвести анализ выполненного решения, в результате которого можно установить, нет ли другого, более рационального решения, какие выводы можно сделать из полученного решения, можно ли задачу обобщить и т.д.
Первый этап, связанный с выявлением зависимостей между искомыми и данными, а также данных между собой, является наиболее сложным и часто вызывает затруднения. Для облегчения процесса решения задачи и скорейшего нахождения пути решения от словесной модели ситуации, описанной в задаче, сначала переходят к вспомогательной (делают рисунки, строят схемы, составляют таблицы, краткую запись условия и т.п.), а уж затем – к математической модели.
При построении вспомогательных моделей задач происходит углубленный анализ задачи, и само построение вспомогательных моделей выступает в качестве эффективного средства такого анализа. Любая вспомогательная модель задачи должна:
1) строиться на основе анализа текста задачи и «опредмечивать» абстрактные понятия;
2) нести информацию лишь о существенных признаках объектов задачи;
3) давать возможность непосредственно усматривать зависимости между величинами, о которых идёт речь в задаче, и допускать практические преобразования. В качестве вспомогательных моделей могут выступать схематизированные и знаковые модели.
Схематизированные модели подразделяются на вещественные (предметные) и графические.
Вещественные модели обеспечивают физическое действие с предметами: палочками, пуговицами, полосками бумаги и т.п. К этому виду моделей относят и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче.
Графическими моделями являются: рисунок, условный рисунок, чертёж, схематичный чертёж (схема).
К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, относят краткую запись задачи, таблицы. К знаковым моделям, выполненным на математическом языке (они же являются математической моделью задачи), относят запись решения задачи по действиям, запись выражения, составление уравнений или систем уравнений и неравенств.
Однако, не любая краткая запись, рисунок или чертёж, выполненные для данной задачи, являются её моделями. Вспомогательные модели текстовых задач должны отражать все её объекты и все отношения между ними, указывать требования. Эти модели строятся в ходе разбора содержания и анализа задачи, вместе с тем построение таких моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.
Обязательным элементом при работе с моделью на третьем этапе является проверка решения. Назначения проверки – установление адекват-ности построенной модели задачи всем её условиям, так как логичные рассуждения на других этапах решения задачи не гарантируют правильность её решения.
В заключение отметим, что по условию одной и той же задачи можно составить несколько вспомогательных моделей, каждая из которых позволяет найти свой способ решения.
Следующий пример поясняет не только последнюю мысль, но и некоторые предыдущие рассуждения об использовании метода моделиро-вания при решении текстовых задач.
Говоря о моделировании, не следует забывать, что помимо всего прочего оно ещё является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. Как учебное средство оно может исполь-зоваться для построения:
1) модели формирования умственных действий, которая может быть представлена в виде учебной карты, где схематически перечислены все операции, которые надо выполнить для осуществления изучаемого умственного действия;
2) модели изучаемого раздела (темы) конкретной учебной дисциплины, которую в виде некоторого графа можно использовать студентам для планирования учебной работы, для самоконтроля и самооценки изученного материала;
3) модели изученного материала, которую в виде таблицы или схемы можно использовать для лучшего его запоминания, для обобщения;
4) модели урока или какого-либо другого занятия, которая представ-ляет собой его план-конспект, и т.п.
Для того чтобы учащиеся овладели моделированием как методом научного познания, недостаточно познакомить их только с трактовкой понятий модели и моделирования, демонстрируя разные математические модели и показывая процесс моделирования при решении задач. Необходимо научить их самостоятельно строить и исследовать модели, изучать какие-либо явления с помощью моделирования, использовать идеи этого метода в повседневной жизни и работе. Решая математические задачи и понимая, что они представляют собой модели некоторых реальных объектов и процессов, учащиеся приобретут необходимые знания, навыки и умения, овладеют методом математического моделирования.
Использование метода моделирования на уроках математики
в начальной школе
Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет несколько смысловых значений. Наиболее унифицированным является определение, предложенное В.А. Штофом. Под моделью он понимает мысленно представляемую или материально реализованную систему, которая отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что её изучение даёт нам новую информацию об этом объекте.
Моделирование – это метод опосредованного познания, при котором изучается не интересующий нас объект, а его заместитель (модель), находящийся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом, способный замещать его в определённых отношениях и дающий при его исследовании новую информацию о моделирующем объекте. Процесс моделирования включает три элемента:
- субъект (исследователь);
- объект исследования;
- модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.
Существуют различные виды моделей.
Словесная модель – описание количественной стороны каких-либо явлений, событий на естественном языке с требованием нахождения неизвестного значения некоторой величины (система взаимосвязанных утверждений и требований в утвердительной либо вопросительной форме).
Вспомогательная модель – форма фиксации анализа текстовой задачи; средство поиска плана решений задачи. Это могут быть схематизированные и знаковые модели.
