Методические указания по организации самостоятельной работы студентов. Дисциплина: Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Иркутской области
Иркутский региональный колледж педагогического образования
(ГБПОУ ИО ИРКПО)
Кафедра математики и информатики
Методические указания
по организации самостоятельной работы студентов
Специальности:
44.02.02 Преподавание в начальных классах
44.02.03 Педагогика дополнительного образования
49.02.01 Физическая культура
Дисциплина: Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия
Иркутск 2016

Организация разработчик: ГБПОУ ИО ИРКПО
Разработчик:
Парникова М.В., преподаватель математики___________________
Терещенко К.А., преподаватель математики____________________
Тумина Т.К., преподаватель математики_______________________
Рассмотрены и утверждены на заседании кафедры Математики и информатики
Протокол № 9 от «5» мая 2016 г.
Зав. кафедрой _____________________________/Гусева А.В./
Утверждены на заседании научно-методического совета
Протокол № __ от «___» __________ 2016 г.
Заместитель директора по ОД_________________/Тимергалеева Ж.Г./
Методические указания к выполнению самостоятельной работы студентов по дисциплине Математика / сост.: Парникова М.В., Терещенко К.А., Тумина Т.К. – Иркутск: ГБПОУ ИО ИРКПО, 2016. -78 с.
Методические указания предназначены для оказания методической помощи студенту при выполнении самостоятельной работы по дисциплине Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия.
© ГБПОУ ИО ИРКПО, 2016
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Пояснительная записка PAGEREF _Toc442965581 \h 4МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ PAGEREF _Toc442965582 \h 8Раздел 1. Геометрия9Тема 1.1. Прямые и плоскости в пространстве9Тема 1.2. Координаты и векторы10Тема 1.3. Многогранники11Тема 1.4. Тела и поверхности вращения12Тема 1.5. Измерения в геометрии14Раздел 2. Алгебра и начала анализа PAGEREF _Toc442965587 \h 23Тема 2.1. Развитие понятия о числе PAGEREF _Toc442965588 \h 23Тема 2.2. Корни, степени и логарифмы. PAGEREF _Toc442965589 \h 25Тема 2.3. Основы тригонометрии33Тема 2.4. Функции, их свойства и графики41Тема 2.5. Начала математического анализа PAGEREF _Toc442965592 \h 45
Тема 2.6. Интеграл и его применение55Раздел 3. Комбинаторика. Статистика и теория вероятностей72Тема 3.1. Элементы комбинаторики72Тема 3.2. Элементы теории вероятностей.Элементы математической статистики75Список использованной литературы78


Пояснительная запискаДанные методические указания разработаны на основе программы учебной дисциплины «Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия» для специальностей среднего профессионального образования в соответствии с федеральным базисным учебным планом. Максимальная нагрузка обучающегося на изучение предмета составляет 234 часа, в том числе обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 156 часов, самостоятельной работы обучающегося 78 часов.
Методические указания разработаны для студентов специальностей 44.02.02 Преподавание в начальных классах, 44.02.03 Педагогика дополнительного образования; 49.02.01 Физическая культура и предназначены для реализации требований федерального государственного образовательного стандарта и рабочей программы по дисциплине Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия; оказания методической помощи студенту при выполнении самостоятельной работы.Содержание методических указаний направлено на достижение следующих целей:
обеспечения сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;
обеспечения сформированности логического, алгоритмического и математического мышления;
обеспечения сформированности умений применять полученные знания при решении различных задач;
обеспечения сформированности представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.
Самостоятельная работа по дисциплине «Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия» направлено на достижение следующих результатов:
личностных:
сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;
развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;
готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;
отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;
метапредметных:
умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;
умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
владение языковыми средствами – умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения;
целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;
предметных:
сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;
сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать. поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;
владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;
сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;
владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.
Тематика самостоятельной работы по дисциплине
«Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»
Раздел Тема Форма контроля Время
Раздел 1. Геометрия Тема 1.1. Прямые и плоскости в пространстве
Тема 1.2. Координаты и векторы
Тема 1.3. Многогранники письменная работа в тетрадях
макеты двугранных углов 4
письменная работа в тетрадях 2
письменная работа в тетрадях
модели многогранников 4
Тема 1.4. Тела и поверхности вращения
письменная работа в тетрадях
модели тел вращения 4
Тема 1.5. Измерения в геометрии
письменная работа в тетрадях
2
Раздел 2. Алгебра, начала математического анализа, геометрия Тема 2.1. Развитие понятия о числе
Тема 2.2. Корни, степени и логарифмы
Тема 2.3. Основы тригонометрии
Тема 2.4. Функции, их свойства и графики
Тема 2.5. Начала математического анализа
Тема 2.6. Интеграл и его применение
Тема 2.7. Уравнения и неравенства
письменная работа в тетрадях
4
письменная работа в тетрадях
8
письменная работа в тетрадях
8
письменная работа в тетрадях
6
письменная работа в тетрадях
12
письменная работа в тетрадях
2
письменная работа в тетрадях
16
Раздел 3. Комбинаторика. Статистика и теория вероятностей. Тема 3.1. Элементы комбинаторики
Тема 3.2. Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.
письменная работа в тетрадях
подготовка реферта4
письменная работа в тетрадях
2
Обобщенные критерии оценки качества выполнения самостоятельной работы
Ответ оценивается отметкой «отлично», если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «хорошо » ставится в следующих случаях:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны;
допущены одна ошибка или есть два – три недочёта;
Отметка «удовлетворительно» ставится, если:
допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов, но обучающийся обладает обязательными умениями по данной теме.
Отметка «неудовлетворительно» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

РАЗДЕЛ 1. Геометрия
Тема 1.1. Прямые и плоскости в пространстве
Методические указания к самостоятельной работе №1
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа).
Цель: Развитие интереса к предмету.
Задание 1: Написать сказку «Приключения прямой и плоскости в пространстве»
Методические рекомендации
Повторить конспект темы «Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью».
Составить план сказки и написать её. При написании сказки обязательно использовать изученные определения, теоремы и аксиомы стереометрии. Объем работы зависит от собранного материала.
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Задание 2: Изготовить макеты двугранных углов, с заданной градусной мерой.
Методические рекомендации
1. Повторить конспект темы «Двугранный угол».
2. Изготовить макеты двугранных углов с заданной градусной мерой, в качестве материала для макета использовать картон.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.
4) Полезные Интернет – сайты:
а) http://shkola.lv/index.php?mode=lsntheme&themeid=92
б) http://www.mathmath.ru/node21 -1.php
в) http://yunc.org/УГОЛ
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.

