МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ по дисциплине Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия специальность 43.02.02. Парикмахерское искусство 39.02.01. Социальная работа
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Самарской области
«Тольяттинский колледж сервисных технологий и предпринимательства»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
по дисциплине Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
специальность 43.02.02. Парикмахерское искусство
39.02.01. Социальная работа
Тольятти
2016
Рассмотрены ПЦК
Протокол № 9 от 03.03.2016 года
Председатель ПЦК ________/Клыгина Л.М. Утверждено Методическим советом
Председатель ________/Жесткова Н.М.
Составитель: Агаева О.И., преподаватель
Пояснительная записка
Методические рекомендации созданы в помощь студентам для работы при подготовке и выполнении самостоятельных работ по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия».
Целью самостоятельной работы студентов является овладение фундаментальными знаниями, профессиональными умениями и навыками деятельности по профилю, опытом творческой, исследовательской деятельности.
Самостоятельная работа студентов способствует развитию самостоятельности, ответственности и организованности, творческого подхода к решению проблем учебного и профессионального уровня. В процессе обучения студент должен не только освоить учебную программу, но и приобрести навыки самостоятельной работы. Студент должен уметь планировать и выполнять свою работу.
Данные методические рекомендации включают перечень работ, правила выполнения, список рекомендуемой литературы, критерии оценивания.
Каждая работа содержит теоретический и практический блоки. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии. Практическая часть содержит задания, пояснения или рекомендации по их выполнению, требования к оформлению и представлению отчета о выполнении. По окончании работы результат представьте преподавателю в тетради для самостоятельных работ или в электронном виде. В случае возникновения вопросов по выполнению Вы всегда можете обратиться за помощью и консультацией к преподавателю.
Изучение математики имеет свои особенности в зависимости от профиля профессионального образования.
При освоении специальностей СПО 43.02.02. Парикмахерское искусство и 39.02.01. Социальная работа социально-экономического профиля профессионального образования математика изучается более углубленно, как профильная учебная дисциплина, учитывающая специфику осваиваемых специальностей. Это выражается в содержании обучения, количестве часов, выделяемых на изучение отдельных тем программы, глубине их освоения студентами, объеме и характере практических занятий, видах внеаудиторной самостоятельной работы студентов.
Самостоятельные работы выполняются с использованием современных образовательных технологий: информационно-коммуникационные технологии, технология уровневой дифференциации, личностно-ориентированная технология обучения, исследовательские методы обучения, проблемное обучение.
Правила выполнения самостоятельных работ
Прежде чем приступить к выполнению задания, прочтите рекомендации к выполнению в данном методическом пособии. Ознакомьтесь с перечнем рекомендуемой литературы, повторите теоретический материал, относящийся к теме работы.
Закончив выполнение самостоятельной работы, Вы должны сдать результат преподавателю. Если возникнут затруднения в процессе работы, обратитесь к преподавателю.
Критерии оценки
Оценка Критерии
«Отлично» Показал полное знание технологии выполнения задания. Продемонстрировал умение применять теоретические знания/правила выполнения/технологию при выполнении задания. Уверенно выполнил действия согласно условию задания.
«Хорошо» Задание в целом выполнил, но допустил неточности.
Показал знание технологии/алгоритма выполнения задания, но недостаточно уверенно применил их на практике. Выполнил норматив на положительную оценку.
«Удовлетворительно» Показал знание общих положений, задание выполнил с ошибками. Задание выполнил на положительную оценку, но превысил время, отведенное на выполнение задания.
«Неудовлетворительно» Не выполнил задание. Не продемонстрировал умения самостоятельного выполнения задания.
Не знает технологию/алгоритм выполнения задания.
Не выполнил норматив на положительную оценку.
Перечень самостоятельных работ
№ п\п Наименование темы Наименование темы самостоятельной работы Форма проведения Учебная нагрузка
1 Развитие понятия о числе Арифметические действия над числами решение примеров 6
2 Корни, степени и логарифмы Преобразование алгебраических выражений решение примеров 6
3 Корни, степени и логарифмы Непрерывные дроби выполнение реферата 4
4 Корни, степени и логарифмы Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений выполнение индивидуальных заданий 6
5 Прямые и плоскости в пространстве Параллельное проектирование выполнение реферата 6
6 Комбинаторика Решение комбинаторных задач решение примеров 6
7 Координаты и векторы Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве разработка презентации 6
8 Основы тригонометрии Сложение гармонических колебаний выполнение реферата 5
9 Основы тригонометрии Преобразование тригонометрических выражений выполнение индивидуальных заданий 6
10 Основы тригонометрии Решение тригонометрических уравнений выполнение индивидуальных заданий 6
11 Функции и графики Роль переменных величин в развитии математики подготовка письменного сообщения 6
12 Функции и графики Преобразования графиков степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций построение графиков функций в электронной таблице MS Excel6
13 Многогранники и круглые тела Построение простейших сечений куба, призмы, пирамиды подготовка письменного сообщения 6
14 Многогранники и круглые тела Правильные и полуправильные многогранники разработка презентации 6
15 Начала математического анализа Понятие дифференциала и его приложения разработка презентации 6
16 Начала математического анализа Применение производной для построения графика функции выполнение индивидуальных заданий 6
17 Интеграл и его применение Вычисление простейших интегралов выполнение индивидуальных заданий 6
18 Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики Схемы повторных испытаний Бернулли подготовка письменного сообщения 6
19 Уравнения и неравенства Решение различных видов уравнений (в том числе с параметрами) решение примеров 6
20 Уравнения и неравенства Решение различных видов неравенств (в том числе с параметрами) решение примеров 6
Итого: 117
Самостоятельная работа №1
Арифметические действия над числами
Цель: закрепить навыки выполнения действий с действительными числами
Теоретическая часть:
Нахождение по нескольким данным числам одного нового числа называется арифметическим действием. В арифметике рассматривается шесть действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень,
извлечение корня.
Числа вида N = {1, 2, 3, ....} называются натуральными. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов.
Числа вида: Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} называются целыми числами, т.е. целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0. Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5.... называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, -4, -5, ...,противоположные натуральным, называются отрицательными целыми числами. Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел: Q = Z {n:m}, где m - целое число, а n - натуральное число.
Среди дробей, обозначающих данное рациональное число, имеется одна и только одна несократимая дробь. Для целых чисел - это дробь со знаменателем 1.
Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.
В виде десятичной дроби можно записать правильную дробь, знаменатель которой равен степени с основанием 10. Если к десятичной дроби приписать справа нуль или несколько нулей, то получится равная ей дробь. Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то эти нули можно отбросить - получиться равная ей дробь. Значимыми цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале.
Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической. Числа не являющиеся целыми или дробными называются иррациональными. Каждое иррациональное число представляется в виде непереодической бесконечной десятичной дробью. Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел: рациональных и иррациональных.
Практическая часть:
Задание: решите примеры по теме «Арифметические действия над числами».
1.Выполните действия:
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 2
Преобразование алгебраических выражений
Цель: закрепить навыки преобразования алгебраических выражений
Теоретическая часть:
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).
Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.
Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.
Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Формулы сокращенного умножения:
квадрат суммы (разности)
разность квадратов
куб суммы (разности)
сумма (разность) кубов
Пример № 1:
Упростите выражение:
Разложением многочлена на множители называется представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.
Способы разложения многочлена на множители:
1. Вынесение общего множителя за скобку
Пример № 2:
Упростите выражение:
4ab-12bc=4b(a-3c)
2. Способ группировки:
Пример № 3:
Упростите выражение:
a4-5a3-2a+10=(a4-5a3)-2(a-5)=a3(a-5) -2(a-5)=(a-5)(a3-2)
3. Применение формул сокращенного умножения:
Пример № 4:
Упростите выражение:
8x3-y6=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)
Практическая часть:
Задание: решите примеры по теме «Преобразование алгебраических выражений».
1. Разложите на множители:
a) a2+b2+2a-2b-2ab;
б) x3+(y-1)x+y;
в) a6-8;
2. Сократите дробь:
а) ;
б)
в)
3. Упростите выражение:
а): ;б): -;в) ;
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 3
Непрерывные дроби
Цель: ознакомится с понятием непрерывных дробей.
Теоретическая часть:
Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида a0;a1;a2;a3⋯=a0+1a1+1a2+1a3⋯где a0 есть целое число и все остальные an - натуральные числа (т.е. положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.
Практическая часть:
Задание: выполните реферат по теме «Непрерывные дроби».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
Математика, которая мне нравится (математика для школьников и студентов, обучение и образование)
URL: http://hijos.ru/2011/06/22/nepreryvnye-drobi/
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению реферата (приложение 1)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки
Самостоятельная работа № 4
Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений
Цель: закрепить навыки преобразования рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений
Теоретическая часть:
Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.
-четное -нечетное
1) существует 2 корня всегда существует один корень2)
3) корней нет
Свойства корня n-й степени:
, , , ,, (если то )
Степень с рациональным показателем:
,где m-целое число, n≥2 – натуральное число
Равенства:
, , ,,
Степень с целым показателем.
Определение: Если a≠0, то a0=1. Выражение 00 не имеет смысла.
Определение: Если a≠0, и n– натуральное, то
a-n=1anВыражение 0-n не имеет смысла. aman=am-n, Логарифмом числа c по основанию a называется такое число b, что ab = c, т.е. показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить c:
b = logac.
Основное логарифмическое тождество:
Основные свойства логарифмов:
, , , ,
,
Пример 1. 324 ∙ 39 = 324∙9=38∙3∙9=38∙27=2∙3=6Пример 2. 5a2b-33=5a6b-9=ab-15ab-4=ab5abb4b =ab25abПример 3. 36-2=36-2∙6+26+2=36+26-2=36+24Пример 4. Вычислите: log339Решение: log339=x, тогда 3x=39, 3x2 = 323, x2 =23, x= 2∙23 = 43Пример 5. Найти значение выражения: 3log38Решение: из определения логарифмов, применяя основное логарифмическое тождество alogab=b, получим 3log38=8.
Пример 6. Вычислите: 1). log1464; 2). log2116; 3). log612+log63;4). log2332-log23243Решение: 1). log1464=log1443=log1414-3=-3;
2). log2116=log22-4=-4;
3). log612+log63 =log612∙3=log636=log662=2;4). log2332-log23243=log2332243=log23235=5.Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений».
1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант
Найдите значение выражения.
5-3∙164-13116∙81-1-14136∙0,04-1227∙6413Упростите выражение.
x-23∙x53x35c-23-4c16∙c12y67∙y-122y47-2a12∙b35a14∙b2520Освободитесь от иррациональности в знаменателе.
15+3 23-2
Извлеките корень из корня.
4232m4n8y59x4y2543k2l57q52p3q5.Вычислите.
14-12∙2512-8112∙125-1317-2∙49-12+2-1∙2-216-2∙216-13-5-1∙125-1214-12∙1612-2-1∙125-12∙8-13Найдите значение выражения.
a+1a+1+1+a-1a+1-1,
при a = m42t0,5t-4-1t0,5-2, при t=9x+11+x+1+x-11-x+1,при x=a92a0,5a-4-1a0,5-2,
при a=16
Найдите значение числового выражения.
23+log2982log83162+log162034log328.Вычислите.
lg 0,0001 log0,10,001log3127log1381log1443+log1444lg 40+lg 25 lg 2+lg 500 log2162+log2163log137-log1379log215-log230log1228-log127log0,240-log0,28Найдите значение логарифма.
Найдите log38, если log32=сНайдите log0,581,
если log0,53=aНайдите log510, если log52=aНайдите log624,
если log64=mНайдите число x по данному логарифму.
log4=12log4+log432-12log428log3x= log312-12log332+12log36log12=log1219-log1238+log123log0,5x=log0,517-log0,534+log0,53Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа №5
Параллельное проектирование
Цель: ознакомится с понятием параллельного проектирования.
Теоретическая часть:
В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование.
71818524257000
Каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость α. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость α в направлении прямой l. Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость α образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость α в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием. Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.
Практическая часть:
Задание: выполните реферат по теме «Параллельное проектирование».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
Презентация «Параллельное проектирование»
URL: http://geometry2006.narod.ru/Lessons/10-11/12.ppt
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению реферата (приложение 1)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа №6
Решение комбинаторных задач
Цель: закрепить навыки решения комбинаторных задач.
Теоретическая часть:
Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Произведение первых подряд идущих n натуральных чисел называется факториал и обозначается n!, причем, если n = 0, считают n! = 1.
Для решения задачи на определение числа возможных перестановок пользуются следующим правилом: n различным элементам можно присвоить номера от 1 до n ровно n! различными способами. Конечные упорядоченные подмножества, содержащие по m элементов основного множества, называются размещениями из n элементов по m элементов (). Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов обозначается .
Задачи на размещения можно решать пользуясь правилом умножения, но можно воспользоваться формулой для нахождения используя факториал.
Конечные неупорядоченные подмножества, содержащие по m элементов основного множества, называются сочетаниями из n элементов по m элементов. Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов обозначается .