К схематизированным относятся: вещественные (действия с предме-тами, инсценирование, представление) и графические модели (рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж, схема).Знаковые модели могут быть в виде краткой записи либо таблицы.
Математическая модель – описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и соотношений. Основными методами математической модели являются: арифметический (выражения, записи по действиям с пояснениями и без пояснений, с записью вопросов); алгебраический (уравнения, системы уравнений).
В своей научной работе А.В. Карпенко обосновал необходимость овладения младшими школьниками методом моделирования с разных позиций.
Во-первых, это способствует формированию диалектико-материа-листического мировоззрения.
Во-вторых, введение в содержание обучения понятий модель и моделирования существенно меняет отношение учащихся к учебному предмету, делает их учебную деятельность более осмысленной и более продуктивной.
В-третьих, целенаправленное и систематическое обучение методу моделирования приближает младших школьников к методам научного познания, обеспечивает их интеллектуальное развитие.
В процессе обучения недостаточно учителю демонстрировать разные научные модели и показывать процесс моделирования отдельных явлений, нужно, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования.
Согласно классификации дидактических методов Н.Г. Казанского и Т.С. Назаровой, метод моделирования имеет трёхкомпонентную структуру (рис.1).
Метод
моделирования
Внешняя сто-рона формы:
- изложение;
- беседа;
- самостоятель-ная работа
Внутренняя сторона
- психологическая сущность (догматичес-кий способ, эвристичес-кий способ, исследова-тельский способ учеб-ной работы);
- логическая сущность (аналитический, синте-тический, индуктивный, дедуктивный, аналити-ко-синтетический)
Технологичес-кая сторона
- приёмы по-строения моде-ли;
- приёмы пре-образования модели;
- приёмы кон-кретизации мо-дели
Рис. 1. Схематическая модель метода моделирования
В структуре метода моделирования внешняя сторона – это конкретная форма взаимодействия учителя и учащихся; внутренняя сторона – это совокупность общеучебных приемов (анализа, синтеза, обобщения и т.д.); технологическая – это совокупность специфических приёмов данного метода (предварительный анализ, построение модели, работа с ней, перенос информации с модели на искомый объект оригинал).
Этапы обучения младших школьников методу моделирования:
- подготовительный этап – формирование приёмов внутренней стороны в единстве с внешней стороной;
- основной этап – формирование приёмов технологической стороны метода моделирования в единстве с внутренней и внешней сторонами.Подготовительный этап включает несколько ступеней.
Первая ступень – формирование операции сопоставления объектов.
1. Упражнения на выделение сходных признаков объектов.
1.1. В чём сходство чисел 15 и 11?
1.2. В чём сходство значков ▲+ ●?
1.3. Выбери несколько чисел, имеющих сходные черты: 10,18,5,60,9.
2.Упражнения на выделение сходных, существенных признаков объектов.
Существенный признак – это признак, который принадлежит предме-ту при всех условиях, выражает его коренную природу и тем самым отличает его от предметов других видов и родов. Если исключить признак, то данный предмет распадётся, перестанет существовать.
2.1. В чём сходство уравнений:
а) 14 : х = 2;б) х ∙ 7 = 49;в) 10 + х = 17
2.2. Определи существенные и несущественные признаки сходства для чисел, заданных знаковыми моделями (если каждый знак в записи чисел обозначает одну цифру): ■□, □, ■
Какие сходные признаки здесь являются существенными? Какие из них являются несущественными?
Вторая ступень – формирование операции противопоставления объек-тов.
1. Упражнения на установление различий между объектами.
1.1. Установи, чем отличаются данные выражения:
а) 40 – 20 : 5 б) (40 – 20) : 5
1.2. Даны выражения: а) 6 + 1 и б) ■ + 1
Установи, что в них общего, в чём их различие?
1.3. Установи признаки различия:
а) ▲ ∙ 7 = ▲∙ 5 +▲+▲;
б) ▲ ∙ 7 = ▲∙ 6 +▲
2. Упражнения на установление существенного различия между объектами
2.1. В чём различие выражений? Какое различие существенное?
а) ■■ – ▲◊ – ♥;б) ■■ – (▲◊ – ♥)Третья ступень – формирование операции обобщения.
1. Упражнения на эмпирическое обобщение.
1.1. Сравни равенства. Объясни, почему верны эти записи:
а) 2 ∙ 4 = 4 ∙ 2; б) 3 ∙ 6 = 6 ∙ 3; в) 2 ∙ 7 = 7 ∙ 2
Сделай вывод, запиши его для произведения ▲∙ ■
Упражнения на теоретическое обобщение.
2.1. Буратино в письме зашифровал правило, сформулируйте его:
(▲ + ■) : ♫ = ▲ : ♫ + ■ : ♫
Исследуя эту модель, учащиеся открывают способ деления суммы двух чисел на одно и то же число.
Подготовительный этап плавно переходит в основной.
Первая ступень – формирование операции построения модели.
