Брошюра-методичка Методы решения тригонометрических уравнений. В помощь выпускнику

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №90»
р.п. Чунский


В помощь выпускнику

«Методы решения тригонометрических уравнений»


Составитель:
учащаяся 10б класса
Приведа Елена
Руководитель:
Грибовская В.А.




2016г.

Введение
Дорогие ребята!
В 10 классе мы знакомимся с тригонометрическими уравнениями, изучаем основные способы их решения.
На ЕГЭ тригонометрические уравнения представлены во второй части, то есть в заданиях с развернутым ответом.
В 2010 – 2014 годах тригонометрические уравнения или их системы составляли задание С1, с 2015 года это - задание №13 профильного уровня. Значит для успешной сдачи экзамена, необходимо владеть способами решения тригонометрических уравнений.
В этой работе можно познакомиться с методами решения тригонометрических уравнений, которые не представлены в нашем школьном учебнике, такие как метод введения вспомогательного угла, универсальная тригонометрическая подстановка, метод оценки левой и правой частей уравнения.
Кроме этого, приведены примеры объединения серий корней и решения уравнений из реальных КИМов с отбором корней.
Моя методичка адресована, прежде всего, выпускникам, готовящимся успешно сдать экзамен, но она будет полезна всем, кто изучает математику.
С уважением, автор-составитель.

Основная часть

I. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.
Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Уравнения вида sin x = a и cos x = a, где |а|
· 1, а также
tg x = a и ctg x = a, где а
·R называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Формулы, с помощью которых находят решение этих тригонометрических уравнений:
sin x = a, x = (-1)k
·arcsin a +
·k =

cos x = a, x = ± arccos a + 2
·n, n є Z

tg x = a, x = arctg a +
·n, n є Z

ctg x = a, x = arcctg a +
·n, n є Z.

Частные случаи.

Частные случаи полезно запомнить, так как они дают более простые формулы, и это удобно в отборе корней уравнения.
В частных случаях при а = 0, а = ± 1, получаем формулы:

sin x = 0, x =
·n, n є Z
sin x = 1,
sin x = -1,
cos x = 0,
cos x = 1, x = 2
·n, n є Z

cos x = -1, x =
· + 2
·n, n є Z.

Формулы корней уравнений sin2 x = a2, cos2 x = a2, где 0
· а
· 1, можно объединить в серии x = ± arcsin a +
·n, n є Z и
x = ± arccos a +
·n, n є Z соответственно.
II. Методы решения тригонометрических уравнений.
Рассмотрим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.

1. Метод введения вспомогательного угла (вспомогательного аргумента)

Иногда при решении тригонометрических уравнений бывает полезным заменить выражение на , где

Тогда уравнение принимает вид: где
· называют вспомогательным аргументом.

Пример. (МПГУ) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

Решение:






Если n = 0, то х =
·/12 > 0.

Если n = - 1, то х =
·/12 – 2/3
· = -7/12
· < 0.
Ответ:

2. Универсальная тригонометрическая подстановка (или рациональная подстановка)

Универсальная тригонометрическая подстановка (или рациональная подстановка) заключается в выражении
sin x, cos x, tg х через
(*)
! Надо помнить, что при использовании такой подстановки в отдельной проверке нуждаются значения
х =
· +2
·n, n є Z.
Это обусловлено тем фактом, что функция у = tg x не существует для аргумента х =
·/2 +
·n, n
· Z.
Пример. Решим уравнение
Способ I.
Решение:
Перейдем к sin x и cos x, заменив

Вывод формулы, если не помним:
При этом необходимо проверить х =
· +2
·n, n є Z.
0 – 1 – 1 = 0
·(-2), - 2 = 0 - ложно, поэтому потери корней не произойдет.

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

Решим первое уравнение системы:

Получаем решение системы, а значит исходного уравнения:

Ответ: .
Способ II.
Пример. Решим уравнение
Решение:

Теперь решим это же уравнение, используя рациональную подстановку (*).
Убеждаемся, что не являются решением данного уравнения:
0 + (-1) – 1 = 0
· (-1 – 1); -2 = 0 – ложно.


Ответ: .

Подстановка (*) называется рациональной потому, что она приводит тригонометрическое уравнение к рациональному уравнению, тем самым упрощая решение.