Тема 1.2. Координаты и векторы
Методические указания к самостоятельной работе №2
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Знать правила действия над векторами и уметь применять их при вычислениях.
Задания:
№ 1. Найти длину вектора , если A (-4;-3;1) и B(6;9;5)
№ 2. Найти координаты т. М – середины отрезка АВ, если А (7;1;5) и В(-8;4;-1).
№ 3. Найти 4a+3b, если a = (-1;4;-3), b = -2;3;-2.№ 4. Найти скалярное произведение векторов a = (-2;-3;1), b = (-5;8;-4)
№ 5. Найти косинус угла между векторами a = (-4;3;-5), b = (-5;-3;4)№6. Найдите скалярное произведение вектора a на вектор b и сделайте вывод, каков угол между этими векторами (острый, прямой, тупой)
Векторы Скалярное произведение векторов Какой угол между векторами
1 a{-5;7}
b{2;1} 2 a{-4;5}
b{15;4} 3 a{3;1}
b{;-6} 4 a{-22;34}
b{17;11} 5 a{2;19}
b{13;-6} 6 a{-15;7}
b{-8;5} Методические рекомендации
Повторить конспект темы «Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычисление векторов. Умножение вектора на число». «Разложение вектора по направлениям. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов».
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Тема 1.3. Многогранники
Методические указания к самостоятельной работе №3
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Развитие интереса к предмету, закрепить понятие многогранника при изготовлении моделей, используя развертки.
Задание 1. Изготовить модель многогранников (призма, пирамида). Вычислить площадь поверхности полученных моделей многогранников.
Задание 2.
1. Дано: MNPLK - правильная четырёхгранная пирамида: MC | KL
255016011176000
1. Назовите:
а) боковые грани;
б) боковые рёбра;
в) вершину пирамиды;
г) основание.
2. Назовите:
а) апофему пирамиды;
б) высоту пирамиды
3. Запишите формулы для нахождения:
а) боковой поверхности пирамиды;
б) полной поверхности пирамиды.
4. Сторона основания - 9см, апофема - 8 см. Найдите площадь полной
поверхности пирамиды.
5. Боковое ребро пирамиды 5 см, апофема 4 см. Найдите площадь полной
поверхности пирамиды.
Задание 3.
В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите высоту призмы, если её площадь равна 54, а радиус цилиндра равен 3.
Ответ: 1,5
Методические рекомендации
1) Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием, так называемых, развёрток.
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.

2) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Понятие призмы, пирамиды, правильного многогранника».
Форма отчетности: изготовление моделей многогранников, письменная работа в тетради
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.
Тема 1.4. Тела и поверхности вращения
Методические указания к самостоятельной работе №4
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Закрепить понятие тел вращения при изготовлении моделей, используя развертки.
Задание 1. Изготовить модель цилиндра и конуса, вычислить площадь основания.
Задание 2. Задание для проверки теоретической части домашнего задания
1. Нанесите на рисунок основные элементы цилиндра.

2. Изобразите а) осевое сечение цилиндра; б) сечение цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра; в) сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра. Какая фигура получается в каждом случае?

3. Запишите формулы для вычисления площади поверхности цилиндра.
Что можно найти по этим формулам? Что должно быть известно в этих случаях?
Задание 3. Решите задачи:
а) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: высоту цилиндра.
б) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: радиус цилиндра
в) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: площадь основания цилиндра
Методические рекомендации
1) Одним из способов изготовления тел вращения является способ с использованием, так называемых, развёрток.
Если модель поверхности тела вращения изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по образующей, отделить основание и развернуть так, чтобы она превратится в модель некоторого многоугольника плюс круг. Эту фигуру называют развёрткой поверхности тела вращения. Для получения модели тела вращения удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели тел вращения можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все элементы.

4445124460
Используя развертки тел вращения, изготовьте их модели.
2) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Понятия цилиндра, конуса, шара, сферы».
Форма отчетности: изготовление моделей тел вращения, письменная работа в тетради.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.
Тема 1.5. Измерения в геометрии
Методические указания к самостоятельной работе №5
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Знать формулы для нахождения объемов многогранников и тел вращения.
Задание 1. Выполнить индивидуальные задания по карточкам.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №1 Задание 1.
Запишите определение:
многогранник – это… Задание 2.
Решите задачу:
Основанием прямой четырёхугольной призмы является прямоугольник со сторонами 4 см и 5 см. Длина бокового ребра равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Задание 3.
Решите задачу:
Найти площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, у которой высоты боковых граней 7 см, а стороны оснований 4 см, 5 см и 5 см. Задание 4.
Решите задачу:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: высоту цилиндра.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №2 Задание 1.
Запишите определение:
пирамида – это… Задание 2.
Решите задачу:
В прямой четырёхугольной призме основание – квадрат с периметром 28 см, длина бокового ребра 6 см. Найдите полную поверхность призмы.
Задание 3.
Решите задачу:
Найти площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды, у которой сторона основания 4 см, а апофема 5 см? Задание 4.
Решите задачу:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: радиус цилиндра
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №3 Задание 1.
Запишите определение:
призма – это… Задание 2.
Решите задачу:
В основании прямой четырёхугольной призмы - прямоугольник со сторонами 5 см и 7 см. Площадь боковой поверхности призмы равна 144 см2. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Задание 3.
Решите задачу:
Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а. Высота пирамиды равна а√3. Найдите сторону основания пирамиды. Задание 4.
Решите задачу:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: площадь основания цилиндра
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №4 Задание 1.
Запишите определение:
параллелепипед – это… Задание 2.
Решите задачу:
Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 210 см2, а площадь её боковой поверхности равна 160 см2. Найдите чему равна сторона основания и высота ребра. Задание 3.
Решите задачу:
Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а. Высота пирамиды равна а√3. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды; Задание 4.
Решите задачу: Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 40 см. Найдите: высоту цилиндра.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №5 Задание 1.
Запишите определение:
тетраэдр – это… Задание 2.
Решите задачу:
В основании четырёхугольной призмы - прямоугольник со сторонами 5 см и 7 см. Все боковые рёбра призмы равны. Высота равна 9 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. Задание 3.
Решите задачу:
Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а. Высота пирамиды равна а√3. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Задание 4.
Решите задачу:
Решите задачу: Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 40 см. Найдите: So цилиндра.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №6 Задание 1.
Запишите определение:
цилиндр – это… Задание 2.
Решите задачу:
Дана правильная четырёхугольная призма. Её высота равна 6 см, а периметр основания 32 см. Найдите площадь полной поверхности.
Задание 3.
Решите задачу:
Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза АВ равна 29см, катет АС равен 21см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Задание 4.
Решите задачу:
В основании прямой четырёхугольной призмы - прямоугольник со сторонами 5 см и 7 см. Площадь боковой поверхности призмы равна 144 см2. Вычислите объём призмы.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №7 Задание 1.
Запишите определение:
конус – это… Задание 2.
Решите задачу:
Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 12 см, высота 8 см. Вычислите боковую поверхность. Задание 3.
Решите задачу:
Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 3 см, а высота – 4 см. Задание 4.
Решите задачу:
Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания – 5 м2. Найдите высоту цилиндра.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №8 Задание 1.
Запишите определение:
диагональ призмы – это… Задание 2.
Решите задачу:
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды. Задание 3.
Решите задачу:
Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 2 см, а высота – 3 см. Задание 4.
Решите задачу:
Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 210 см2 , а площадь её боковой поверхности равна 160 см2 . Вычислите объём призмы.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №9 Задание 1.
Запишите определение:
прямая призма – это… Задание 2.
Решите задачу:
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы. Задание 3.
Решите задачу:
Дана правильная усеченная четырехугольная пирамида. Длины оснований равны  5 см,  3 см. Апофема L = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры. Задание 4.
Решите задачу:
Высота цилиндра 10см. Радиус основания 3см. Найти площадь боковой поверхности и объём цилиндра.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №10 Задание 1.
Запишите определение: наклонная призма – это… Задание 2.
Решите задачу:
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро. Задание 3.
Решите задачу:
Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды. Задание 4.
Решите задачу:
В основании четырёхугольной пирамиды - прямоугольник со сторонами 5 см и 7 см. Все боковые рёбра пирамиды равны. Высота равна 9 см. Найдите объём пирамиды.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №11 Задание 1.
Запишите определение:
высота пирамиды – это Задание 2.
Решите задачу:
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 2см и 3см. Объем призмы равен 12. Найдите ее боковое ребро. Задание 3.
Решите задачу:
Цилиндр получен вращением квадрата со стороной 5см вокруг одной из его сторон. Найдите объем полученного цилиндра.
Задание 4.
Решите задачу:
Дана правильная четырёхугольная пирамида. Её высота равна 6 см, а периметр основания 64 см. Найдите объём пирамиды.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №12 Задание 1.
Запишите определение:
правильная пирамида – это… Задание 2.
Решите задачу:
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 8, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы. Задание 3.
Решите задачу:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S вершина, SО = 12, диагональ квадрата 18. Найдите боковое ребро SD. Задание 4.
Решите задачу:
Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота – 5 см, найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №13 Задание 1.
Запишите определение:
апофема – это… Задание 2.
Решите задачу:
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5. Объем призмы равен 40. Найдите ее боковое ребро.
Задание 3.
Решите задачу:
В правильной треугольной пирамиде SABC К- середина ребра ВС, S – вершина. Известно, что АВ = 7, а площадь боковой поверхности равна 168. Найдите длину отрезка SК. Задание 4.
Решите задачу:
Радиус основания цилиндра в два раза меньше образующей, равной 4а. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №14 Задание 1.
Запишите определение:
основания цилиндра – это Задание 2.
Решите задачу:
Найти площадь правильной треугольной призмы, сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см.
Задание 3.
Решите задачу:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SA=13, диагональ основания 24. Найдите длину отрезка SO. Задание 4.
Решите задачу:
Радиус основания цилиндра равен 8 см, высота – 3 см, найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №15 Задание 1.
Запишите определение:
образующая цилиндра – это… Задание 2.
Решите задачу:
В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность равна 120 квадратных сантиметров. Задание 3.
Решите задачу:
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC=17, сторона основания равна 82 . Найдите объём пирамиды. Задание 4.
Решите задачу:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см. Вычислите боковую поверхность пирамиды.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №16 Задание 1.
Запишите определение:
осевое сечение цилиндра – это… Задание 2.
Решите задачу:
В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти объем призмы и площадь полной поверхности. Задание 3.
Решите задачу:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO=8 , диагональ основания =30 . Найдите боковое ребро SC . Задание 4.
Решите задачу:
Найдите площадь полной поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см вокруг его меньшей стороны.
Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»
Карточка №17 Задание 1.
Запишите определение:
высота цилиндра – это… Задание 2.
Решите задачу:
Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если сторона основания равна 5 см, а высота боковой грани равна 4 см. Задание 3.
Решите задачу:
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC=13, сторона основания равна 52 . Найдите объём пирамиды. Задание 4.
Решите задачу:
Найдите радиус цилиндра, если площадь боковой поверхности цилиндра равна 64π м2, а высота – 8 м
Задание 2. Тестовая работа по теме «Тела вращения. Цилиндр».
№ Вариант 1.задача выбор ответа
1 Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота – 5 см, тогда площадь боковой поверхности равна: 40
10
20
4
2 В цилиндре радиуса осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 16 кв.дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 80
96
64
32
3 Радиус основания цилиндра в два раза меньше образующей, равной 4, тогда площадь боковой поверхности равна: 16
32
4
8
4 Площадь полной поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см вокруг его большей стороны, равна: 56
72
88
48
5 Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 64 кв.м, а высота – 4 м, тогда радиус равен: 16
8
26
8
6 Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 10 и 16 см, то площадь основания цилиндра может быть равна: 256
100
24
64
7 Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту и радиус увеличить в три раза? 3
6
9
27
8 Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 12 и 8 см, то площадь боковой поверхности цилиндра может быть равна: 36
64
48
96
9 Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 4 раза а радиус увеличить в 2 раза? не изменится
8
4
2
10 Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 3 раза а радиус увеличить в 12 раз? 4
6
не изменится
8