1. Упражнения на анализ и выбор модели.
1.1. Выбери из предложенных моделей верную модель для выражения 7 ∙ 3.
а) ■ +▲; б) ■ + ■ + ■; в) ■ ∙▲
2. Упражнения на перекодирование информации.
2.1. Запиши выражение 8 : 2 + 6 : 2 в виде знаковой модели, буквенной модели.
Вторая ступень – формирование построения модели.
1.Упражнения на выбор верно преобразованной модели.
1.1. Укажи верно преобразованную исходную модель (● – ▲) ∙ ♫
а) (●–▲) ∙ ♫ = ● ∙▲–● ∙ ♫;б) (●–▲) ∙ ♫ = ♫ ∙ ● – ♫ ∙▲2. Упражнения на достраивание модели.
2.1.Заполни таблицу
Множитель ■ ? 1 2 ∙ ■
Множитель ? ♫ ? 0
Произведение ▲ 2 ∙ ♫ ▲ ?
3. Упражнения на устранение лишних элементов модели.
3.1. Проверь, правильно ли Незнайка составил модель к выражению (8 – 6) : 2
(▲ – ♫) : ■ = (▲ : ■ – ♫ : ■) : ■
Третья ступень – формирование операций по интерпретации данных, полученных из модели.
1. Упражнения на конкретизацию модели.
1.1.Ученик второго класса решил задачу, построив следующую модель решения:
а) 86 – 22 = 64(руб.) – стоит кукла;
б) 64 : 2 = 32 (руб.) – стоит мишка.
Ответ: 32 рубля стоит плюшевый мишка.
- Как ты думаешь, какую задачу решил ученик?
Таким образом, метод моделирования – это один из основных методов научного исследования, используется в педагогической науке и практике и играет большую роль в развитии логического мышления младших школьников.
Умение решать логические задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения младшим школьником учебного материала.
Одним из основных приёмов, которое помогает ученику не только понять задачу, но и самому найти рациональный способ её решения, является моделирование. Учебная деятельность при решении текстовых задач складывается из умственных действий. Их формирование осуществляется эффективно, если первоначально оно происходит на основе внешних материальных действий с предметами, а затем превращается во внутренние умственные процессы.
Чтобы обеспечить ученику осознанный доказательный выбор арифметического действия, необходимо, прежде всего, улучшить методику организации первичного восприятия и анализа задачи. На первоначальном этапе главное – понять задачу, уяснить, о чём она, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомым.
Что такое моделирование? В широком смысле этого слова – это замена действий с реальными предметами действиями с их уменьшенными образцами, моделями, муляжами, макетами, а также с их графическими заменителями: рисунками, чертежами, схемами. В роли моделей выступают не конкретные предметы, о которых идёт речь в задаче, а их обобщённые заменители – круги, квадраты, отрезки, точки.
Предметное и графическое моделирование математической ситуации широко применяется в школьной практике.
Рассмотрим конкретный пример.
Задача 1. Группа экскурсантов разместилась в двух катерах, по 16 человек в каждом, и в двух лодках, по 4 человека в каждой. Сколько всего человек было в группе?
Ученикам предлагается решить эту задачу разными способами, используя схематические модели.
- Как мы обозначим на рисунке катер? (Прямоугольником.)
- Сколько мы изобразим прямоугольников? (Два.)
- Какие это прямоугольники? (Одинаковые, так как в задаче говорится о двух одинаковых катерах.)
- Как мы обозначим лодку? (Квадратом.)
Получается такая схема:
16 ч.4 ч.
16 ч.4 ч.
- Что нужно узнать? (сколько вместе людей в катерах и лодках.)
Окончательно схема приобрела следующий вид:
16 ч.4 ч.
16 ч.4 ч.
Данная схема помогает детям самостоятельно увидеть и записать два способа решения:
1) 16 ∙ 2 + 4 ∙ 2 = 40 (чел.);
2) (16 + 4) ∙ 2 = 40 (чел.).
Модель помогает не только выяснить заданные отношения, но и увидеть новые, не отраженные в тексте задачи.
Задача 2. В школьном математическом кружке 18 человек. В танцевальном кружке на 12 учеников больше, чем в математическом, а в спортивном на 5 учеников меньше, чем в танцевальном. Сколько учеников в спортивном кружке?
Дети предложили следующую модель:
Математический кружок: 18 чел.
на 12 чел. больше
Танцевальный кружок:
на 5 чел. меньше
Спортивный кружок:
Анализируя модель, можно увидеть новые отношения между количеством учащихся в математическом и спортивном кружках, а именно, что в спортивном детей больше, чем в математическом, и определить на сколько больше. В результате был найден новый способ решения:
18 + (12 – 5) = 25(чел.)
Для развития творческого мышления младших школьников необходимо предлагать задания по составлению задач на основе заданной модели.