Так как при решении задач на сочетания нам не важен порядок выбранных m элементов, число всех возможных сочетаний меньше числа возможных размещений равно в m! раз.
Задача: В классе 30 учеников. Необходимо избрать старосту, культорга и редактора стенгазеты. Сколькими способами это можно сделать, если одно лицо может занимать только один пост.
Решение: в данном случае нам важен порядок выбора каждого ученика, поэтому можно использовать формулу для количества размещений. При этом n = 30, m = 3. Решение:.
Ответ: 24360 способов.
Задача: Тренер отбирает 5 спортсменов из 12. Сколькими способами он может составить команду?
Решение: порядок выбора спортсменов в данном случае не важен. Используем формулу для количества сочетаний, учитывая, что n = 12, m = 5.
.
Ответ: 792 способа.
Практическая часть:
Задание: решите примеры по теме «Решение комбинаторных задач»
1. Сколькими способами можно в группе из 25 человек направить 4 студента на научно – практическую конференцию?
2. Десять студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из семи различных по цвету отрезов материи?
4. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из пяти языков на любой из них?
5. Вычислите: ; ; 5! + 6!; ; ;
6. Найдите число размещений из 10 элементов по 4.
7. Тридцать студентов обменялись фотокарточками. Сколько всего было фотокарточек?
8. Сколькими способами можно из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?
9. Решите уравнение:
10. Сколькими способами можно составить список из десяти человек?
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа №7
Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве
Цель: ознакомиться со способами задания прямых и плоскостей в пространстве.
Теоретическая часть:
Уравнением поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x,y,z) =0 с тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные x, y и z в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности.
Практическая часть:
Задание: разработайте презентацию по теме «Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
Высшая математика – просто и доступно
URL: HYPERLINK "http://www.mathprofi.ru/uravnenija_pryamoi_v_prostranstve.html" http://www.mathprofi.ru/uravnenija_pryamoi_v_prostranstve.html
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению презентации (приложение 2)
3. В презентации покажите различные способы векторного задания прямых и плоскостей в пространстве.
4.Выполните задание.
5.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 8
Сложение гармонических колебаний
Цель: сформировать представление гармонических колебаний и их сложения.
Теоретическая часть:
Гармонические колебания — колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному, косинусоидальному) закону (например, перемещение, скорость, ускорение в математическом и физическом маятнике; сила, напряжение, мощность переменного тока; напряженность электрического и магнитного полей в колебательном контуре).
Практическая часть:
Задание: выполните реферат по теме «Сложение гармонических колебаний».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
Справочник по математике: школьная математика, высшая математика.
URL: http://www.terver.ru/slojenie_odnotipnih_kolebaniy.php
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению реферата (приложение 1)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 9
Преобразование тригонометрических выражений
Цель: закрепить навыки преобразования тригонометрических выражений.
Теоретическая часть:
Синусом угла α называется ордината точки единичной окружности.
Косинусом угла α называется абсцисса точки единичной окружности.
Функция Аргумент
0 (0▫) (30▫) (45▫) (60▫) (90▫)
sin α 0 1
cos α 1 0
tg α 0 1 -
ctg α - 1 0
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
,
– основное тригонометрическое тождество
;
Формулы приведения
Для того чтобы привести тригонометрическую функцию произвольного аргумента γ к аргументу α, 0< α < , надо:
представить:
если m – чётное число, то наименование функции не меняется; если m – нечётное число, то наименование функции меняется на кофункцию;
определить знак приводимой функции и поставить её перед приведённой.
Формулы сложения для тригонометрических функций
Тригонометрические функции двойного аргумента
Формулы понижения степени тригонометрических функций
Тригонометрические функции половинного аргумента
;
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента
; ;
Формулы суммы и разности синусов и косинусов
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
sinα∙sinβ=12cosα-β-cosα+β, sinα∙sinβ=12cosα+β+cosα-β
Пример1. Найдите 5sinα, 5tgα, 5ctg α, если cosα=265,α∈3π2, 2π
Решение: т.к. α∈3π2, 2π , то sinα<0; 5sinα=-51-2652=-1; tgα=sinαcosα=265÷-15=-26; 5 tgα=-5∙26=-106; 5ctgα=-5106=-126Ответ: -1; -106; -126Пример 2. Найдите 10sin6α3cos3α, если sin3α=0,6Решение:
10sin6α3cos3α=10∙2sin3αcos3α3cos3α=20sin3α3=20∙0,63=4Ответ: 4
Пример 3. Упростите выражение:
sin2α+cos2α+tg2αРешение:sin2α+cos2α+tg2α=1+tg2α=1+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α=1cos2α, α≠π2+πk,k∈zПример 4. Докажите тождество: cos3π2+α+sinα-π-tgα-π2-tg3π2-α=0Решение: cos3π2+α+sinα-π-tgα-π2-tg3π2-α=0;
sinα-sinα+ctgα-ctgα=0;
0=0-верно.Пример 5. Найдите значение выражения: 12sin11°cos11°sin22°,
Решение: 12sin11°cos11°sin22°=6sin22°sin22°=6
Ответ: 6
Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Преобразование тригонометрических выражений».
Вариант 1 Вариант 2
Вычислите
sin16°cos29°+sin29°cos16°sin63°cos33°-sin33°cos63°tg10°+tg35°1-tg10°tg35°tg73°-tg13°1+tg73°tg13°Найдите
cosα, tgα,ctgα, еслиsinα=-513, 3π2<α<2πsinα, tgα,ctgα, если cosα=-817, π2<α<πsinπ4+α, если sinα=35,α∈0; π2sinπ4-α, если cosα=-35,α∈π2;π24sin217°-cos217°cos34°15(cos215°-sin215°)cos30°Упростите выражение
tg-αcosα+sinαcosα-ctgα-sinαsinπ3+α+sinπ3-αcosπ4-β-cosπ4+βctgπ2-α-tgπ+α+sin3π2-αcosπ+αsinπ-α+cosπ2+α+ctgπ-αtg3π2-αДокажите тождество
sint-cost2=1-sin2tsint+cost2=1+sin2t2sinπ2-αsinα=sin2αsin4α-cos4α=-cos2α2cosα-2cosπ4-α2sinπ6+α-3sinα=-2tgαcosα-2cosπ3+α2sinα-π6-3sinα=-3tgαАлгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 10
Решение тригонометрических уравнений
Цель: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.
