Методика опережающего знакомства с теоремой Виета при решении квадратных уравнений общего вида

Методика опережающего знакомства
с теоремой Виета при решении квадратныхуравнений общего вида
Хорошо известно, что при изучении темы: «Квадратные уравнения», сначала идет знакомство с универсальной методикой решения, а затем с теоремой Виета. При этом возникает проблема, состоящая в том, что, овладев навыками решения квадратных уравнений через дискриминант, ребята неохотно применяют теорему Виета на практике. Их логика такова: «Я и так решу любое квадратное уравнение. Зачем мне еще теорема Виета?» При этом любые доводы о том, что с теоремой Виета решать многие квадратные уравнения быстрее, для подавляющего большинства учащихся, кажутся неубедительными. Им «мешает» универсальная методика.
Поэтому я решила попробовать научить ребят решать квадратные уравнения с помощью теоремы Виета до знакомства с универсальной методикой.
После первого урока по теме «Квадратные корни», учащимся объявляется цель изучения этой темы, а цель – научиться решать уравнения вида:
ax2+bx+c=0 (a≠0).
Затем, на каждом последующем уроке, мы 10-12 минут уделяем решению квадратных уравнений общего вида. Структура подачи материала следующая:
I. В течении первых двух уроков мы устно решаем уравнения вида:
1) (х-2)(х-3)=0; (х+5)(х+8)=0; (х-12)(х+16)=0;…
2) (4х+3)(х-2)=0; (х-8)(5х+4)=0; (0,4х+3)(х+1)=0…
II. Следующие два урока мы посвящаем переходу к равносильному квадратному уравнению.
(х-1)(х-7)=0 = х2-8х+7=0 = х1=1,
х2=7.
(х-3)(х+2)=0 = х2-х-6=0 = х1=3,
х2=-2.
(5х-4)(х-1)=0 = 5х2-9х+4=0 = х1=4/5,
х2=1. И т. д.
При этом мы ставим главную цель: научиться обратному переходу, т.е.
х2+5х-14=0 = (х-2)(х+7)=0 = х1=2,
х2=-7.
х2-9х+8=0 = (х-1)(х-8)=0 = х1=1,
х2=8.
III. После четырех уроков ставится задача: как найти корни квадратного уравнения, если они целые?
Записываем уравнение:
х2-8х+15=0
Допустим, что х=a – целый корень уравнения, тогда а2-8а+15=0 – верное равенство, при этом а2-8а делится на а, 0 делится на любое число ( кроме 0), тогда 15 делится на а. Значит возможные значения числа а следующие: +1; +3; +5; +15.
Подбором мы убеждаемся, что число 3 является корнем данного уравнения.
Далее в течение трех или четырех уроков мы занимаемся «угадыванием» только одного корня у квадратных уравнений двух видов.
1-ый вид уравнений:
а) х2-5х+6=0;
б) х2+9х-10=0;
в) х2-7х+12=0;
г) х2+9х+18=0…
2-ой вид уравнений:
а) 2х2+5х-7=0;
б) 3х2+7х-10=0;
в) 4х2+х-18-0;
г) 2х2-3х-9=0…
При рассмотрении примеров эти виды уравнений лучше перемежать между собой, причем в уравнениях второго вида желательно, чтобы целые корни не выходили за рамки +1; +2; +3.
IV. Затем учащимся формулируется теорема Виета для приведенного квадратного уравнения:
x2+px+q=0 x1+x2=-p (1)
x1 x2=q (2), где х1 и х2 корни уравнения.
После этого мы начинаем заниматься поиском уже двух целых корней, опираясь на принцип логического угадывания и на соотношение (2). Например: х2-12х+20=0. Подбором ребята легко угадывают корень х1=2, а после, по следствию из теоремы Виета, х2=20/х1; х2=10.
На протяжении нескольких уроков мы отрабатываем навык нахождения целых корней разнообразных приведенных квадратных уравнений (при условии, что оба корня целые числа).
Надо отметить, что такой подход к решению квадратных уравнений общего вида с целыми корнями, во многих случаях гораздо более эффективен, чем прямое использование принципа:
х1+х2=-p,
х1 x2=q.
Особенно это будет видно на следующем этапе.
V. После этого рассматривается формулировка теоремы Виета для неприведенного квадратного уравнения:
ах2+bx+c=0 (a=0)
х1+x2=-b/a (3)
х1 x2=c/а (4) , где х1 и х2 корни квадратного уравнения.
Формула является «пугающей» для ученика 8-го класса.
Начинаем разбирать эту теорему для практики:
5х2+8х-13=0.
Ребята легко угадывают корень х1=1, а далее из соотношения (4)
х1 х2=-13/5, тогда х2=-13/5.
Рассматривается большое количество таких примеров, у которых целый корень 1 или -1, чтобы учащиеся привыкли к соотношению (4).
6х2+4х-10=0; 7х2-3х-4=0;
9х2-4х-5=0; 8х2+3х-11=0…
Обязательно нужно предложить ребятам самостоятельно придумать похожие примеры, они охотно выполняют это задание.
Затем добавляются уравнения с целыми корнями +2 и +3.
5х2-3х-14=0; 2х2+3х-9=0; 4х2-5х-6=0…
Образец решения на доске:
3х2-8х-3=0.
Заметим, что целый корень х1=3;
по теореме Виета х1 х2=-1; 3х2=-1; х2=-1/3.
VI. В дальнейшем учащимся предлагается формула
ах2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) ,
где х1 их2 корни уравнения ах2+bх+с=0.
И естественно в больших количествах рассматриваются переходы:
х2-5х+6=0 = (х-2)(х-3)=0 = х1=2,
х2=3.
х2-14х+33=0 = (х-3)(х-11)=0 = х1=3,
х2=11.
5х2+7х-12=0 = 5(х-1)(х+12/5)=0 = х1=1,
х2=-12/5. И т.д.
Можно также потренироваться в разложении квадратного трехчлена на множители:
х2-8х+9=(х-1)(х-8)
3х2+5х-8=3(х-1)(х+8/3) и т. д.
Опережающее знакомство с теоремой Виета позволит в дальнейшем, после усвоения универсальной методики решения квадратного уравнения общего вида, находить корни гораздо быстрее. Это позитивно отразится на качестве решения уравнений и неравенств более сложной структуры, например иррациональных, логарифмических и т. д.