На основе одной и той же модели можно рассматривать одновременно прямые и обратные задачи, что позволяет, более глубоко и осознанно выявить связи между данным и искомым.
Следует включать и предлагать учащимся задачи с излишними и недостающими данными, нестандартные задачи, например:
Задача 3. На двух полках одинаковое количество книг. С первой полки переложили во вторую 4 книги. На сколько книг стало больше на второй полке, чем на первой?
При решении этой задачи можно использовать такую модель:
4кн. 4кн.
По данной модели было найдено верное решение: 4 + 4 = 8 (кн.)
Таким образом, графическое моделирование делает текстовую задачу более понятной, обеспечивает качественный её анализ, обоснованный выбор необходимого арифметического действия, повышает активность и гибкость мыслительной деятельности учащихся.
Знаковая модель задачи может выполняться как на естественном языке (т.е. имеет словесную форму) так и на математическом (использование символов).
Задача 4. Лена нарисовала 5 домиков, а Вова – на 4 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?
Знаковая модель этой задачи – это краткая запись:
Л. – 5д.
В. – ?, на 4 д. б., чем
Знаковая модель данной задачи, выполненной на математическом языке, имеет вид выражения 5 + 4.
Табличные модели удобны для быстрого решения примеров, информационно связанных друг с другом.
Таким образом, метод математического моделирования предоставляет младшим школьникам возможность оперировать имеющимися у них знаниями, способствуя их уточнению, закреплению и обобщению.
Рассматривая процесс решения текстовой задачи, мы неоднократно использовали термин «модель», «моделирование».
Выше мы установили, что текстовая задача – это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса).
Чтобы решить такую задачу, надо перевести её на язык математических действий, т.е. построить её математическую модель.
Математическая модель – это описание какого-либо реального процесса на математическом языке.
Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.
В процессе решения задачи чётко выделяются 3 этапа математического моделирования:
1 этап – это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математичес-кими способами описываются связи между ними;
2 этап – внутримодельное решение (т.е. нахождение значения выра-жения, выполнение действий, решение уравнения);
3 этап – интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.
Покажем это на примере решения задачи алгебраическим способом: «В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, то в обоих вагонов пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?»
Обозначим через х первоначальное число пассажиров во втором вагоне. Тогда число пассажиров в первом вагоне – 2х. Когда из первого вагона вышли 3 человека, в нём осталось 2х – 3 пассажира. Во второй вагон вошли 7 человек, значит, в нем стало х + 7 пассажиров. Так как в обоих вагонах пассажиров стало поровну, то можно записать, что 2х – 3 = х + 7. Получили уравнение – это математическая модель этой задачи.
Следующий этап – решение полученного уравнения.
Третий этап – используем полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи: во втором вагоне было первоначально 10 человек, а в первом – 20 (10 ∙ 2 = 20).
Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический, т.е. 1 этап – математического моделирования. Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели – схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и т.д.); от неё – к математической, на которой и происходит решение задачи.
Такой подход к процессу решения задачи разделяют и психологи. Они считают, что процесс решения задачи есть сложный процесс поиска системы моделей и определённой последовательности перехода от одного уровня моделирования к другому, более обобщённому, что решение задачи есть процесс её переформулирования. При этом используется такая операция мышления, как анализ через синтез, когда объект в процессе мышления включается во всё новые связи и в силу этого выступает во всё новых качествах. Главным средством переформулирования является моделирова-ние.
Приём моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта (текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследование задачи, а затем результат переносят на первоначальный объект.
Модели бывают разные. Их можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для построения. Схематизированные модели делятся на предметные (вещественные) и графические. Предметные модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов.
Графические модели используются для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим моделям следует отнести следующие виды:
рисунок;
условный рисунок;
чертёж;
схематический чертёж (или просто схема).
Посмотрим это на примере задачи: «Лида нарисовала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?»
Рисунок в качестве графической модели данной задачи имеет вид:
Л.
В.
?
Условный рисунок:
Л.
В.
?
1д
└─┘
└─┴─┴─┴─┘
└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘
Чертёж как графическая модель:
Л.
В.
?
Схематический чертёж (схема):
Л.
4 д 3 д
В.
?
Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы. Например:
Л. – 4 д.
В. – ?, на 4 д. б.
Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями.
Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, является: выражение, уравнение, запись решения задачи по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и знаковые, выполненные на естественном языке, – это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели.
Не следует думать, что всякая краткая запись или чертёж, выполненные для данной задачи, являются её моделями. Так как модель – это своеобразная копия задачи, то на ней должны быть представлены все её объекты, все отношения между ними, указаны требования.
Рассмотрим процесс решения арифметическим методом текстовой задачи о пассажирах в двух вагонах.
Предварительный анализ задачи позволяет выделить её объекты – это пассажиры в двух вагонах поезда. О них известно, что:
В первом вагоне в 2 раза больше пассажиров, чем во втором.
Из первого вагона вышли 3 пассажира.