Теоретическая часть:
Решение простейших тригонометрических уравнений:
Уравнение Формулы решения Частные случаи
при ,
при - решений нет ; ,
; ,
, ,
при ,
при - решений нет ; ,
; ,
; ,
- любое число , -
- любое число , -
Способы решения тригонометрических уравнений:
Уравнение Способ решения Формулы
Уравнение содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы) вида
Уравнение сводится к квадратному (биквадратному) относительно синуса (косинуса)
Однородное уравнение I степени вида
Деление обеих частей на . Получаем:
Однородное уравнение II степени вида
Деление обеих частей на . Получаем:
Уравнение вида
Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой
Пример1: sin2x+2sinx-3cos2x+1=0,sin2x+2sinx-3+3sin2x+1=0,sinx=t,4t2+2t-2=0,2t2+t-1=0,1) sinx=-1 2) sinx=12x=-π2+2πk, k∈z x=-1kπ6+πk, k∈z
Пример 2:
сtg x −3tg x =0,
1tgx-3tgx=0,
1-3tg2x=0,tg2x=13 (=>cosx≠0, sinx≠0,tgx=±1x,
x=±π6+πk, k∈zПример3:
sin2xsinx+cosx=4sinx-2cosx,
sin2xsinx+sin2xcosx=4sin3x-2cosxsin2x+4sinxcos2x-2cos3x,
2sin2xcosx+2cos2xsinx=4sin3x-2cosxsin2x+4sinxcos2x-2cos3x4sin3x-4sin2xcosx+2sinxcos2x-2cos3x=0,2tg3x-2tg2x+tgx-1=0,
tgx-12tg2x+1=0,tgx-1=0 2tg2x+1=0,
tgx=1 tg2x=-12,
x=π4+πk,k∈z нет корнейОтвет: x=π4+πk,k∈z Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Решение тригонометрических уравнений».
Вариант 1 Вариант 2
Решите уравнения:
1) 2 sin x – cos 2x = 0 1)
2) sin (- cos (=22)
3) 3)
4) 2cos3x=-14) 23cos3x=05) 1-cos2x+sin2x-2=05) cos2x+21-sin2x=06) tgx+3ctgx=46) 2tgx-3ctgx=17)cos2xsin4x=cos4xsin2x7)sin5xsin3x=-cos5xcos3xАлгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 11
Роль переменных величин в развитии математики
Цель: изучить роль переменных величин в развитии математики.
Теоретическая часть:
Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много. Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась. В Европе сложилось разделение на гуманитарные и естественные науки по степени влияния математики на эти части.
В XVII в. начинается новый период истории математики – период математики переменных величин. Его возникновение связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной.
Практическая часть:
Задание: подготовить сообщение по теме «Роль переменных величин в развитии математики».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
Социальная сеть работников образования «Наша сеть»
URL: http://nsportal.ru/shkola/mezhdistsiplinarnoe-obobshchenie/library/2013/12/12/rol-matematiki-v-sovremennom-mire
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению сообщений (приложение 3)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа №12
Преобразования графиков степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций
Цель: закрепить навыки построения и преобразования графиков степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций в электронной таблице MS Excel.
Теоретическая часть:
Общий вид функции Преобразования
Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц
y = f(x - b) вправо, если b > 0; влево, если b < 0.
Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц
y = f(x) + m вверх, если m > 0, вниз, если m < 0.
Отражение графика
y = f(- x) Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
y = - f(x) Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
Сжатие и растяжение графика
y = f(kx) При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,
при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf(x) При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,
при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.
Преобразования графика с модулем
y = | f(x) | При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,
при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f(| x |) При x0 — график остаётся без изменений,
при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.
Для построения графиков функций Y(X) в Microsoft Office Excel используется тип диаграммы Точечная:
Для этого требуется два ряда значений: Х и Y значения, которые должны быть соответственно расположены в левом и правом столбцах.
Можно совместить построение нескольких графиков. Такая возможность используется для графического решения систем уравнений с двумя переменными, при проведении сравнения анализа значений y при одних и тех же значениях x.
Пример: построить графики функций y1= x 2 и y2= x 3 на интервале [- 3; 3] с шагом 0,5.
Алгоритм выполнения задания:
1. Заполнить таблицу значений:
2. Выделить таблицу и указать тип диаграммы Точечная.
3. Выбрать формат точечной диаграммы с гладкими кривыми.
4. В Макете указать название диаграммы «Графики», дать название осей: X и Y
5. Должен получиться график:
Примеры:
1). Построить графики функций y1= x 2 -1, y2= x 2+1 и y=К·(y1/ y2) на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,3.
2). Построить графики функций y1= и y2= 2х на интервале [- 3; 3] с шагом 0,5.
3). Построить графики функций y1= , y2=на интервале [-0,5;9] с шагом 0,5.
4). Построить графики функций y1=, y2= на интервале [-5;-0,5] с шагом 0,5.
5). Построить графики функций y1= , y2=на интервале [0,5 ; 5] с шагом 0,5.
Практическая часть:
Задание: в электронных таблицах Microsoft Excel постройте графики функций:
1) y = cos x и y = 2 cos x; 2) у=cos(х+ π); 3)у=4х+1-2; 4) у= log3(х-1)+2.
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в электронных таблицах Microsoft Excel.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 13
Простейшие сечения куба, призмы и пирамиды
Цель: развивать навыки решения задач на построение сечений простейших многогранников.
Теоретическая часть:
Для решения многих геометрических задач связанных с многогранниками, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями, находить точку пересечения данной прямой с данной плоскостью, находить линию пересечения двух данных плоскостей. Рассмотрим задачи на построение сечений плоскостью, проходящей через три точки, расположенные на ребрах многогранников. Что называется сечением многогранника? Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, принадлежащие граням многогранника, с концами на ребрах многогранника, полученный в результате пересечения многогранника произвольной секущей плоскостью. Какие многоугольники могут являться сечениями данных многогранников? Сечения куба: трех - шести - угольники. Сечения тетраэдра: треугольники, четырехугольники. Сечения четырехугольной пирамиды и треугольной призмы: трех - пяти - угольники.
Задача 1 . Дан куб ABCDAA1B1C1D1. На его ребре ВВ1 дана точка М. Найти точку пересечения прямой C1M с плоскостью грани куба ABCD.
Рассмотрим изображение куба ABCDAA1B1C1D1 с точкой М на ребре ВВ1 Точки М и С1 принадлежат плоскостиВВ1С1 Что можно сказать о прямой C1M?
Прямая C1M принадлежит плоскости ВВ1С1. Искомая точка X принадлежит прямой C1M, а значит и плоскости ВВ1С1. Каково взаимное расположение плоскостей ВВ1С1 и ABC? Данные плоскости пересекаются по прямой BC.