Вариант 2. выбор вета1 Диаметр основания цилиндра равен 4 см, высота – 3 см, тогда площадь боковой поверхности равна: 40
10
12
4
2 В цилиндре радиуса осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 9 кв.дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 40

60
36
3 Радиус основания цилиндра в три раза меньше образующей, равной 6, тогда площадь боковой поверхности равна: 24
32
4
8
4 Площадь полной поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см вокруг его меньшей стороны, равна: 56


48
5 Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 64 кв.м, а радиус – 8м, тогда образующая равна: 16
4
26
8
6 Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 10 и 16 см, то площадь основания цилиндра может быть равна: 256
100
24

7 Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус увеличить в три раза? 9
не изменится
3
27
8 Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 6 и 8 см, то площадь боковой поверхности цилиндра может быть равна: 
64

48
9 Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту увеличить в 4 раза, а диаметр уменьшить в 2 раза? увеличится в 2раза
увеличится в 8 раз
не изменится
уменьшится в 2 раза
10 Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 3 раза, а радиус увеличить в 6 раз? 2
6
не изменится
3
Задание 3. Вычислите объемы тел вращения:
1 вариант
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите объем данной призмы.

Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м2. Найдите объем цилиндра.

Высота конуса равна . образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в . Найти объем конуса.


Площадь большого круга шара равна 3 см2. Найдите объем шара.

2 вариант
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.

Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите объем цилиндра.

Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь объем конуса.

Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.

Методические рекомендации
1) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Понятия цилиндра, конуса, шара, сферы», «Измерения в геометрии: формулы объема цилиндра, формулы площади поверхности цилиндра».
2) Теоретический материал
№
п/п Наименование фигуры Изображение Формула площадей полной и боковой поверхности
1 Цилиндр



2 Конус



3 Сфера, шар

3) Основные формулы
№
п/п Наименование многогранника Изображение Площадь боковой и полной поверхности
1 Куб

V=a3
2 Прямоугольный параллелепипед
QUOTE
V=a*b*c
V=Sосн*h
3 Призма

V=Sосн*h
4 Пирамида

V=(1/3)*Sосн*h
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.

