Интегрированный урок алгебры и английского языка 10 класс Критические точки. Точки экстремума функции. Изобретения. Нобелевские лауреаты

Интегрированный урок алгебры и начал анализа и английского языка, 10 «А» класс
Тема урока: «Критические точки. Точки экстремума функции. Изобретения. Нобелевские лауреаты»
Цели урока:
Образовательные:
сформировать в ходе урока понятие критических точек; точек экстремума; сформировать первичные умения и навыки нахождения критических точек и точек экстремума функции; .
Развивающие:
развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление); развивать навыки и умения работать в группе; развивать грамотную математическую речь; .
Воспитательные: воспитание творческих способностей учащихся; повышение интереса к предмету.
Тип урока: урок изучения нового материала
Форма проведения урока: комбинированный
Методы обучения:
словесные (диалог, беседа);
наглядные (работа с презентацией);
частично-поисковые (решение проблемной ситуации);
индуктивные (развитие умения общаться, высказывать своё мнение, доказывать его);
дедуктивные (анализ информации, применение новых знаний к решению задач, обобщение)
Формы обучения: классная, в паре, групповая
Форма контроля: самоконтроль и взаимоконтроль;
Учебник/литература: «Алгебра и начала анализа» учебник для 10 класса ЕМН общеобразовательных школ, авт. Абылкасымова А.Е., Жумагулова З.А.; 3-е изд., Алматы: «Мектеп», 2014 год;
Оборудование: проектор, маркерная доска, карточки с заданиями для каждой группы, презентация ««Критические точки. Точки экстремума функции. Изобретения. Нобелевские лауреаты», творческие проекты учащихся, сигнальные карточки (синие, зеленые, красные)
Технологии:
- технология групповой работы
- технология деятельностного подхода
- проблемно-диалогического обучения.
Предполагаемый результат: освоение темы, умение работать в группе, в паре.
Ход урока:
I. Организационный момент: проверка готовности к уроку
II. Мотивация к успешному обучению:
А) Вступительное слово учителя:
Учитель английского языка: Здравствуйте, ребята. В процессе обучения, вы убедились в том, что различные науки не могут существовать  изолировано, например, для успешного изучения физики, необходимо хорошо владеть вычислительными навыками. Нельзя заниматься биологией не зная химии. Но есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это математика. Ее понятия, представления и символы служат тем языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. При помощи математического аппарата возможно моделирование практической деятельности в реальной жизни, ее отдельных сторон, качеств и областей. На сегодняшнем уроке мы и попытаемся установить связь между разными естественными науками и математикой. Поэтому урок мы будем вести вдвоем.
Учитель математики: Я хочу поприветствовать всех участников сегодняшнего необычного урока, на котором мы попытаемся вместе с вами объединить два, наверное, самых сложных предмета школьного курса - английский язык и алгебру и начала анализа. Начать урок мне бы хотелось с красивой древней притчи.