Значит все общие точки плоскостей ВВ1С1 и ABC принадлежат прямой BC. Искомая точка X должна принадлежать одновременно плоскостям двух граней: ABCD и BB1C1C; из этого следует, что точка X должна лежать на линии их пересечения, т. е. на прямой ВС. Значит, точка X должна лежать одновременно на двух прямых: С1М и ВС и, следовательно, является их точкой пересечения. С1М и ВС до пересечения в точке X, которая и есть искомая точка пересечения прямой С1М с плоскостью грани ABCD.
Задача 2. Эту задачу рассмотрим с краткой записью построения.
а) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А1, МD1C1 и NDD1 и б) Найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
Решение. I. Секущая плоскость имеет с гранью A1B1C1D1 две общие точки А1 и М и, следовательно, пересекается с нею по прямой, проходящей через эти точки. Соединяя точки А1 и М отрезком прямой, находим линию пересечения плоскости будущего сечения и плоскости верхней грани. Этот факт будем записывать следующим образом: А1М Аналогично находим линии пересечения секущей плоскости с гранями АА1D1D и DD1С1С. Таким образом, A1NМ искомое сечение. Перейдем ко второй части задачи. Найдем линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
II. Секущая плоскость с плоскостью основания куба пересекается по прямой. Чтобы изобразить эту прямую достаточно найти две точки принадлежащие данной прямой, т.е. общие точки секущей плоскости и плоскости грани ABCD. Опираясь на предыдущую задачу такими точками будут являться: точка x=MN∩CDX; y=A1N∩ADЗадача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки:
25403365500 M∈A1B1;N∈B1C1;K∈CC1
Опираясь на понятие сечения, нам достаточно найти в плоскости каждой грани две точки для построения линии пересечения секущей плоскости и плоскости каждой грани куба. Точки M и N принадлежат плоскости А1В1С1 . Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и плоскости верхней грани куба. Продолжим прямые MN и D1C1 до пересечения. Получим точку Х , принадлежащую как плоскости А1В1С1 , так и плоскости DD1C1. Точки N и К принадлежат плоскости ВВ1С1. Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и граниВВ1С1С. Соединяем точки Х и К, и продолжаем прямую ХК до пересечения с прямой DC. Получим точку Р и отрезок КР – линию пересечения секущей плоскости и грани DD1C1C. Продолжая прямые КР и DD1 до пересечения, получим точку Y, принадлежащую плоскости АА1D1. В плоскости этой грани нам требуется еще одна точка, которую получаем в результате пересечения прямых MN и А1D1. Это точка Z=MN∩A1D1 . Соединяем точки Y и Z, получим YZ∩AD=Q и YZ∩AA1=R . Соединив Q и Р, R и M, получим MNKPQR искомое сечение.
Краткая запись построения: 1) M↔N; 2) MN∩ D1C1=X; 3) N↔K; 4) X↔K; 5) XK∩DC=P; 6) KP∩DD1=Y; 7) MN∩A1D1=Z; 8) Y↔Z; 9) YZ∩AD=Q; 10) YZ∩AA1=R; 11)Q↔P;12) R↔M; 13) MNKPQR искомое сечение.Задача 4. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки:M∈SB;N∈SC;K∈AD .
Краткая запись построения:
1) M↔N; 2) MN∩BC=X; 3) X↔K; 4) XK∩DC=P; 5) XK∩AB=Y; 6) Y↔M;7) YM∩SA=Q; 8) P↔N; 9) K↔Q; 10) MNPKQ искомое сечение.Практическая часть:
Задание: подготовить сообщение по теме «Простейшие сечения призмы, куба и пирамиды»».
Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению сообщений (приложение 3)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 14
Правильные и полуправильные многогранники
Цель: ознакомиться с понятием правильного многогранника и полуправильного многогранника, с их видами.
Теоретическая часть:
Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.
Тела Платона - это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников:
Итак, тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. Гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" – шесть. Октаэдр - восьмигранник, "окто" – восемь. Додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать. Икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать. Наряду с правильными многогранниками существуют еще многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным – их называют полуправильными многогранниками. В полуправильных многогранниках равны одноименные многоугольники; причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней.
Практическая часть:
Задание: разработайте презентацию по теме «Правильные и полуправильные многогранники».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
Интернет портал «Одаренные дети – математика»
URL: http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works_2012/Alikina_Alla.pdf
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению презентации (приложение 2)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 15
Понятие дифференциала и его приложения
Цель: ознакомиться с понятием дифференциала и его приложениями.
Теоретическая часть:
Главная, линейная относительно ∆x, часть приращения ∆y функции y=fx называется дифференциалом функции и обозначается dy= A∙∆x =f'x∙∆x .. Для удобства записи в данном случае ∆x заменяют на dx. (Но при вычислениях замену не производят)
Итак, дифференциал вычисляют по формуле: dy=f'x0dx. (1)
Пример 1: Найти дифференциал функции: y=5x6+2ex.
y,=5∙6x5+2∙ex=30x5+2exdy=30x5+2exdxДифференциал функции применяется при решении многих математических задач. Существует два типа задач, которые возможно рационально решить, используя понятия дифференциала: приближенные вычисления значения функции в заданной точке и вычисление приращения функции в заданной точке.
Практическая часть:
Задание: разработайте презентацию по теме «Понятие дифференциала и его приложения».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
Научная библиотека избранных естественно-научных изданий
URL: http://edu.sernam.ru/book_sm_math1.php?id=51
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению презентации (приложение 2)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 16
Применение производной для построения графика функции
Цель: закрепить навыки применения производной для построения графика функции.
Теоретическая часть:
Для построения графика функции нужно:
1) найти область определения и область значений функции,
2) установить, является ли функция чётной или нечётной,
3) определить, является ли функция периодической или нет,
4) найти нули функции и её значения при x = 0,
5) найти интервалы знакопостоянства,
6) найти интервалы монотонности,
7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,
8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек и при больших значениях модуля x .
Пример. Исследуйте функцию f (x) = x 3 + 2x 2 - x - 2 и постройте график.
Решение: исследуем функцию по вышеприведенной схеме.
1) область определения x R (x – любое действительное число);
область значений y R, так как f (x) – многочлен нечётной степени;
2) функция f (x) не является ни чётной, ни нечётной (поясните, пожалуйста);
3) f (x) – непериодическая функция (докажите это сами);
4) график функции пересекается с осью Y в точке (0, – 2), так как f (0) = - 2; чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: x 3 + 2x 2 - x - 2 = 0, один из корней которого x = 1 очевиден. Другие корни находятся (если они есть!) из решения квадратного уравнения: x 2 + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена x 3 + 2x 2 - x - 2 на двучлен (x – 1). Легко проверить, что два других корня: x2 = -2 и x3 = -1. Таким образом, нулями функции являются: -2, -1 и 1.