Раздел 2. Алгебра и начала анализа
Тема 2.1. Развитие понятия о числе
Методические указания к самостоятельной работе №6
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Знать правила действия над приближенными числами без точного учета погрешностей, знать правила действия над приближенными числами с точным учетом погрешностей.
Задание 1. Решение заданий без точного учета погрешностей
1.1 Найти сумму и разность , если:
а) ; б) ; ;в) ; ; г);
1.2. Найти произведение и частное , если
а) ; ; б) ; ;
в) ; ; г) ;
1.3. Найдите значение выражения для ; . Для вычисления рекомендуется пользоваться калькулятором.
1.4. Вычислите, ответ округлите до 0,001.
1 вариант 2 вариант
а) а)
б) б)
в) в)
г) г)
Задание 2. Решение заданий с точным учетом погрешностей
Применив правила для выполнения действий с точным учетом погрешности, выполните действия:
1. Найдите сумму и разность , если:
а) ;
б) ;
в) ;
2. Найдите произведение и частное , если:
а) с точностью до 0,5%; с точностью до 1%;
б) с точностью до 1%; с точностью до 0,5%;
в) с точностью до 0,1%; с точностью до 1%.
3. Масса ящика с конфетами равна кг, масса пустого ящика равна кг. Найти массу конфет.
4. Найти площадь прямоугольника ширины и длины, если м и м с точностью до 1%.
5. Найти степень , если с точностью до 2,5%.
6. Найти , если с точностью до 2,5%.
Методические рекомендации
1) Перед выполнением задания 1, повторите правила выполнения действий без точного учета погрешностей:
1. При сложении, вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеется в данном, с наименьшим числом десятичных знаков.
2. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в данном с наименьшим числом значащих цифр.
3. При возведении в квадрат и куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени.
4. При извлечении квадратных и кубических корней в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном числе.
5. При выполнении промежуточных действий в результате следует сохранять одну лишнюю (запасную) цифру, которую в окончательном результате отбрасывают.
Определение 1: Цифры, записанные справа от запятой, называются десятичными знаками числа.
Определение: Значащими цифрами числа называются все его верные цифры, кроме нулей, записанных левее первой отличной от нуля цифры.
Определение 2: Цифра в записи приближения называется верной, если абсолютная погрешность не превышает того разряда, в котором эта цифра записана. В противном случае цифра называется сомнительной.
2) Перед выполнением задания 2, повторите правила выполнения действий с точным учетом погрешностей:
Правила выполнения действий с точным учетом погрешности:
1. 4.
2. 5.
3.
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.
Тема 2.2. Корни, степени и логарифмы
Методические указания к самостоятельной работе №7
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Знать основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов, свойства степени с целым и рациональным показателем, свойства арифметического корня, уметь применять их при преобразовании выражений.
Задание 1.
Определение: Арифметическим корнем -ой степени из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число , -ая степень которого равна , т.е. , если .
Замечание:
При -четном равенство выполняется только для .
При -нечетном равенство выполняется для любого числа .
Рассмотрим на примере как корень нечетной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем:
Квадратичный корень:
Кубический корень:
Пример 1. Вычислите:
а) ; б) ; в) .
Решение:
а) ;
б) ;
в) .
Упражнение 1
Вычислите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) .
Ответы:
1) 2; 2) -1; 3) 2; 4) -3;
5) 0; 6) 0,4; 7) -0,3; 8) 13;
9) ; 10) ; 11) 0,3; 12) .
Задание 2.
Для любых натуральных





Пример 2. Вычислите:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) . Решение:
а) (свойство 1);
б) (свойство 2);
в) (свойство 3);
г) (свойство 4);
д) (свойство 5).
Упражнение 2
Вычислите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ; 16)
Ответы:
1) 6; 2) 2; 3) ; 4) 15;
5) 100; 6) 81; 7) ; 8) ;
9) -34; 10) -8; 11) 7; 12) 2;
13) 3; 14) 4; 15) 3; 16) 2
Задание 3.
Пример 3. Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) . Решение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;
к) .
Упражнение 3
Вычислите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ; 16) ;
Ответы:
1) 8; 2) 3; 3) 4; 4) 27;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) 8; 10) 5; 11) 9; 12) 7;
13) 3; 14) ; 15) 64; 16) 6;
Задание 4.1
Логарифмом числа по основанию называется показатель степени , в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .
Обозначение: .
Запись равносильна записи , где , , .
Пример 4.1Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) . Решение:
а) , т.к. ;
б) , т.к. ;
в) , т.к. ;
г) , т.к. ;
д) , т.к. ;
е) , т.к. ;
ж) , т.к. .
Упражнение 4.1
Вычислите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ; 16) ;
17) ; 18) ; 19) ; 20) .
Ответы:
1) 2; 2) 3; 3) 3; 4) 5;
5) 2; 6) 4; 7) 4; 8) 3;
9) -2; 10) -2; 11) -3; 12) -6;
13) -4; 14) -5; 15) -3; 16) -7;
17) 3; 18) -1; 19) -5; 20) 2.
Задание 4.2
- десятичные логарифмы
- натуральные логарифмы ()
Пример 4.2 а) Вычислите: , , .
б) Вычислите с помощью микрокалькулятора , .
Решение:
а) , т.к. и ;
, т.к. и ;
, т.к. и .
б) Вычисления с помощью микрокалькулятора проводятся по программам:


Упражнение 4.2
1) Вычислите:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Вычислите с помощью микрокалькулятора:
ж) ; з) . Ответы:
а) -1; б) -4; в) 0;
г) 2; д) 3; е) 0;
ж) 0,845 з) 0,693. Задание 4.3
Пример 4.3. Вычислите:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) . Решение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Упражнение 4.3
Вычислите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ; 16) .
Ответы:
1) 18; 2) 16; 3) 7; 4) 2,5;
5) 12; 6) 6; 7) 3; 8) 6;
9) 32; 10) 64; 11) 3; 12) 8;
13) 144; 14) 49; 15) 27; 16) 8.
Задание 4.4:
Пример 4.4. Вычислите:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) Вычислите с помощью микрокалькулятора .
Решение:
а) (св-ва 3, 4);
б) (св-ва 3, 4);
в) (св-во 1);
г)
(св-ва 2,3);
д) (св-во 6);
е) (св-во 5);
ж) (св-во 6).
Упражнение 4.4
Вычислите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) .
Ответы:
1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) -3;
5) -1; 6) 3; 7) 2; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
13) 2; 14) -8; 15) 2; 16) ;
17) ; 18) 1; 19) 5; 20) 7.
Задание 5:
1 вариант 2 вариант
1. Найдите значение числового выражения:
1. Найдите значение числового выражения:

2. Вычислите:
а) ; б) ;
в) 2. Вычислите:
а) ; б) ;
в)
3. Найдите , если известно, что . 3. Вычислите если известно, что .
4. Вычислить:
а) ;
б) 4. Вычислить:
а) ;
б)
Методические рекомендации
1) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Корни, степени и логарифмы».
2) Свойства логарифмов.
Основное логарифмическое тождество:






- формула перехода к другому основанию

3) Степени чисел от 0 до 10
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
1 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1 7 49 343 2401 16807 117649 1 8 64 512 4096 32768 1 9 81 729 6561 59049 1 10 100 1000 10000 Формулы сокращенного умножения:





Свойства степеней Свойства корней n-ой степени
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005
Тема 2.3. Основы тригонометрии
Методические указания к самостоятельной работе №7
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Знать основные тригонометрические формулы для вычисления тригонометрических выражений, уметь при заданном значении аргумента функции находить значения других трех основных тригонометрических функций.
Задание 1.
Пример 1. Найдите катет и острые углы прямоугольного треугольника по
гипотенузе и катету .
Решение:
129540317500 1) , тогда (, т.к. это длина отрезка)

2) . По таблицам находим угол :
3) . Тогда
Ответ: , , .
Упражнение 1
В треугольнике угол прямой, , . Найдите , , , .
В прямоугольном треугольнике один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна , а один из острых углов . Найдите второй острый угол и катеты.
Ответы:
1. , , , .
2. 10см; 6см.
3. ; ; .
Пример 2. Определите знак выражения:
а) ; б) ; в) .
Решение:
а) Повороту точки на угол соответствует точка единичной окружности, расположенная в III четверти, поэтому .
б) Повороту точки на угол соответствует точка единичной окружности, расположенная в IV четверти, поэтому .
в) Повороту точки на угол соответствует точка единичной окружности, расположенная в I четверти, поэтому .
Ответ: ; ; .
Упражнение 2.
Определите знак чисел:
1) ; 3) ; 5) ; 7) ;
2) ; 4) ; 6) ; 8) .
Ответы:
1) ; 3) ; 5) ; 7) ;
2) ; 4) ; 6) ; 8) .
Четность тригонометрических функций




Пример 3. Вычислите .
Решение:

Ответ: .
Упражнение 3
Найдите значение выражения:
1) ; 3) ;
2) ; 4) .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Периодичность синуса и косинуса.