Во второй вагон вошли 7 пассажиров.
В первом и втором вагонах пассажиров стало поровну.
В задаче два требования:
Сколько пассажиров было первоначально в первом вагоне?
Сколько пассажиров было первоначально во втором вагоне?
Построим графическую модель данной задачи в виде схематического чертежа:
I
3 ч.
? 7 ч.
II
?
По схеме видно, что математическая модель данной задачи имеет вид:
7 + 3 – это число пассажиров во втором вагоне, а (7 + 3) ∙ 2 – это число пассажиров в первом вагоне.
Произведя вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: во втором вагоне было 10 пассажиров, а в первом – 20 пассажиров.
Важнейшей задачей современного математического образования является вооружение учащихся общими приёмами мышления, пространственного воображения, развитие способности понимать смысл поставленной задачи, умение логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления.
Каждому учащемуся важно научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, отчётливо выражать свои мысли, а с другой стороны – развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения). Именно математика предоставляет благоприятные возможности для воспитания воли, трудолюбия, настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей.
Одной из основных целей изучения математики является формирование и развитие мышления человека, прежде всего, абстрактного мышления, способности к абстрагированию и умения «работать» с абстрактными, «неосязаемыми» объектами. В процессе изучения математики в наиболее чистом виде может быть сформировано логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления – такие, как сила и гибкость, конструктивность и критичность и т.д.
Особое значение имеет математика для формирования общего приёма решения задач как универсального учебного действия. Поэтому в качестве одного из основополагающих принципов новой концепции в «математике для всех» на первый план выдвинута идея приоритета развивающей функции обучения математике.
Анализ литературы о моделировании как основном научном методе, используемом в педагогической науке и практике, показал его роль и необходимость его использования в процессе обучения. Построение образовательного процесса на основе математического моделирования обеспечивает комплексное воздействие на эмоциональную, мотивационную сферы ребёнка.
Исходя из вышеизложенного следует отметить, что основной целью современного математического образования должно быть развитие умения математически, а значит, логически и осознанно исследовать явления реального мира. Реализации этой цели может и должно способствовать использование на уроках математики моделирования при решении различных видов текстовых задач. Это является не только желательным, но даже необходимым элементом обучения математике.
Знаковое моделирование в обучении детей математике
По одному из разработанных А.Н. Леонтьевым положений следует, что принцип предметности является ядром психологической теории деятельности. Предмет выступает в качестве модели объекта. Таким образом, идея моделирования выражает само существо принципа предметности.
Мышление есть процесс «непрерывно совершающегося обратимого перевода информации с собственно психологического языка пространственно-предметных структур,… т.е. языка образов, на психолингвистический, символически-операторный язык», язык знаков. Это значит, что моделирование присуще самой природе мышления, что оно рождается и развивается вместе с рождением и развитием символически-операторных, знаковых средств.
Знаковое моделирование служит и средством достижения и удержания в сознании целостности предмета рассмотрения, и средством его преобразований, и средством восхождений к метауровневым рассмотрениям, и средством выражения программы действий, и т.д. Едва ли возможно найти сколь-нибудь значимые аспекты учебной математической деятельности, которые обходились бы без использования соответствующих форм знакового опосредствования.
В процессе освоения знаковых систем их роли изменяются: вводимые как орудия математической деятельности, они становятся орудиями преобразования cамой этой деятельности, орудиями её развития, способствующими рождению, в частности, таких новообразований, как преображение подходов от частей – к целому и от частного – к общему в принцип от целого – к частям, от общего – к частному.
Развитие способности учащихся к знаковому моделированию в немалой степени способствует их математическому, а с ним – и общему умственному развитию. С другой стороны, истоком трудностей в обучении математике уже в начальной школе является «неумение кодировать (декодировать) информацию, представленную знаково-символическими средствами, идентифицировать изображение с реальностью… выделять в моделях закономерности… оперировать моделями, знаково-символическими средствами.
Эти умения начинают складываться задолго до школы и являются необходимыми при переходе к систематическому обучению, основанному на использовании различных знаково-символических средств». Отсюда ясно, что вопросы обучения младших школьников знаковому моделированию являются важными вопросами методики математики.
Приобщение детей к знаковому моделированию естественно начинать с наглядного моделирования, основанного на использовании иконических знаков. Этому и следуют авторы учебников математики для начальной школы.
Представленные в этих учебниках методики приобщения к знаковому моделированию различаются не только «траекториями» восхождения к символическому моделированию, но и наборами образцов такого моделирования: если почти для всех учебников характерно использование разнообразных форм знакового моделирования, то комплект учебников В.В. Давыдова, С.Ф. Горбова и др. отличает единая форма, превращающаяся в универсальную.Особняком стоит заслуживающий самого пристального внимания подход А. Лобока, характеризуемый им самим следующим образом: «Символические числовые обозначения появляются на нашем уроке как совершенно случайные. Но зато у них с самого начала есть некий графический коррелят: есть конкретные клеточные ряды, обозначаемые соответствующими символами. А у ребенка шаг за шагом начинает накапливаться некий эмпирический опыт «переживания символа». При этом не реальность «подгоняет» мир символов (как это происходит в традиционной системе обучения), а мир символов появляется в процессе математического описания некой модельной реальности, каковой выступает у нас клеточная сетка».