5) Это значит, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала
знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак:
Этот результат может быть получен разложением многочлена на множители:
x 3 + 2x 2 - x - 2 = (x +2) (x +1) (x – 1) и оценкой знака произведения методом интервалов.
6) Производная f’ (x) = 3x2 + 4x -1 не имеет точек, в которых она не существует, поэтому ее область определения R (все действительные числа); нули f’ (x) – это корни уравнения: 3x2 + 4x - 1 = 0
Эти корни: x1,2=-4±286=-2±73 . Функция имеет две критические точки и три интервала монотонности: -∞,-2-73, (-2-73,-2+73), (-2+73, +∞). Полученные результаты сведены в таблицу:
x-∞,-2-73-2-73( -2-73,-2+73)-2+73( -2+73, +∞)f'x+0 -0 +
fx5326911955200 ≈0,6312543841955200 ≈-2,1124635501905000
max min
Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Применение производной для построения графика функции».
Исследуйте функцию и постройте её график
y=2x2-x4y=14x4-2x2y=3x4+2x2+5y=x4-2x2+2y=-3x-13xy=x+1xy=-4x3+3x2y=3x5-5x4y=x3-3x2+7y=x3-4x2+5xАлгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 17
Вычисление простейших интегралов
Цель: закрепить навыки вычисления простейших интегралов.
Теоретическая часть:
Совокупность всех первообразных функций F(x)+С для функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается fxdx=Fx+C.
Таблица основных интегралов:
1.1dx=x+c; 2. xαdx=xα+1α+1+C, α≠-1 ;
3. 1xdx=lnx+C; 4. axdx=axlna+C, a>0, a≠1;Следствие: exdx=ex+C;5. sinxdx=-cosx+C; 6. cosxdx=sinx+C;7. 1cos2xdx=tgx+C; 8. 1sin2xdx=-ctgx+C;
9. 11-x2dx=arcsinx+C-arccosx+C; 10.11+x2dx=arctgx+C-arcctgx+C; Основные свойства интегралов:
1. U±Vdx=Udx+Vdx; 2. CUdx=CUdx.
Формула Ньютона – Лейбница
abfxdx=Fb-Faгде F(x) – первообразная для f(x), т.е. F'(x)=f(x).
Вычислить интегралы:
x3dx=x3+13+1=x44+C;
sinkxdx=t=kxdt=kdx=1ksintdt=-1kcoskx+C.Существует несколько способов создания формул в текстовом документе.
Первый способ применяется для несложных математических выражений, в которых используется возведение в степень или перечисление. Выражение оформляется с использованием параметров оформления символов (верхний и нижний индекс).
Второй способ позволяет записывать математические выражения, используя символы стандартных шрифтов ОС Windows. В MS Word 2007 для этого используется вкладка Вставка\Символ. В диалоговом окне Символ (см. рисунок 1) можно выбрать шрифт, просмотреть набор входящих в него символов и выбрать нужный. Это диалоговое окно знакомо нам по работе с маркированными списками.
Рисунок 1
Шрифт, который содержит большинство математических операций и обозначений, а так же греческие буквы, носит название Sumbol.
Третий способ создания математических выражений связан с использованием дополнительных возможностей пакета MS Office – Редактора формул. Этот модуль позволяет набирать в тексте выражения любой сложности и использовать любые математические операторы и конструкции.
Добавление формулы происходит с помощью вкладки Вставка\Формула (рисунок 2). Вы можете выбрать готовую формулу из списка предложенных или создать новую. При создании новой формулы открывается дополнительная вкладка Работа с формулами, которая и позволяет создавать нужные математические выражения.
Рисунок 2
Прежде чем приступить к набору формулы, необходимо подумать, из каких операций и функций она строится, то есть определить структуру формулы.
Практическая часть:
Задание: оформите решение примеров по теме «Вычисление простейших интегралов» в текстовом редакторе MS Word с помощью встроенного редактора формул.
1 вариант 2 вариант
Вычислите неопределенные интегралы
x+6cosxdx2x-3cosxdxx2-13xdxx3-2xdxВычислите определенные интегралы
122x2dx12x2dx-12x2+2xdx-248+2x-x2dxπ8π61cos22xdx0π121cos23xdx1211x3dx1211x4dxАлгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 18
Схемы повторных испытаний Бернулли
Цель: ознакомиться со схемой повторных испытаний Бернулли.
Теоретическая часть:
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.
Примеры повторных испытаний:
1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;
2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).
Практическая часть:
Задание: подготовить сообщение по теме «Схемы повторных испытаний Бернулли».
Алгоритм выполнения:
1.Воспользуйтесь интернет – ресурсами, например:
В универе – математика для студентов
URL: http://vunivere.ru/work22844
2. Ознакомьтесь с требованиями к оформлению сообщений (приложение 3)
3.Выполните задание.
4.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 19
Решение различных видов уравнений (в том числе с параметрами)
Цель: закрепить навыки решения различных видов уравнений, познакомиться с решением уравнений с параметром.
Теоретическая часть:
Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую теорему: показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).
Основные методы решения показательных уравнений:
1) метод уравнивания показателей;
2) метод введения новой переменной.
Пример 1.Решите уравнение: 22x-4=64;Решение: 22x-4=64; 22x-4=26; ⇔2x-4=6;x=5Пример 2. 22x+1-5∙2x-88=0Решение: 22x+1-5∙2x-88=0. Используем подстановку: t=2xУравнение тогда принимает вид: 2t2-5t-88=0Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:
D=b2-4ac=52-4∙2∙-88=729=272>0Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:
t1=-b+D2a=--5+7292∙2=8; t2=-b-D2a=--5-7292∙2=-5,5.Переходя к обратной подстановке, получаем:
1. 2x=8; 2. 2x=-5,5;
2x=23; корней нет.
x=3.Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Ответ: x = 3.
Пример 3. Решите уравнение: 14x= 15xРешение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид: 54x=1⇔x=0 Ответ: x = 0.
Уравнение вида logax=b, где x>0, a>0, a≠ называется логарифмическим.
Основные виды логарифмических уравнений и методы их решения:
1) Простейшие логарифмические уравнения: logax=b. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. x=ab и x>0
2) Уравнения вида logax=logay, т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения: x=y, x>0, y>0.3) Уравнения квадратного вида log2ax + logax + c = 0 решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.