Притча. Эта история произошла давным–давно. В древнем городе жили добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца. И решил злой человек придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошёл он на луг, поймал бабочку, сжал между сомкнутыми ладонями и подумал: «Спрошу–ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка – живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони – бабочка улетит, а если скажет, что живая, я сомкну ладони, и бабочка умрёт». Так завистник и сделал. Поймал бабочку, посадил между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «О, Великий Мудрец! Какая у меня бабочка: живая или мертвая»? Мудрец ответил: «Всё в твоих руках!»
Как часто, ребята, нам кажется, что мы ничего не понимаем, ничего мы не знаем, ничего мы не решим! Но я хочу повторить слова мудреца «все в твоих руках». Пусть эти слова будут девизом нашего урока.
III. Актуализация опорных знаний:
А) Вопросно-ответная беседа по теме «Производная. Применение производной».
Учитель математики: Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, биологии, географии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво и интересно. Для начала, вспомним теоретический материал.
(работа с кластером по принципу «чистой доски»)
1) Сформулируйте определение приращения аргумента, приращения функции.
2) Что называется производной функции в точке х0?
3) В чем заключается геометрический смысл производной?
4) В чем заключается физический, т.е. механический смысл производной?
5) Что называется касательной, проведенной к графику функции в точке х0?
Назовите уравнение касательной.
6) Где находит свое применение производная, кроме составления уравнения касательной? (при
нахождении промежутков монотонности функции)
7) Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции.
(на магнитной доски остались только понятия: стационарные и критические точки,
точки экстремума функции)
- Как вы считаете, ребята, какая тема сегодняшнего урока? (учащиеся формулируют тему урока)
- Тема сегодняшнего урока «Критические точки. Точки экстремума функции. Изобретения. Нобелевские лауреаты».
- Цель сегодняшнего урока – научиться определять критические точки и точки экстремума функции с помощью производной; рассмотреть возможности применения производной в разных естественных и технических дисциплинах, познакомиться с изобретениями, связанными с применением производных функций.
- Начнем с основ. Об истории развития дифференциальных исчислений нам подготовили учащиеся 5-й группы.
(выступление 5-й группы с проектом «Историческая справка о теории дифференциальных исчислений»)
Б) Глоссарий: Учитель английского языка: Чтобы приступить к изучению новой темы, нам необходимо выяснить смысл тех основных терминов, которыми будем пользоваться на уроке.
Производная;
Дифференциал;
Функция;
Монотонность;
Возрастание;
Убывание;
Интервал;
Стационарные точки; критические точки;
Экстремум.
Выводы:


IV. Подготовка к восприятию нового материала:
Учитель математики: Как мы выяснили, основное понятие дифференциального исчисления – производная, и связано это понятие с необходимостью решения задач по физике, механике и математике, и в первую очередь двух основных задач: определения скорости прямолинейного движения материальной точки и построения касательной к произвольной плоской кривой. Математиков 15-17 веков долго волновал вопрос о нахождении общего метода построения касательной к графику функции в любой точке. А сейчас мы с вами легко можем составить уравнение касательной, и знаем, что для этого нужно хорошо уметь вычислять производные функций. Поэтому сейчас выполним следующую работу:
А) Устно: найти производные следующих функций (слайд)
функция
производная
функция
производная

1.
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
2.
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415

3.
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
4.
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415

5.
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
6.
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.31415

7.
Cos (2x3 +
·/6)
-6 x2sin(2x3+
·/6)
8.
sinіx
3sinІx ·cosx

Устно: Назовите промежутки монотонности функции, если на рисунке дан график её производной: (слайд)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Б) Учитель математики: Производную мы научились вычислять, научились использовать её при составлении уравнения касательной, при исследовании функции на монотонность. Следующее задание связано именно с применением производной для составления уравнения касательной и нахождения промежутков монотонности функции.
Письменно: «ЕНТ - минутка» (самостоятельно) – самопроверка по слайду;
1. Составить уравнение касательной к графику функции у = - х2 + 2х + 1 в точке пересечения графика с осью ординат. Ответ: у = 2х + 1 – уравнение касательной.
2. Найти промежутки монотонности следующих функций:
а) f(x) = -13EMBED Equation.31415- 13EMBED Equation.31415 - 7x + 12 – консультация учителя математики;
б) f(x) = 2xі - xІ - 4x + 5 – может прокомментировать учитель английского языка;
Индивидуальная работа: 1 ученик у доски: (сб. экзаменац. материалов за курс 11-летней школы)
1. В какой точке графика функции у = f(x) касательная наклонена к оси ОХ под углом
·, если

·=
·/4, f(x) = х2 + 4х + 3?
2. Найти промежутки монотонности следующих функций: а) f(x)=13EMBED Equation.31415; б) f(x)= хі + 3хІ - 9х +1.
Выводы: выполняя данные задания, мы ещё раз убедились в том, что умения вычислять производные функций помогают составлять уравнение касательной, исследовать функцию на монотонность. А что же ещё можно исследовать с помощью производной?