В качестве распространенных способов приобщения к знаковому моделированию укажем «полимоделирование», характеризуемое разно-образием форм, и «мономоделирование», которому свойственна единая форма моделирования. Каждый способ имеет свои несомненные достоинства.
Первый из них хорошо воспринимается младшими школьниками. Приобщение ко второму требует достаточно длительной работы, но, будучи освоенным, он позволяет решать сложные текстовые задачи так же легко, как и простые. Более того, освоенная форма мономоделирования становится и средством ориентировки, и широко применяемым объяснительным средством.
Обратимся к задаче, с которой можно начать обучение младших школьников комбинаторике, и рассмотрим процесс её решения.
В конце новогоднего утренника в зал внесли два ящика. В первом из них было помногу карточек красного, оранжевого, жёлтого, зелёного, голубого, синего и фиолетового цветов, а во втором – помногу карточек всех таких же цветов, а ещё белого и чёрного. Каждый ребёнок с завязанными глазами вынимал из каждого ящика по одной карточке. Тот, кто вынул из первого ящика, например, зелёную карточку, а из второго – синюю, получал в подарок зелёную коробку конфет и синюю коробку с цветными карандашами, а тот, кто из первого ящика вынул жёлтую карточку, а из второго – красную, получал жёлтую коробку конфет и красную коробку с цветными карандашами. Требуется подсчитать количество вариантов подарков.
– Это нетрудная задача: надо всего лишь не полениться составить список всех вариантов.
– Начнём: 1) красная коробка конфет и жёлтая коробка карандашей;
2) зелёная коробка конфет и синяя коробка карандашей; 3) фиолетовая коробка конфет и красная коробка карандашей…
– Наверное, для составления этого списка понадобится немало времени. Поэтому лучше пользоваться сокращённой записью. Например, такой: кр. конф. и жёл. кар.
– А лучше – ещё более короткой: к. конф. и ж. кар.
– Вид подарка определяется цветами карточек. Поэтому можно пользоваться таким видом записи: к. кар. и ж. кар.
– Можно писать ещё короче: 1-к, 2-ж.
– Цифры 1 и 2 можно опустить, а вместо этого лучше писать так: (к, ж). Ведь сам порядок записи букв «к» и «ж» показывает, какая из них соответствует цифре 1, а какая – цифре 2.
– Ещё лучше писать так: кж.
– Эта форма записи намного удобнее, давайте воспользуемся ею. Перепишем в такой форме начало нашего списка и продолжим его: кж, зс, фс,…
– Надо следовать определённому порядку перечисления вариантов, который предотвратил бы повторения и пропуски возможных вариантов.
– Для этого естественно воспользоваться порядком, в котором назывались цвета карточек.
– Можно выбрать любой порядок перечисления цветов и следовать ему.
– Выбор порядка перечисления цветов равносилен выбору их нумерации.
– Так давайте занумеруем цвета карточек из первого ящика и цвета карточек из второго. И тогда вместо цветов карточек будем называть их номера.
– Совсем не обязательно фиксировать какую-нибудь из таких нумераций. Важно лишь то, что в первом ящике – карточки семи цветов, а во втором – девяти. И только этим определяется количество вариантов, т.е. количество пар цветов карточек.
– Иначе говоря, количество вариантов совпадает с количеством пар номеров (при какой-нибудь нумерации цветов карточек из первого ящика и какой-нибудь нумерации цветов карточек из второго).
– Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – множество номеров цветов карточек из первого ящика, В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9} – множество номеров цветов карточек из второго ящика. Количество вариантов подарков равно количеству всевозможных пар (m, n), таких, что m – номер из А и n – номер из В.
– А поскольку каждый номер записывается с помощью одной цифры, удобней писать mn вместо «(m, n)». – Иначе говоря, каждый вариант можно выражать двузначным числом.
– А значит, количество вариантов совпадает с количеством всевозможных двузначных чисел mn, таких, что 1 < m < 7 и 1 < n < 9.
– Таких чисел не очень много. Давайте выпишем их все и затем пересчитаем: 11, 12, 13, …, 19, 21, 22, …
– Но необходимо ли выписывать все эти числа и затем пересчитывать их для того, чтобы узнать, сколько их?
– Конечно же, нет. Можно воспользоваться тем, что таких двузначных чисел с первой цифрой 1 всего 9: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, столько же таких чисел с первой цифрой 2, столько же с первой цифрой 3 и т.д.