4) Уравнения вида ax=b решаются логарифмированием обеих частей по основанию a.
Пример 1. Решите уравнение:
log2x2+4x+3=3; x2+4x+3=8; x2+4x-5=0;x=-5 и x=1Пример 2.
log25 x-log5x-3=0; log25 x-2log5x-3=0;
пусть log5x=t, тогда t2-2t-3=0; t1=3; t2=-1;log5x=3, x=125 и log5x=-1, x=0,2 Ответ: x=125, x=0,2Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:Ax=Bx и Ax=BxМетод решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.
Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле nφxn=φxЕсли обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.
Пример 1. Решить уравнение 5-4x=2x+5.
Решение: Возведем обе части этого уравнения в квадрат 5-4x2=2x+5.2и получим 5-4x=4x2+20x+25 ⇔ 4x2+24x+20=0 ⇔ x2+6x+5=0, откуда следует, что x=-5 или x=-1.
Проверка: x=-5: 5-4∙-5=2∙-5+5 ⇔25=-5. Это неверное числовое равенство, значит, число -5 не является корнем данного уравнения.
x=-1: 5-4∙-1=2∙-1+5 ⇔9=3. Это верное числовое равенство, значит, число -1 является корнем данного уравнения.
Ответ: x=-1.
Если в уравнение некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим. Например, решить уравнение (4х – ах)а = 6х – 10 . Здесь х – неизвестное, а – параметр.
Решить уравнение с параметрами означает:
- определить, при каких значениях параметров существует решения;
- для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений. Основные способы решения уравнений с параметром.
1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в уравнениях без параметра.
2. (графический) В зависимости от уравнения рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).
3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.
Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем уравнениям, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
Схема исследования квадратного уравнения:
Уравнение вида ax2+bx+c=0 , 1 , где a,b,c - выражения, зависящие от параметров, а ≠ 0, х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.
Если a = 0, то имеем линейное уравнение bx+c=0.
Если a ≠ 0 и дискриминант уравнения D=b2-4ac<0, то уравнение не имеет решений.
Если а ≠ 0 и D=0, то уравнение имеет единственное решение x=-b2aЕсли а ≠ 0 и D>0, то уравнение имеет два различных корня x1,2=-b±D2aПример: для всех значений параметра а решить уравнение a-1x2-2ax+a+2=0Решение. 1) a-1 = 0, т.е. a = 1.Тогда уравнение примет вид -2x+3=0, x=322)a ≠ 1. Найдём дискриминант уравнения D=4a2-4a-1a+2=-4a+8Возможны случаи: а) D< 0, т. е. -4a+8< 0, 4a>8, a>2. Уравнение не имеет корней.
б) D = 0, т.е. -4a+8 = 0, 4a = 8, a = 2. Уравнение имеет один корень
x=aa-1=22-1=2.в) D > 0, т.е. -4a+8>0, 4a<8, a<2.в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а < 8, а < 2. Уравнение имеет два корня:
x1,2=2a±-4а + 8 2a-1=a±2-aa-1Ответ: при a = 1 x=32; при a = 2 x=2; при a>2 нет корней; при a<2 и а ≠ 1
x1,2=a±2-aa-1Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Решение различных видов уравнений (в том числе с параметрами)»
1 вариант 2 вариант
Решите показательные уравнения
4x=16416x=362x-1+2x+1=23x+2-5∙3x=3249x-4∙3x+3=025x-6∙5x+5=0Решите логарифмические уравнения
log17x2+x-5=-1log2x2-3x-10=3log2x-5+log2x+2=3log3x-2+log3x+6=2log35x+3=log37x+5log123x-1=log126x+8Решите иррациональные уравнения
4+x=2x-13+x=5-xx+1=1-xx-3=x-1Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Самостоятельная работа № 20
Решение различных видов неравенств (в том числе с параметрами)
Цель: закрепить навыки решения различных видов неравенств, познакомиться с решением неравенств с параметром.
Теоретическая часть:
Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: если a >1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x)> g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).
Пример: Решите неравенство: 0,5x2-3x≤0,53x-8. Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла x2-3x≥3x-8; x2-6x+8≥0. Найдем корни квадратного трехчлена: x1=2; x2=4. Так как D>0;a>0, то решением данного неравенства является множество: x∈-∞;2∪4;∞.Если а > 1, то функция у = logax возрастает на всей своей области определения. Если же 0 < а < 1, то у = logax убывает на всей области определения. Это свойство функции используется при решении логарифмических неравенств.
Пример: Решите неравенство: log135-2x>-2; 13<1⇒0<5-2x<9 ⇒-2<x<2,5Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.
Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства: >,≥,<, ≤, то получим иррациональное неравенство. Поэтому под иррациональным неравенством будем понимать неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня.
Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.
При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству.
Если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
Иррациональное неравенство Ax<Bx или Ax≤Bx равносильно системе неравенств Ax<B2xAx≥0Bx≥0 или Ax≤B2xAx≥0Bx≥0 (1)
Первое неравенство в системе (1) является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.
Иррациональное неравенство Ax>Bx или Ax≥Bx равносильно совокупности двух систем неравенств
Ax>B2xBx≥0Ax≥0Bx<0или Ax≥B2xBx≥0Ax≥0Bx≤0 (2)
Обратимся к первой системе схемы (2). Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе – условие, при котором это можно делать.
Вторая система схемы (2) соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства – арифметический корень – неотрицательна при всех x , при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.
Иррациональное неравенство Ax>Bx или Ax≥Bx равносильно системе неравенств
Ax>BxBx≥0 илиAx≥BxBx≥0. (3)
Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x , при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство Ax≥0 выполняется при этом автоматически.
Схемы (1)–(3) – наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи.
Пример: Решить неравенство 10x +5<-3 .
Решение: Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x , при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Если в неравенстве некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а неравенство параметрическим. Например, неравенство (4х – ах)а = 6х – 10 . Здесь х – неизвестное, а – параметр.
Решить неравенство с параметрами означает:
- определить, при каких значениях параметров существует решения;
- для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений. Основные способы решения неравенств с параметром:
1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в неравенствах без параметра.
2. (графический) В зависимости от неравенства рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).
3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.
Существенным этапом решения неравенств с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем неравенствам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
Пример 1:Решить неравенство 5х – а > ax + 3.
Решение: Для начала преобразуем исходное неравенство:5х – ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:(5 – а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:
Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 – а).
Если а = 5, то решений нет.
Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 – а).
Данное решение и будет являться ответом неравенства.
Пример 2:Решить неравенство х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а при а ≠ 1.