V. Изучение нового материала:
А) Объяснение учителя: эвристическая беседа по теме «Критические точки. Точки экстремума функции».
Учитель математики: Выполняя последние два задания на нахождение промежутков монотонности функций, мы вплотную «столкнулись» с новой темой. Обратимся к выводам по решению этих заданий (на листах на магнитной доске схемы к решению).
Рассмотрим пример а) – вы не только нашли промежутки возрастания и убывания функции, но и решая уравнение у '(х) = 0, нашли особые точки, в которых свойства функции изменяются, это точки х1 = 13EMBED Equation.31415; х2 = 1 – это стационарные точки, которые относятся к критическим точкам функции. В этих точках производная равна «нулю». Обращаясь ко второму примеру, мы можем отметить, что данная функция стационарных точек не имеет, т.к. нет таких точек, в которых производная равна «нулю». Однако эта функция имеет критическую точку, в которой производная не существует и эта точка является точкой перегиба графика данной функции, т.к. именно в ней касательная, проведенная к графику функции параллельна оси ОХ. Мы можем легко найти эту точку, вычислив вторую производную и приравняв её к «нулю».
у ''(х) = 0; у ''(х) = (xІ + 5x + 7)' = 2х + 5;
2х + 5 = 0, х = -2,5 – эта точка является критической точкой, в которой первая производная функции не существует, а вторая производная равна отрицательному числу.
Введем определения стационарных и критических точек. (слайд)
Определение 1: Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.
Определение 2: Внутренние точки области определения функции, в которых функция имеет производную, равную нулю, или не существует, называют критическими точками.
- В чем же их разница? (в стационарных точках производная равна «нулю», а в критических – производная равна «нулю», или не существует). Однако, следует заметить, что только критические точки являются особыми точками функции. Эти точки называют точками экстремума. Существует два вида экстремума – максимум и минимум. Как их различить?
- Сформулируем необходимое и достаточное условие существования экстремума, но вначале введем ещё одно понятие.
При исследовании поведения функции вблизи точки удобно пользоваться понятием окрестности.
Окрестностью точки х0 называется любой малый интервал, содержащий эту точку. (слайд)
Теорема 1: Точка х0 называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х, что для всех х
·х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)Теорема 2: Точка х0 называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х, что для всех х
·х0 из этой окрестности выполняется неравенство
·f(x)> f(x0).
- Таким образом, необходимое и достаточное условия экстремума дает возможность определить вид экстремума. Эти теоремы называют теоремой Ферма, но первоначально она выражала только необходимое условие существования экстремума.
- Удобно пользоваться упрощенной формулировкой условия существования экстремума: если в окрестности точки х0 производная функции меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, а если производная функции поменяла в точке х0 свой знак с «-» на «+», то эта точка является точкой минимума.

Учитель английского языка: Сделаем первый вывод.
(работа по схеме – определения вида точек экстремума данных функций) - слайд
Учитель математики: Обратим внимание на тот факт, что не каждая критическая точка может быть точкой экстремума, т.к. это только те точки, внутренней ООФ, при переходе через которые производная меняет свой знак на противоположный.
- Вернемся к примеру а), поясните, почему точка х1 = 13EMBED Equation.31415 - является точкой максимума, а точка х2 = 1 – точкой минимума?
Замечание. Функция может иметь экстремум и в той точке, где она не имеет производной, такой точкой является либо точка перегиба, либо точка излома.
Например, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - точка минимума функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  не существует; для функции f(x) = 2xі - xІ - 4x + 5 точка х = -2,5 является точкой перегиба, в которой первая производная не существует, а вторая производная – отрицательна.
- Так как же нужно исследовать функцию на монотонность и экстремум, если мы объединим два этих свойства?
(учащиеся перечисляют алгоритм исследования функции на монотонность и экстремум)
Учитель математики: Хочу сделать одно замечание. Нельзя путать смысл выполнения заданий по нахождению точек экстремума и по вычислению экстремума функции. Найти точки экстремума – это значит найти критические точки и определить, которые из них являются точками максимума или минимума. А вычислить экстремумы функции – это значит найти точки экстремума и посчитать значение функции в точках максимума и минимума, т.е. определить наибольшее и наименьшее значения функции.
Б) Первичное применение знаний:
- Рассмотрим несколько примеров, в которых нужно найти экстремумы следующих функций –
1. Определить точки экстремума функций: у = -8хі + 3 – консультация учителя математики.
Решение: у = -8хі + 3; ООФ = R, у '= -24хІ; у '= 0, т.е. -24хІ = 0, х = 0 – однако, эта точка не является точкой экстремума, т.к. на всей ООФ данная функция сохраняет свой знак. При этом точка х = 0 – является только лишь точкой перегиба.
Ответ: точек экстремума нет
2. № 275 (а, в) - найти критические точки, определить экстремумы функции; 2 у доски - консультация учителя (а – экстремумов нет; в - хmin = 0; ymin = 0) .
3. Работа в группе: вычислить экстремум функции у = х4 – 4х3 – самостоятельно; затем
1 ученик комментирует с места (та из групп, которая первая выполнила задание).
Решение: х = 0 – точка перегиба, в этой точке производная не меняет своего знака (слева и справа отрицательная); х = 3 = точка экстремума, минимум; ymin = -27.
Ответ: хmin = 3; ymin = -27.
Выводы: (учитель английского языка)
- Подведем итоги изученному материалу, установив соответствие. У каждой группы на столах разложены карточки, на которых вам необходимо установить соответствие между утверждениями. Установить соответствие (работа в группах):
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
(группа, которая первой выполнила задание, аргументирует свой ответ)
(Ответ: 1 – В; 2 - С; 3 – D; 4 –А)