Таким образом, мы имеем 7 групп чисел по 9 чисел в каждой. Значит, всего таких чисел 7 ∙ 9, т.е. 63.
Вот оно – проявление «непрерывно совершающегося обратимого пере-вода информации с собственно психологического языка пространственно-предметных структур, т.е. языка образов, на символически-операторный язык» знаков. Вот он – творческий продукт, предстающий в наглядно-образной форме. На последующих этапах учебной деятельности ему предстоит выступить в знаковом облачении, которое не просто сохранит, но ещё более подчеркнёт его наглядно-образную форму и посредством этого ещё более проявит несомое им содержательное обобщение.
– Эти числа можно расположить подобно местам в кинотеатре, если, например, первую цифру в записи каждого из них истолковывать как номер ряда, а вторую – как номер места в ряду:
11 12 13 … 18 19
21 22 23 … 28 29
... ... ... ... ... ...
71 72 73 … 78 79
В этой таблице 7 строк, а в каждой строке – по 9 чисел. Значит, всего в ней 7 ∙ 9, или 63 числа. Столько же было и вариантов подарков. – Итак, нам не понадобилось выписывать таблицу полностью. Её можно представить и более короткой записью:
11 … 19
… … …
71 … 79
Ведь нам важно выразить лишь то, что в таблице 7 строк и что в каждой из них по 9 чисел.
Полученная таблица дает хорошее обозрение исследуемой совокупности всех возможных вариантов. Такое представление этой совокупности вместе с описанием пути, которым мы пришли к нему, может служить образцом решения многих комбинаторных задач и естественным средством «открытия» школьниками правила умножения, лежащего в основе их решения.
Рассмотренная выше задача, конечно же, имеет более короткое и не менее доступное для младших школьников решение, например, основанное на использовании графового моделирования. Но далеко не всегда более короткое или более совершенное (в собственно математическом смысле) решение является более эффективным учебным средством. Такое решение должно быть итогом процесса, направленного на восхождение к эффективному методу и одновременно служащего формированию стратегий поисковой деятельности. Подход к решению задачи и соответствующая ему тактика внимания, выражающаяся соответствующей формой моделирования, должны соответствовать этим целям.
Описанный процесс многократных перекодирований – это процесс движения ко всё более совершенному знаковому представлению исследуемой ситуации, процесс, подготавливающий рождение творческого продукта – лексикографического упорядочения (воплощённого в десятичном представлении натуральных чисел) как продуктивной модели всё той же ситуации. Табличное представление, дающее решение задачи, – это наглядно-образная форма передачи найденного содержательного обобщения; это такая знаковая форма, которая преображается в символ.
Продуктивность в данном случае состоит в том, что решение задачи выстраивается как процесс многократных перекодирований, направленный на формирование такого кодирования, которое позволяет обозреть изначально труднообозримое целое. Такого рода процессы являются эффективным средством обучения детей моделированию, однако возможность его использования появляется лишь при условии приобщённости детей к полимоделированию.
Следующая задача решается применением правила умножения. Но прежде чем учащиеся увидят связь этой задачи с правилом умножения, им предстоит открыть такой способ описания рассматриваемых комбинаторных ситуаций, такой способ их кодирования, который делает хорошо обозримой совокупность кодов всех таких ситуаций как целого.
Найти количество делителей числа
2310 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11.
– Делителей у этого числа довольно много.
Это 1, 2, 3, 5, 7, 11; это 2 ∙ 3, 2 ∙ 5, 2 ∙ 7, 2 ∙ 11; это 3 ∙ 5, 3 ∙ 7, 3 ∙ 11; это 2 ∙ 3 ∙ 5, 2 ∙ 3 ∙ 7 и т.д.
– Как же найти количество всех делителей заданного числа, не осуществляя их прямого перебора? Может быть, нам сможет послужить подсказкой опыт решения предыдущей задачи?
– Решение предыдущей задачи о подарках, не использующее перебора, было найдено благодаря тому, что мы нашли такое единообразное представление всех возможных вариантов, которое сделало обозримой всю их совокупность.
– Кажется, я вижу способ, как это сделать здесь. Например, делитель 3 ∙ 7 можно представить таблицей
2 3 5 7 11
– + – + –
Делитель 2 · 5 · 7 мы представим таблицей
2 3 5 7 11
+ – + + –
Таблица
2 3 5 7 11
– – – – –
представляет такой делитель, который не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7, ни на 11, т.е. число1, а таблица
2 3 5 7 11
+ + + + +
представляет делитель 2 · 3 · 5 · 7 · 11, т.е. само данное число.
– Каждый делитель заданного числа может быть представлен такого рода таблицей, и притом только одной (числа 2, 3, 5, 7 и 11 простые, непредставимые как произведения отличных от них чисел, и каждый делитель нашего числа, не равный 1, характеризуется набором тех из них, на которые он делится).
– Каждая таблица такого рода представляет подходящий делитель этого числа.