Решение:Преобразуем исходное неравенство:х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;
-ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:
ах/(а – 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:
1 случай. Пусть a/(а – 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а – 1)/3.
2 случай. Пусть a/(а – 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x – любое действительное число.
3 случай. Пусть a/(а – 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
Ответ: х € [(а – 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞); х € [-∞; (а – 1)/3] при а € (0;1);
х € R при а = 0.
Практическая часть:
Задание: выполните индивидуальные задания по теме «Решение различных видов неравенств (в том числе с параметрами)»
1 вариант 2 вариант
Решите показательные неравенства
711-3x-0,5<711x+1,572x-9>73x-63x2-4≥152x2-18<1Решите логарифмические неравенства
log153x-5>log15x+1logπ3x+2≤logπx-1lgx>lg8+1lgx>2-lg4Решите иррациональные неравенства
x-2>3x-2<1Алгоритм выполнения:
1. Повторите теоретический материал по данной теме.
2.Выполните задание в тетради для самостоятельных работ.
3.Предоставьте самостоятельную работу в указанные преподавателем сроки.
Список литературы
Основные источники:
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2010.
Гусев В.А. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля – М., 2012.
Дополнительные источники:
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11. – М., 2005.
Башмаков М.И. Математика. 10 класс. Сборник задач – М., 2008.
Колмогоров А.Н Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11кл. – М., 2010.
Погорелов А.В. Геометрия 10-11– М., 2010.
Ященко И.В. Математика 50 вариантов заданий – М., 2015.
Интернет-ресурсы:
1. http://www.ege.edu.ru/
2. http://www.fipi.ru/
3. http://edu.alnam.ru/book_kram.php?id=56
4. http://refleader.ru/bewyfsujgmer.html
5. http://gnesin-phys.narod.ru/math/PM_lect1.pdf
6. http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-059*page.htm
7.http://nsportal.ru/npo-spo/gumanitarnye-nauki/library/2014/12/07/osnovy-
trigonometriiПриложение 1
Требования к оформлению реферата
Требования к содержанию реферата:
- материал, использованный в реферате, должен относится строго к выбранной теме;
- необходимо изложить основные аспекты проблемы не только грамотно, но и в соответствии с той или иной логикой (хронологической, тематической, событийной и др.)
- реферат должен заканчиваться подведением итогов проведенной исследовательской работы: содержать краткий анализ-обоснование преимуществ той точки зрения по рассматриваемому вопросу, с которой Вы солидарны.
Требования к структура реферата:
1. Начинается реферат с титульного листа.
2. За титульным листом следует Оглавление. Оглавление - это план реферата, в котором каждому разделу должен соответствовать номер страницы, на которой он находится.
3. Текст реферата. Он делится на три части: введение, основная часть и заключение.
а) Введение - раздел реферата, посвященный постановке проблемы, которая будет рассматриваться и обоснованию выбора темы.
б) Основная часть - это звено работы, в котором последовательно раскрывается выбранная тема. Основная часть может быть представлена как цельным текстом, так и разделена на главы. При необходимости текст реферата может дополняться иллюстрациями, таблицами, графиками, но ими не следует "перегружать" текст.
в) Заключение - данный раздел реферата должен быть представлен в виде выводов, которые готовятся на основе подготовленного текста. Выводы должны быть краткими и четкими. Также в заключении можно обозначить проблемы, которые "высветились" в ходе работы над рефератом, но не были раскрыты в работе.
4. Список источников и литературы. В данном списке называются как те источники, на которые ссылается студент при подготовке реферата, так и все иные, изученные им в связи с его подготовкой. В работе должно быть использовано не менее 5 разных источников, из них хотя бы один – на иностранном языке (английском или французском). Работа, выполненная с использованием материала, содержащегося в одном научном источнике, является явным плагиатом и не принимается. Оформление Списка источников и литературы должно соответствовать требованиям библиографических стандартов
Объем и технические требования по выполнению реферата:
Объем работы должен быть не менее 6 и не более 10 страниц. Работа должна выполняться через интервал 1,5, 14 шрифтом, размеры оставляемых полей: левое - 20 мм, правое - 20 мм, нижнее - 20 мм, верхнее - 20 мм. Страницы должны быть пронумерованы.
Расстояние между названием части реферата или главы и последующим текстом должно быть равно трем интервалам. Фразы, начинающиеся с "красной" строки, печатаются с абзацным отступом от начала строки, равным 1 см.
При цитировании необходимо соблюдать следующие правила:
- текст цитаты заключается в кавычки и приводится без изменений, без произвольного сокращения цитируемого фрагмента (пропуск слов, предложений или абзацев допускается, если не влечет искажения всего фрагмента, и обозначается многоточием, которое ставится на месте пропуска) и без искажения смысла;
- каждая цитата должна сопровождаться ссылкой на источник, библиографическое описание которого должно приводиться в соответствии с требованиями библиографических стандартов.
Приложение 2
Требования к оформлению презентации
Количество слайдов: не менее 10 и не более 15. На первом слайде размещается: название презентации; автор: ФИО, группа, название учебного учреждения (соавторы указываются в алфавитном порядке); год.На втором слайде указывается содержание работы, которое лучше оформить в виде гиперссылок (для интерактивности презентации). На последнем слайде указывается список используемой литературы в соответствии с требованиями, Интернет-ресурсы указываются в последнюю очередь.
Информация представленная в презентации должна соответствовать теме самостоятельной работы.
Оформление слайдов
Стиль необходимо соблюдать единый стиль оформления;
вспомогательная информация (управляющие кнопки) не должны преобладать над основной информацией (текст, рисунки)
Фон для фона выбираются любые тона
Использование цвета на одном слайде рекомендуется использовать не более трех цветов: один для фона, один для заголовков, один для текста;
для фона и текста используются контрастные цвета;
особое внимание следует обратить на цвет гиперссылок (до и после использования)
Содержание информации следует использовать короткие слова и предложения;
заголовки должны привлекать внимание аудитории
Расположение информации на странице предпочтительно горизонтальное расположение информации;
наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана;
Шрифты для заголовков не менее 24;
для остальной информации не менее 18;
Объем информации не стоит заполнять один слайд слишком большим объемом информации
Виды слайдов Для обеспечения разнообразия следует использовать разные виды слайдов: с текстом, с таблицами, с диаграммами.
Приложение 3
Требования к оформлению сообщения
Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.
Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.
Этапы подготовки сообщения:
1. Прочитайте текст.
2. Составьте его развернутый план.
3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.
4. Объедините близкие по смыслу части.
5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.
6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.
Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.
Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д.