Рассмотрим еще один вид подстановки.
Подстановка t = sin x + cos x (t = sin x - cos x) позволяет решить уравнения вида
f (sin x + cos x; sin x
· cos x) = 0.
Если t = sin x + cos x, то sin 2x = t2 – 1 или sin x
· cos x =
Пример. (МФТИ) Решим уравнение sin x + cos x - sin 2x = 0.
Решение:

Заметим, что (sin x + cos x)2 = 1 + sin 2x, поэтому
если sin x + cos x = t, то si
·n 2x = t2 - 1,
и данное уравнение запишется в виде

t -(t2 - 1) = 0, или t2 – t – = 0, откуда
t1 =, t2 =
Исходное уравнение сводится к двум уравнениям:
1) sin x + cos x =.
Поделим обе части уравнения на и воспользуемся методом введения вспомогательного угла:
sin x +cos x = 1;
sin x cos + cos x sin = 1;
sin (x + ) = 1 – частный случай;
x = +2
·n, n є Z.
2) sin x + cos x =
Аналогично: sin x +cos x = ;
sin x cos + cos x sin = ;
sin (x + ) = ;
x + = (-1)m
· arcsin +
·m, m є Z;
.
Ответ: ; .
Как видим, встречаются уравнения, в которых используются комбинированные методы решения.

3. Метод оценки левой и правой частей уравнения (или метод ограниченности функций, или метод мажорант).
Решение некоторых тригонометрических уравнений основано на неравенствах, обозначающих множество значений функций синуса и косинуса:

-1
· sin x
· 1, -1
· cos x
· 1.

Примером уравнения, решаемого методом оценки множества значений левой и правой частей, служит следующий пример уравнения.

Пример. Решим уравнение
Решение:

В левой части уравнения выделим квадрат двучлена, а в правой – преобразуем разность квадратов, получим:

Так как левая часть принимает наименьшее значение, равное 0, а правая – наибольшее значение, также равное 0, то уравнение равносильно системе уравнений
Решая ее, получим:

Ответ: х = - 3,5.

Пример. Решим уравнение

Решение:

В силу ограниченности синуса и косинуса данное уравнение равносильно системе уравнений:


Объединим серии корней:

k будет целым, если (n + 1) будет четным, т.е. n +1 = 2m, n = 2m - 1.

Ответ:

Обобщим этот метод.

Если в левой части уравнения функция f(х), а в правой g(х), и Е(f)
· Е(g) = а,

то уравнение f(х) = g(х) равносильно системе уравнений

На профильном экзамене ЕГЭ задание 13 состоит из двух частей и формулируется обычно следующим образом:
а) решить уравнение и б) отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку.
Рассмотрим пример из вариантов ЕГЭ.




Пример. (Из реальных КИМ №13)

а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение:

Воспользуемся методом оценки левой и правой части уравнения:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Ответ:
Однако встречаются и такие тригонометрические уравнения, решение которых без дополнительной формулировки требует отбора корней – это тригонометрические уравнения с конечным числом решений.
Рассмотрим такой пример.
Пример. Решим уравнение

Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
Уравнение равносильно системе:



Отбираем корни, принадлежащие промежутку [-4; 4]:

n = 0, x = 0
· [-4; 4]
n = 1, x =
·
· [-4; 4]
n = -1, x = -
·
· [-4; 4]
Ответ: 0; ±
·; ±4.
Решите самостоятельно уравнения:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответы: 1) 0; 2) корней нет; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В заключение хочу сказать, что для качественной подготовки к экзамену, надо решать уравнения и решать самостоятельно. Желаю всем успеха!
Список используемых источников:
1. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы:
учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электронном носителе /[А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]; под. ред. А.Н. Колмогорова. – 20-е изд. - М.: Просвещение, 2011.

2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.

3. Сычева Г.В. «Повторяем тригонометрию». - «Математика для школьников»: научно - практический журнал. М.: «Школьная Пресса», №1, 2009г.

4. Садовничий Ю.А. «Решаем конкурсные задачи»: Лекторий для абитуриента. – «Математика», №7, 2008г.

5. 3000 конкурсных задач по математике. Сост. Куланин Е.Д. и др. – М.: Рольф, 1997.

Интернет-ресурсы

1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - сайт в помощь школьнику найти необходимую информацию для подготовки к урокам, материал для рефератов и т.д.;
2. www: решу ЕГЭ - сайт в помощь выпускнику подготовиться к качественной сдаче ЕГЭ.










13 PAGE \* MERGEFORMAT 141515




Рисунок 1Рисунок 2Рисунок 2