– Следовательно, делителей этого числа столько же, сколько таких таблиц.
– Количество таких таблиц нетрудно найти с помощью правила умножения: первую ячейку второй строки можно заполнить двумя способами: вписыванием знака «–» или знака «+». То же верно для второй и последующих ячеек. Значит, заполнить вторую строку таблицы можно 2 · 2 · 2 · 2 · 2, т.е. 32 способами. Столько же будет таблиц. Столько же и делителей у числа 2310.
Использованный здесь способ кодирования, также представленный в наглядно-образной форме, едва ли оказался бы продуктивным до приобщения учащихся к правилу умножения. Являясь продуктом развития табличного способа, он заметно отличается от последнего. И это ещё один аргумент в пользу раннего приобщения учащихся к полимоделированию. В то же время это и демонстрация того, что наглядно-образное мышление есть необходимый компонент процесса формирования продуктивной модели исследуемой ситуации. Рассмотрим ещё одну задачу:
Вычислить
200520052005 · 200520052005 – 200520052004 · 200520052006.
– Вычисление этого выражения потребует немало времени. А нельзя ли воспользоваться тем, что число 200520052004 на 1 меньше, чем 200520052005, а число 200520052006 – на 1 больше?
– Давайте для краткости обозначим число 200520052005 буквой а. Тогда наше выражение запишется так: а · а – (а – 1) · (а + 1).
Оно равно а · а – (а · а – а + а – 1), или а · а – а · а + а – а + 1, т.е. 1.
Предложенное решение (вполне доступное для детей, обучающихся по системе Б.Д.Эльконина – В.В.Давыдова) получено путём схватывания и обыгрывания структуры данного арифметического выражения, представленной подходящим алгебраическим выражением. Последнее использовано как продуктивная модель данного выражения, т.е. как модель способа решения задачи.
Обучение математике – это, в конечном счёте, приобщение к концептуальному аппарату и «техническим» средствам математического моделирования, за которым стоит восхождение от освоения отдельных действий к деятельности по принципу от целого – к частям, от общего – к частному.
Полнокровное приобщение к моделированию невозможно без широкого использования метода от сложного – к простому и его взаимо-действия с методом от простого – к сложному, а значит, без отказа от квалификации последнего как непреложного дидактического принципа.
Говорят, что обучение математике в школе должно каждый день доказывать свою полезность для будущей жизни на живых примерах из реальной практики построением математических моделей реальных явлений и демонстрацией их продуктивности. Но продуктивно ли это? И реально ли?
Ведь движение к практике осуществимо лишь посредством радикального отхода от непосредственно практических задач. Вот пример-метафора на этот счёт: развитие космонавтики создало качественно новые возможности геологических исследований.
Отсюда же следует, что обращение к собственно математическим задачам может служить эффективным средством обучения математическому моделированию как средству решения прикладных задач.
Не менее значимо то, что явное и системное использование моделирования в обучении математике, широкое применение поли-моделирования, ведущее к обогащению эвристической базы, влекут за собой не только собственно математическое, но и общее умственное развитие учащихся.
Библиографический список
Байрамукова, П.У. Методика обучения математике в начальных классах [Текст]: курс лекций / П.У. Байрамукова, А.У. Уртенова. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2009. – 299 с.
Белошистая, А.В. Методика обучения математике в начальной школе [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по спец. «Педагогика и методика начального образования» / А.В. Белошистая. – М. : Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2001. – 455 с.
Гурбатова, Е.Р. Роль допонятийных форм мышления в обучении детей математике [Текст] / Е.Р. Гурбатова // Педагогика. 2004. – № 6.
Демидова, Т.Е. Текстовые задачи и методы их решения [Текст] / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких. – М.: Изд-во МГУ, 1999.
Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах [Текст]: Учеб. пособие для студ. пед. учеб. заведений и фак-ов нач. классов педвузов / Н.Б. Истомина. – М. : LINKA-PRESS; Издательский центр «Академия», 1998. – 288 с.
Когаловский, С.Р. Знаковое моделирование в обучении детей математике [Текст] / С.Р. Когаловский, Е.Р. Гурбатова // Начальная школа плюс до и после. – 2005. - № 9.
Когаловский, С.Р. Роль комбинаторных задач в обучении математике [Текст] / С.Р. Когаловский // Математика в школе. 2004. – № 7.
Непомнящая, Н.И. Педагогический анализ и конструирование способов решения учебных задач [Текст] / Н. Непомнящая, Г. Щедровицкий В. Розин, Н. Алексеев. – Педагогика и логика. – М., 1993.
Тонких, А.П. Метод моделирования в курсе математики факультетов подготовки учителей начальных классов [Текст] / А.П. Тонких // Начальная школа плюс до и после. – 2002. – №1– С. 54-63.
Шадрина, И.В. Математическое развитие младших школьников [Текст] / И.В. Шадрина. – М. : Изд-во МГПУ, 2009. – 130 с.