VI. Формирование умений и навыков:
1. Учитель математики: Еще Гете сказал: "Просто знать - ещё не всё, знания нужно уметь использовать". Вот сейчас вам и придется использовать свои знания, выполняя следующие задания.
а) Устно: «Найди ошибку!» - (на магнитной доске)
Найти точки экстремума функции у =
·х + 2.
б) Комментирование у доски: работа с учебником - № 274 (б, в) – найти точки минимума и максимума функции – 2 ученика у доски – консультация учителя (по необходимости)
б) f(x)= 16хі - 15хІ -18х + 6. Ответ: хmax = -3/8; xmin = 1.
в) f(x)= sinx + x. Ответ: точек экстремума нет.

2. Учитель английского языка: Ребята, вы много поработали, решая задания на применение производной для определения промежутков монотонности и точек экстремума. И сейчас мы хотим вам предложить творческую работу в группах – составление кластера. Каждая группа будет работать индивидуально по следующим темам:
1-я группа: «Критические точки и точки экстремума функции»;
2-я группа: вам нужно составить алгоритм нахождения точек экстремума функции;
3-я группа: вы работаете над темой «Применение производной»;
4-я группа и 5-я группа будут выполнять эту же работу на английском языке.
На работу вам отводится 5 минут, и не более 1-й минуты на представление своей работы.
(учащиеся выполняют работу в группах; учителя корректируют их работу, учащиеся представляют свою работу)
Выводы:

Учитель математики: Как уже отмечалось на начало урока, латинские слова max и min соответственно означают «наибольшее» и «наименьшее» значения. В начале эпохи, разнообразные задачи естествознания, науки и техники требовали создания общего метода для нахождения наибольшего и наименьшего значения величин. В своей работе «Метод исследования максимумов и минимумов» Пьер Ферма практически продублировал методы исследования функции на монотонность и экстремум Лейбница и Ньютона, именно те, которыми мы пользуемся и по сей день.
Учитель английского языка: Учение о максимумах и минимумах находит разнообразное и важнейшее практическое применение и в нашу эпоху, когда вопросы повышения производительности труда, связанные с рациональным использованием времени, сырья для фабрик и т.д., занимают первостепенное место в экономике и жизни современного общества.