Пример 4. Вычислить:
а) ; б) ; в) .
Решение:
а) .
б)
.
в) с.
Упражнение 4
Вычислите:
1) ; 4) ; 7) ;
2) ; 5) ; 8) ;
3) ; 6) ; 9) .
Ответы:
1) ; 4) ; 7) ;
2) ; 5) ; 8) ;
3) ; 6) ; 9) .
Задание 2.
Пример 4.
а) Упростите выражение ;
б) Найдите значение .
Решение:
а) По первому правилу в правой части формулы нужно поставить «+», так как синус в I четверти положителен.
По второму правилу синус нужно заменить на косинус, следовательно, .
б) Угол можно представить по второму правилу в виде суммы двумя способами:
или
Пусть
и по второму правилу тангенс заменяется на котангенс, т.е.

Другой способ решения:
Пусть
и по второму правилу замены тангенса не происходит, тогда .
Ответ: .
Упражнение 4
1. Упростите выражение:
а) ; д) ; и) ;
б) ; е) ; к) ;
в) ; ж) ; л) ;
г) ; з) ; м) .
2. Вычислите:
а) ; д) ; и) ;
б) ; е) ; к) ;
в) ; ж) ; л) ;
г) ; з) ; м) .
Ответы:
1.
а) ; д) ; и) ;
б) ; е) ; к) ;
в) ; ж) ; л) ;
г) ; з) ; м) .
2.
а) ; д) ; и) ;
б) ; е) ; к) ;
в) ; ж) ; л) ;
г) ; з) ; м) .
Пример 5. Упростите выражение:
а) ; б) .
Решение:
а)
.
б)
.
Упражнение 5
1. Упростите выражение:
1) ; 4) ; 7) ;
2) ; 5) ; 8) sin28α + cos28α + 1
3) ; 6) ; 9) 1 - sin23α - cos23α
10) 13) 16) sin2α + ctg2α sin2α
11) 14) 17) (tgα + ctgα) sinα cosα
12) 15) cos2α + tg2α cos2α 18) sin2α cos2α (tg2α + ctg2α + 2)
19) sin4α + sin2α cos2α +cos2α 20) sin2α + sin2α cos2α + cos4α
21) cos4α - sin4α + 2 sin2α
22) (2+sinα)(2 - sin α)+(2 + cosα)(2-cos α)
2. Докажите тождества:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) ;
и) ; к) ;
л) ; м) ;
н) ; о) .
Ответы:
1.
1) ; 4) ; 7) ;
2) ; 5) ; 8) 2
3) ; 6) ; 9) 0
10) 1 13) 1 16) 1
11) 1 14) 1 17) 1
12) 1 15) 1 18) 1
19) 1 20) 1 21) 1
22) 7 Задание 3.
Пример 6. Найдите , если и
Решение:

Найдем из основного тригонометрического тождества:



, т.к. , то
и
Тогда
Ответ: .
Упражнение 6.
Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
Ответы:
1) ; ; ; 2) ; ; ;
3) ; ; ; 4) ; ; ;
5) ; ; ; 6) ; ; ;
7) ; ; ; 8) ; ; .
Методические рекомендации
1) Основные тригонометрические тождества.
; ;


и


2) Формулы сложения.






3) Формулы двойного и половинного аргументов.

; ;




4) Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.





5) Значения тригонометрических функций
град 00 300 450 600 900
радиан 0
sin QUOTE 0 1
cos QUOTE 1 0
tg QUOTE 0 1 не существ
ctg QUOTE Не существ 1 0
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005
Тема 2.4. Функции, их свойства и графики
Методические указания к самостоятельной работе №8
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Знать определение функции, элементарной функции, сложной функции, логарифмической функции, показательной функции, тригонометрической функции.
Задание 1.
Пример 1.
1) Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции точка с координатами ?
Решение:
Данная точка принадлежит графику функции , так как .
2) Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение:
По графику функции определяем, что на отрезке - наименьшее значение функции; - наибольшее значение функции.
3) Найти область определения функции .
Решение:
Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме . То есть .
4) Найдите множество значений функции .
Решение:

Домножим на 3 все части неравенства:

Прибавим -1 ко всем частям неравенства:


Значит
Упражнение 1.
1. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции точка с координатами:
а) ; б) ; в) ; г) .
Принадлежит ли графику функции точка с координатами:
д) ; е) ; ж) ; з) .
2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функций и :
а) на отрезке ; б) на луче ;
в) на интервале ; г) на полуинтервале .
3. Найдите область определения функции:
а) ; б) ; в) ; г) .
4. Найдите множество значений функции:
а) ; б) ; в) ; г) .
Ответы:
2. Для функции :
а) ; ; б) ; ; в) ; ; г) ; ;
Для функции :
д) ; ; е) ; ; ж) ; ; з) ; .
3.
а) ; б) ;
в) ; г) .
4.
а) ; б) ;
в) ; г) .
Задание 2.
Упражнение 2
1. Постройте графики функции:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
2. Укажите (не строя график), является ли функция возрастающей, убывающей:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) . 3. Изобразите схематически график функции:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
4. Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравнить числа:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) . Ответы (4):
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) . Задание 3.
Пример 3. а) Сравните числа и ; и .
б) Найдите область определения функции: ; .
Решение:
а) > , т.к. основание 3 > 1 (см. график)
> , т.к. основание 0 < < 1 (см. график)
б) Область определения функции : .
Область определения функции :
Упражнение 3
1. Постройте график функции: а) ; б) .
2. Изобразите схематически график функции:
а) ;б) ; в) ;г) .
3. Сравните числа:
а) и ; б) и ; в) и ; г) и .
4. Найдите область определения функции:
а) ; б) ; в) ; г) .
Ответы: 4) а) ;б) ; в) ; г) .
Задание 4: Ответьте письменно на вопросы:
10. Сформулируйте определение функции, логарифмической функции, тригонометрической функции, показательной функции.
20. Какую функцию называют сложной?
30. Перечислите основные элементарные функции.
40. Какие функции называются элементарными?
Методические рекомендации
Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Построение графиков функций».
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005
Тема 2.5. Начала математического анализа
Методические указания к самостоятельной работе №9
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Уметь применять определение производной и ее механический смысл к решению прикладных задач.
Задание 1.
Пример 1.
а) Найти производную суммы .
Решение:

.
б) Найти производную произведения .
Решение:

= 2х4- 2х2 – х3 – 3х3 –х = 5х4 – 4х3 + 3х2 – 2х.
в) Найти производную частного .
Решение:

.
г) Найти производную сложной функции .
Решение:
.
д) Найти производную тригонометрической функции
.
Решение:
.
е) Вычислить , если .
Решение:
.
Упражнение 1
Найти производную суммы:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) . Найти производную произведения:
15) ; 16) ; 17) ;
18) ; 19) ; 20) .
Найти производную частного:
21) ; 22) ; 23) ;
24) ; 25) ; 26) .
Найти производную сложной функции:
27) ; 28) ; 29) ;
30) ; 31) ; 32) ;
33) ; 34) . Найти производную тригонометрической функции:
35) ; 36) ; 37) ;
38) ; 39) ; 40) ;
41) ; 42) ; 43) ;
44) ; 45) ; 46) .
Найти значение производной функции в данной точке:
47) , ; 48) , ;
49) , ; 50) , .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) 12) ;
13) ; 14) . 15) ;
16) ; 17) ; 18) ;
19) ; 20) ; 21) ;
22) ; 23) ; 24) ;
25) ; 26) ; 27) ;
28) ; 29) ; 30) ;
31) ; 32) 33) ;
34) ; 35) ; 36) ;
37) ; 38) ; 39) ;
40) ; 41) ; 42) ;
43) ; 44) ; 45) ;
46) ; 47) ; 48) ;
49) ; 50) . Задание 2.
Пример 2. а) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой .
Решение:
Так как , то

Ответ: .
б) К графику функции проведена касательная с угловым коэффициентом . Найти координаты точки касания.
Решение:
, т.е. , тогда и

Ответ: .
в) В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой .
Решение: Если касательная параллельна данной прямой, то их угловые коэффициенты равны, т.е. .
Найдем угловой коэффициент касательной к графику данной функции:

Из уравнения прямой , .
Тогда , , .
Ответ: .
Упражнение 2
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой :
1) , ; 2) , ;
3) , ; 4) , .
Найдите координаты точки графика функции , в которой угловой коэффициент касательной к нему равен , если:
5) , ; 6) , ;
7) , ; 8) , .
В какой точке касательная к графику функции параллельна заданной прямой:
9) ; 10) ;
11) ; 12) .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) .
Задание 3.
Пример 3. Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону (м), где - время движения в секундах.
а) Найти скорость тела через 7 с после начала движения.
б) Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 12 м/с?
в) Через какое время после начала движения тело остановится?
Решение:
а)
Тогда
Ответ: 4 м/с.
б)
По условию м/с, значит
и с
Ответ: 15 с.
в)
Так как тело останавливается, то , тогда
и с
Ответ: 3 с.
Упражнение 3
Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону (м), где - время движения в секундах:
1. Найти скорость тела после начала движения:
а) через 3 с; б) через 6 с.
2. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной:
а) 18 м/с; б) 12 м/с.
3. Через какое время после начала движения тело остановится?
Ответы:
1. а) 6 м/с; б) 24 м/с;
2. а) 5 с; б) 4 с;
3. 2 с. Задание 4.
Пример 4. Найти интервалы монотонности функции .
Решение:
Нули производной функции: 0; 2

Значит при
при
Ответ: функция возрастает при ,
функция убывает при .
Упражнение 4
Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
Ответы:
1) возрастает при убывает при
2) возрастает при убывает при
3) возрастает при и ; убывает при ;
4) возрастает при ; убывает при ;
5) возрастает при и ; убывает при ;
6) возрастает при и ; убывает при и ;
7) возрастает при убывает при и
8) возрастает при и ; убывает при .
Задание 5.
Пример 5. Найти точки экстремума и экстремумы функции .
Решение:
Найдем стационарные точки:
, ,

Т.к. в точке знак производной не меняется, то в этой точке экстремума нет.
При переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», поэтому - точка минимума.
Найдем минимум функции:
.
Ответ: , .
Упражнение 5
Найти точки экстремума и экстремумы функции, построить графики функции:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
Ответы:
1) , ;
, ;
, ; 2) , ;
3) , ;
, ; 4) , ;
, ;
5) , ;
, ; 6) , ;
, ;
, ;
Задание 6.
Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
Решение:
Найдем стационарные точки:
, ,
;
Найдем значение функции в точке 2:

Найдем значения функции на концах отрезка:


Из чисел 19, -35, 17 наибольшее 19, наименьшее -35.
Ответ: 19, -35.
Упражнение 6
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке:
1) , ; 2) , ;
3) , ; 4) , .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Методические рекомендации
1) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Производная и ее геометрический, физический смысл», «Уравнение касательной к графику функции», «Правило и формулы дифференцирования. Применение производной для вычисления углового коэффициента касательной, нахождение скорости», «Наибольшее и наименьшее значение функции, экстремума».
2) Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.
Правила.
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Производные основных элементарных функций.
1. , 8.
2. 9.
3. 10.
4. 11.
5. 12.
6. 13.
7. 3.
Экстремумы функции: точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными.
Пусть функция дифференцируема на интервале , и . Тогда:
если при переходе через стационарную точку функции ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то - точка максимума функции ;
если при переходе через стационарную точку функции ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то - точка минимума функции .
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Значения функции в этих точках называют экстремумами (максимумами и минимумами).
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005
Тема 2.6. Интеграл и его применение
Методические указания к самостоятельной работе №10
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Знать метод прямоугольников и метод трапеций вычисления определенного интеграла. Уметь пользоваться формулами прямоугольников и трапеций при нахождении приближенного значения определенного интеграла.
Задание 1.
Пример 1. а) Найти все первообразные функции .
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной осью и параболой
Решение:
а) .
Ответ: .
б) Изобразим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции и осью
Найдем координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс:
и ,
Для функции одной из первообразных является функция
,
Тогда
Ответ: .
Упражнение 1
1. Найти все первообразные функции:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
2. Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) графиком функции , прямыми ; и осью абсцисс;
2) осями координат, графиком функции и прямой ;
3) осью абсцисс и графиком функции ;
4) осью абсцисс и графиком функции ;
5) графиком функции , прямыми ; и осью абсцисс;
6) осями координат, графиком функции и прямой .
Ответы:
1.
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
2.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Методические рекомендации
1. Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Понятие интеграла и первообразной».
2.
Функция называется первообразной функции на данном промежутке, если для любого из этого промежутка .
Функция 0
Первообр.
Площадь криволинейной трапеции: .
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.
Тема 2.7. Уравнения и неравенства
Методические указания к самостоятельной работе №11
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Уметь с помощью графика находить решение уравнений и неравенств. Применять правила решения тригонометрический, показательных, логарифмических уравнений и неравенств при решении задач.
Задание 1.
Пример 1. Найти корни уравнения , принадлежащие промежутку
Решение:
Воспользуемся графическим способом решения уравнения. Для этого построим графики функций на промежутке и .
Решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций , и : ; .
Ответ: ; .
Упражнение 1.
Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку :
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) .
Решите уравнения:
13) , ; 14) , ;
15) , ; 16) , ;
17) , ; 18) , ;
19) , ; 20) , ;
21) , ; 22) , .
Ответы:
1) ; ; 2) ; ; 3) ; ; 2
4) ; ; 5) ; ; 6) ;
7) ; ; 8) ; ; 9) ; ;
10) ; ; 11) ; ; 12) ; .
13) ; ; 14) ; ; ;
15) ; ; ; 16) ; ; ;
17) ; ; ; 18) ; ;
19) ; ; 20) ; ;
21) ; ; 22) ; ;