VII. Защита творческих проектов:
Учитель английского языка: Российский математик 19 века Пафнутий Львович Чебышев говорил: «Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».
(связать с применением производной в технике, химии, биологии, географии, экономике). Затем об изобретениях, о лауреатах Нобелевской премии.
(Дополнить информацией о Назарбаеве и Карипбеке Куюкове – выдвинутых на соискание Нобелевской Премии Мира)
Учитель математики: Да, математики не удостаиваются столь высокой и престижной награды, как Нобелевская премия. По этому поводу ходит много разных слухов и легенд, однако, самая достоверная из них, это – такая версия: Наиболее вероятным представляется то, что Нобель хотел присуждать премию за достижения, приносящие конкретную и ощутимую пользу человечеству математические достижения обычно таковыми не считаются (однако, несколько математиков получили Нобелевские премии по экономике). Либо это то, что, по словам директора исполнительного комитета Нобелевского фонда: « скорее, математика просто не входила в сферу интересов Нобеля. Он завещал деньги на премии в близких ему областях».
Однако для математиков мира учреждена Премия Филдса. Джон Чарльз Филдс - Канадский математик, основатель Филдсовской премии за выдающиеся достижения в математике. Филдсовская премия (англ. Fields Medal) международная премия и медаль, которые вручаются один раз в 4 года на каждом международном математическом конгрессе двум, трём или четырём молодым математикам не старше 40 лет (или достигших 40-летия в год вручения премии), за общий вклад в математику. Сумма денежной премии относительно невелика 15000 канадских долларов.
Филдсовская медаль. Оборотная сторона. Филдсовская медаль изготовляется из14-каратного золота (583 пробы). На лицевой стороне надпись на латыни: «Превзойти свою человеческую ограниченность и покорить Вселенную» и изображение Архимеда. А на обороте:«Математики, собравшиеся со всего света, чествуют замечательный вклад в познания». Первые лауреаты были названы на конгрессе в Осло в 1936 г. Ими стали: Джесси Дуглас, Нью-Йорк, из Массачусетского технологического института за решение задачи Плато и Ларс Альфорс 1, за работу по теории римановых поверхностей. Филдсовскую премию часто называют «Нобелевской премией для математиков».
Учитель английского языка: Представление тем творческих проектов групп:
«Производная в биологии и химии»;
«Производная в физике»;
«Производная в географии»;
«Экономический смысл производной».
(выступление групп)
Выводы: (учитель английского языка)
VIII. Закрепление изученного:
Учитель математики: Ещё Н.И. Лобачевский говорил: «нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира» в чем мы с вами убедились, слушая с интересом проекты, которые были представлены группами. Ну а чтобы вы в дальнейшем так же могли использовать с пользой производные функций, мы решили проверить ваши знания и подготовили тестовые задания.
Тестирование: (2 варианта)
1. Найти производную функции:
f(x) = xІ + cos2x; f(x) = sinx/2 - xі;
2. Найти промежутки монотонности функции:
убывание: возрастание:
f(x) = xІ - 6х + 5; f(x) = xІ - 4х + 3;
3. Найти точки экстремума функции:
f(x) = - xІ - 4х + 5. f(x) = - xІ + 6х + 8.
(+ 4 задания по английскому языку)
Самопроверка по слайду (за каждое верное задание по 1 баллу).
Выводы: результаты тестирования.
IX. Подведение итогов урока: выставление оценок за урок, комментирование работы класса.
X. Домашнее задание:
алгебра - § 18, теория; № 267 - № 270 (1-й столбик) – найти экстремумы функции (значения абсциссы);
английский язык – написать эссе «Чтобы я хотел изобрести»
XI. Рефлексия:
Учитель английского языка: пожелание успехов в будущем.
«Что есть больше всего на свете?Пространство.Что мудрее всего?Время.Что приятнее всего?Достичь желаемого». Фалес Милетский (греческий математик)
Желаю всем достичь желаемого.

Учитель математики: Закончить сегодняшний урок мне бы хотелось такой притчей.
Притча о строительстве Храма.
Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележку с камнями для строительства. Мудрец остановил их и задал каждому по вопросу. У первого спросил: “Что ты делал целый день?”. Тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго спросил: “А что ты делал целый день?”. Тот ответил: “Я добросовестно выполнял свою работу”. А третий на тот же вопрос мудреца улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием. “А я принимал участие в строительстве храма”. Пусть каждый из вас, ребята, сам оценит свою работу на уроке.
(используются сигнальные карточки)
Кто работал как первый человек? Поднимает синюю карточку.
Кто работал как второй человек? Поднимает зелёную карточку.
Кто работал как третий человек? Поднимает красную карточку.
Учитель математики: Я желаю вам всегда работать с радостью и удовольствием.
Благодарю за сотрудничество и понимание. Урок окончен. До свидания!

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Equation NativeEquation Native