Пример 2. Решите уравнения:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Решение:
а)


б)


в)


г)




д)



е)





Упражнение 2
Решите уравнение:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) .
13) ; 14) ; 15) ;
16) ; 17) ; 18) ;
19) ; 20) ; 21) .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ;
16) ; 17) ; 18) ;
19) ; 20) ; 21) .
Задание 2.
1. Выполнить конспект:
Решение неравенств методом интервалов
Схема решения неравенства вида
Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.
Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если четное, то нуль четной кратности, если нечетное – то нечетной).
Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, начиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для приведенного вида неравенства. При переходе справа налево через нуль функции от одного промежутка к соседнему следует учитывать:
если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется;
если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.
Записать ответ.
Пример.
1. нули:
2.
3.
4.
Замечание: Если функция, стоящая в левой части неравенства, содержит множители вида , следует заменить их соответствующими множителями с учетом четности
Примечание.
1.
2.
Применение метода интервалов для решения дробно-рациональных неравенствСтрогие неравенства
(или ), где
равносильно неравенству
(или )
( см. схему решения неравенств)
Пример 5.1.

Ответ:
Нестрогие неравенства
(или ), где
равносильно системе
(или )
(первое неравенство решаем по схеме)
Пример 5.2.

Ответ:
Пример 5.3.

Ответ:
Замечание. Сокращение числителя и знаменателя на во втором примере привело бы к неравенству , решение которого содержит значение , которое не является решением исходного неравенства.
Решите неравенства:
Пример 5.4.

Нули функции в левой части первого неравенства:

Ответ:
Пример 5.5.

Нули функции:

Ответ:
Пример 5.6.


Нули функции в левой части первого неравенства:

Ответ:
Пример 5.7.


Нули функции:

Ответ:
Упражнение 2
Решить неравенства:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) .
Задание 3.
Пример 3. Укажите (не строя график) является ли функция возрастающей, убывающей:
1) ; 2) . Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравните числа:
3) ; 4) . Решение:
1) Функция возрастающая, т.к. основание .
2) Функция убывающая, т.к. основание .
3) Заметим, что . Показательная функция убывающая (основание ) и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, поэтому , т.е. .
4) Показательная функция возрастающая (основание ) и большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому .
Упражнение 3
1. Постройте графики функции:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
2. Укажите (не строя график), является ли функция возрастающей, убывающей:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) . 3. Изобразите схематически график функции:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
4. Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравнить числа:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) . Ответы (4):
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) . Задание 4.
Пример 4. Решите уравнение:
а) ; б) ; в) .
Решение:
а)




Ответ: б)







Ответ: 3
в)








Ответ: Упражнение 4
Решите уравнения:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ;
16) ; 17) ; 18) ;
19) ; 20) ; 21) ;
22) ; 23) ; 24) .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) 6;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) -1; 10) 2; 11) 3; 12) 4;
13) 0; 14) -1; 15) 1; 16) -10;
17) 1; 18) -2; 19) ; 20) 0;
21) ; 22) ; 23) ; 24) 3.
Задание 5.
Пример 5. Решите неравенства:
а) ; б) ; в) .
Решение:
а)
, т. к. основ. , то




Ответ:
б)

, т. к. , то



. Замечание:
Ответ:
в)







. Показательная функция возрастает, т.к. основание
Поэтому
Ответ:
Упражнение 5
Решите неравенства:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) 10) ; 11) ; 12) .
Задние 6.
Пример 6. Решите уравнения:
а) ; б) ; в) ;
г) .
Решение:
а)


Ответ: 216 б)



Ответ: в)
Домножим обе части
уравнения на 2, получим






Ответ: 22
г)
Заметим, что ;
,
получили: .
Перепишем уравнение в виде более удобном для преобразований:

По свойству 1:






Проверка: подставим значение в данное уравнение:




Ответ:
Упражнение 6
Решите уравнения:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ;
16) ; 17) ; 18) ;
19) ; 20) ; 21) ;
22) ; 23) ; 24) .
Ответы:
1) ; 2) 25; 3) 1;
4) ; 5) 3; 6) 3;
7) 2; 8) ; 9) 4,5;
10) 13; 11) 0,6; 12) 2;
13) 19; 14) 1,5; 15) 24997;
16) 1,5; 17) 2,5; 18) -6;
19) 8; 20) -7; 21) 2;
22) ; 23) ; 24) корней нет.
Пример 7. Решите неравенства:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение:
а)
Заметим, что .
Тогда данное неравенство примет вид:
Т.к. функция определена при и возрастает, то:

Ответ: .
б)
, перепишем данное неравенство:

Т.к. функция определена при и убывает, то:

Ответ: .
в)


Т.к. функция , определена при и возрастает, то:

Ответ: .
г)
Т.к. логарифмическая функция с основанием является убывающей, то по
алгоритму решения логарифмических неравенств получаем:

Ответ: .
Упражнение 7
Решите неравенства:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ;
16) ; 17) ; 18) ;
19) ; 20) ; 21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) .
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) 10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ; 16) ;
17) ; 18) ; 19) ; 20)
21) 22) ; 23) ; 24) ;
25) ; 26) ; 27) ; 28) ;
29) ; 30) . Методические рекомендации
1) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения. Системы уравнений», «Рациональные, иррациональные и показательные неравенства. Тригонометрические уравнения»
2) I. Решение простейших тригонометрических уравнений.
Уравнение Формулы решения Частные случаи
при ,
при - решений нет ; ,
; ,
, ,
при ,
при - решений нет ; ,
; ,
; ,
- любое число , -
- любое число , -
II. Тригонометрические уравнения.
Уравнение Способ решения Формулы
Уравнение содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы) вида


и т.д. Уравнение сводится к квадратному (биквадратному) относительно синуса (косинуса)



Однородное уравнение I степени вида

Деление обеих частей на . Получаем:
Однородное уравнение II степени вида

Деление обеих частей на . Получаем:

Уравнение вида
Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой


3)
Логарифмические уравнения: пусть

или решаем уравнение и делаем проверку подстановкой корней в исходное уравнение.
4)
Логарифмические неравенства:


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005
Раздел 3. Комбинаторика. Статистика и теория вероятностей
Тема 3.1. Элементы комбинаторики
Методические указания к самостоятельной работе №12
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: Развитие интереса к предмету.
Задание 1.
Подготовить реферат по теме «Жизнь и научная деятельность И.Ньютона».
Задание 2.
ВАРИАНТ №1
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1. 3, 5, 8, 9 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?
Из 6 открыток надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать?
Решить уравнение Ax3=120Ax4
ВАРИАНТ №2
Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола?
Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если можно использовать материал семи различных цветов?
Решить уравнение 30x=Ax3ВАРИАНТ №3
Из 10 кандидатов нужно выбрать 3 человека на конференцию. Сколькими различными способами это можно сделать?
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?
Решить уравнение 30Ax-23=Ax5ВАРИАНТ №4
Бригадир должен отправить на работу бригаду из 3 человек. Сколько таких бригад можно составить из 8 человек?
На собрании должны выступить 5 человек (A, B, C, D, E). Сколькими способами их можно разместить в списке выступающих, если А должен выступать первым?
Решить уравнение 20Ax-23=Ax5ВАРИАНТ №5
Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?
Сколькими способами можно выбрать гласную букву из слова журнал?
Решить уравнение xAx3=112ВАРИАНТ №6
Сколькими способами можно составить список из 6 человек?
Сколькими способами собрание. Состоящее из 18 человек. Может выбрать из своего состава председателя и секретаря?
Решить уравнение 4Cx+2x-1=Ax3ВАРИАНТ №7
Среди перестановок из цифр 1, 2, 3. 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрами 3 или 5?
Из города А в город В ведут 6 дорог, а из города В в город С ведут 3 дороги. Сколько путей, проходящих через город В, ведут из А в С?
Решить систему уравнений
Axy=9Axy-12Cxy=3Cxy-1ВАРИАНТ №8В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий сыграно в этом турнире?
Имеется 8 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
Решить систему уравнений
Сxy=Сxy+2Cx2=66№ варианта Ответы к заданиям варианта
№1 20; 2. 20; 3.{23}
№2 120; 2. 210; 3. {7}
№3 1.120; 2. 96; 3. {6; 25}
№4 56; 2. 24 3.{5}
№5 720; 2.15; 3. {5}
№6 1.720; 2.306; 3. {5}
№7 72; 2. 18; 3. {(14;6)}
№8 105; 2. 56; 3.[(12;5)}
Задание 3.
Вариант 1.
Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1) 30 2) 100 3) 120 4) 5
2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
1) 128 2) 35960 3) 36 4)46788
3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
1) 10 2) 60 3) 20 4) 30
4. Вычислить: 6! -5!
1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000
5. Решить относительно n уравнение : Рn+2 /Pn=12
1)8 2)9 3)7 4)2
6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?
1)0,1 2) 0,5 3) 0,125 4) 0,625
7*. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?
1) 0,02 2) 0,00012 3) 0,0008 4) 0,002
Вариант 2.
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1) 100 2) 30 3) 5 4) 120
2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?
1) 3 2) 6 3) 2 4) 1
3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.
1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450
4. Вычислите: 6!+ 4!
1)544 2) 10 3) 30 4) 744
5. Решить относительно n уравнение :1/ Pn-4= 20/ Pn-2
1)2 2)4 3) 12 4) 7
6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?
1) 0,25 2)0,0625 3) 0,5 4) 0,125
7*. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?
1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04 4) 0,8
Ответы к тестам
Вариант 1
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 3 2 4 1 4 3 4
Вариант 2
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 4 1 2 4 4 1 1
Методические рекомендации
1. Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Основные понятия комбинаторики. Основные формулы комбинаторики. Размещения, сочетания, перестановки»
2. Реферат (см. задание 1) должен быть выполнен с соблюдением методическим рекомендациям по написанию реферата.
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005
Тема 3.2. Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики
Методические указания к самостоятельной работе №13
Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)
Цель: В результате выполнения самостоятельной работы студент должен:
закрепить: основные понятия (генеральная и выборочная совокупности, объем выборки, способы выборки); способы группировки статистических данных (определение вариационного ряда, его смысл и назначение, формулы для оценки параметров генеральной совокупности (понятие, смысл, назначение и расчет размаха вариации, выборочного среднего, дисперсии, среднего квадратического отклонения, моды и медианы). виды случайных событий; синтаксис команд для вычисления вероятностей; свойства вероятности; теоремы сложения и умножения вероятностей.
Задание 1:
Дана выборка 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5. Определить объем и размах выборки. Задать дискретный вариационный ряд. Найти математическое ожидание и дисперсию. Построить полигон.
Восстановить распределение частот для выборки объемом n = 30. Написать распределение относительных частот. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, зная ее закон распределения: 
x 2 3 5 8
ni2 6 ? 7
Построить полигоны частот и относительных частот заданного распределения. Найти моду и медиану. 
x 1 3 5 7 9
ni10 15 30 33 12
Найти среднее квадратическое отклонение этой величины.
Построить гистограммы частот и относительных частот распределения: 
Частичный интервал Сумма частот вариант
2-5 9
5-8 10
8-11 25
11-14 6
Задание 2:
К каким классам событий (возможное, невозможное, достоверное) относятся:
а) расстояние между двумя произвольными городами меньше, чем 50 тысяч километров;
б) наугад выбранное слово русского языка заканчивается буквами «нзо»;
в) Вася выиграет в лотерее?
Укажите события, противоположные данным: а) на кубике выпало 1; б) Света получила на экзамене «5»; в) после ночи наступает утро?
Совместны ли события: а) на первом кубике выпало 1, а на втором – 2; б) Юра пошёл в школу, а завтра будет дождь; в) Иванов в настоящее время является президентом страны, и Петров является президентом той же страны.
Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани выпадет число очков, больше чем четыре, равна ...
В урне 7 белых и 9 черных шаров. Из урны наудачу вынимаются два шара. Найти вероятность того, что 1) оба шара будут белыми; 2) оба шара будут черными; 3) один шар будет белым, а один черным.
Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадет 1) одинаковое число очков на обеих костях; 2) число 11; 3) четное число.
В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: "о, п, р, с, т". Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных "в одну линию" кубиков можно будет прочесть слово "спорт".
32 буквы русского алфавита написаны на отдельных карточках, которые перемешаны. Наудачу вынимают 5 карточек. Найти вероятность, того, что при этом из вытащенных карточек можно составить слово «зачет»
.
В списке из 360 фамилий 7 начинаются с буквы А, 5 - с буквы Е, 8 – с И, 9 – с О, 4 – с У, 2 – с Ю, другие фамилии начинаются с согласной буквы. Какова вероятность того, что наудачу выбранная фамилия начинается с гласной?
Буквы слова ЛИТЕРА написаны на отдельных карточках, которые перемешаны. Наугад выбираются 4 карточки. Найти вероятность того, что при этом получится слово ТИРЕ.
В группе 10 студентов, среди которых 7 отличников. По списку наудачу отобраны 4 студента. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажется 4 отличника.
На стеллаже 1000 книг, из них 150 по информатике и 50 - по математике. Найти вероятность того, что наудачу взятая книга будет по информатике или математике.
На полке стоит 10 различных учебников, из которых два по языкознанию. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 2-х книг есть хотя бы одна по языкознанию.
В читальном зале имеется 12 учебников по информатике, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий : "появился герб", "появилось 6 очков".
На двух полках находятся книги: на первой -10 (из них 3 в переплете), на второй - 15 (из них 6 в переплете). С каждой полки наудачу берут по одной книге. Найти вероятность того, что обе книги окажутся в переплете.
В читальном зале имеется 6 учебников по информатике и 4 по математике. Наудачу взяты 2 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из учебников будет по информатике.
Методические рекомендации
Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «События, вероятность события, сложение и умножение вероятностей».
Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.
Рекомендуемая литература:
1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);
2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.
3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫАлександров А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М. : Просвещение, 2014. – 271 с.
Александров А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М. : Просвещение, 2014. – 272 с.
Башмаков М.И. Математика. Задачник : учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 4-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия» , 2014. – 416 с.
Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 9-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2014. – 256 с.
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М. : Просвещение, 2014. – 431 с.
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М. : Просвещение, 2014. – 464 с.
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – М. : просвещение, 2014. – 255 с.
Пратусевич М.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М. : Просвещение, 2014. – 415 с.
Пратусевич М.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М. : Просвещение, 2014. – 463 с.