Методические рекомендации по математике по профессии электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Самарской области
«Тольяттинский колледж сервисных технологий
и предпринимательства»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»
профессии 13.01.10. Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования
Тольятти
2016
Рассмотрены ПЦК
Протокол № 9 от 03.03.2016 года
Председатель ПЦК
________/Клыгина Л.М.
Утверждено Методическим советом
Председатель ________/Жесткова Н.М.
Составитель: Дашкина М.Н.
Пояснительная записка
Методические рекомендации по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» созданы Вам в помощь для работы при подготовке и выполнения самостоятельных работ.
При освоении профессий СПО технического и социально-экономического профиля профессионального образования данная дисциплина изучается более углубленно, как профильная учебная дисциплина, учитывающая специфику осваиваемой профессии, 13.01.10 Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования, 43.01.02 Парикмахер. Это выражается в содержании обучения, глубине их освоения студентами, характере практических занятий, видах внеаудиторной самостоятельной работы студентов.
Данные рекомендации включают перечень самостоятельных работ, правила выполнения, теоретический блок информации, алгоритм и практический блок для самостоятельного выполнения.
Рекомендации содержат теоретический материал, примеры решения задач. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии. Практическая часть содержит задания, пояснения или рекомендации по их выполнению, требования к их оформлению и представлению отчета о выполнении.
При выполнении самостоятельных работ Вам предлагается производить поиск нужной информации с помощью электронных образовательных ресурсов в сети Intertnet (готовить рефераты и сообщения), проводить исследования, проектировать и моделировать объекты, обрабатывать информацию прикладными программами, создавать презентации в MS Power Point, решать задачи и примеры, производить расчеты в MS Exel.
Практические задачи (примеры) нужно выполнять в отдельной тетради в клетку. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».
После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.
По окончании работы результат представьте преподавателю. В случае возникновения вопросов по выполнению Вы всегда можете обратиться за помощью и консультацией к преподавателю.
Критерии оценки за ответ на теоретические вопросы
Оценка Критерии оценки ответа студента
«Отлично» Обстоятельно и с достаточной полнотой излагает материал вопросов. Даёт ответ на вопрос в определенной логической последовательности. Даёт правильные формулировки, точные определения понятий и терминов. Демонстрирует полное понимание материала, даёт полный и аргументированный ответ на вопрос, приводит необходимые примеры (не только рассмотренные на занятиях, но и подобранные самостоятельно).
Свободно владеет речью (показывает связанность и последовательность в изложении).
«Хорошо» Даёт ответ, удовлетворяющий тем же требованиям, что и для оценки «отлично», но допускает единичные ошибки, неточности, которые сам же исправляет после замечаний преподавателя.
«Удовлетворительно» Обнаруживает знание и понимание основных положений, но:
допускает неточности в формулировке определений, терминов;
излагает материал недостаточно связанно и последовательно;
на вопросы экзаменаторов отвечает некорректно.
«Неудовлетворительно» Обнаруживает непонимание основного содержания учебного материала. Допускает в формулировке определений ошибки, искажающие их смысл. Допускает существенные ошибки, которые не может исправить при наводящих вопросах преподавателя или ответ отсутствует. Беспорядочно и неуверенно излагает материал. Сопровождает изложение частыми заминками и перерывами.
Критерии оценки за выполнение практического задания/задачи
Оценка Критерии
«Отлично» Показал полное знание технологии выполнения задания. Продемонстрировал умение применять теоретические знания/правила выполнения/технологию при выполнении задания. Уверенно выполнил действия согласно условию задания.
«Хорошо» Задание в целом выполнил, но допустил неточности.
Показал знание технологии/алгоритма выполнения задания, но недостаточно уверенно применил их на практике. Выполнил норматив на положительную оценку.
«Удовлетворительно» Показал знание общих положений, задание выполнил с ошибками. Задание выполнил на положительную оценку, но превысил время, отведенное на выполнение задания.
«Неудовлетворительно» Не выполнил задание. Не продемонстрировал умения самостоятельного выполнения задания.
Не знает технологию/алгоритм выполнения задания.
Не выполнил норматив на положительную оценку.
ПЕРЕЧЕНЬ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
№ п\пНаименование темы самостоятельной работы Форма проведения Учебная нагрузка
1 Арифметические действия над числами решение примеров 6
2 Непрерывные дроби. выполнение реферата 6
3 Применение сложных процентов в экономических расчетах. выполнение реферата 6
4 Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений. выполнение индивидуальных заданий 6
5 Параллельное проектирование. выполнение реферата 6
6 Решение комбинаторных задач решение практических задач 6
7 Средние значения и их применение в статистике. разработка презентации 6
8 Тригонометрические уравнения и неравенства решение примеров 4
9 Преобразование тригонометрических выражений выполнение индивидуальных заданий 6
10 Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве. разработка презентации 6
11 Роль переменных величин в развитии математики подготовка письменного сообщения 6
12 Преобразования графиков степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций построение графиков функций в электронной таблице MS Excel. 6
13 Сложение гармонических колебаний. разработка презентации 6
14 Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях разработка презентации 6
15 Графическое решение уравнений и неравенств. решение примеров 6
16 Правильные и полуправильные многогранники разработка презентации 6
17 Простейшие сечения куба, призмы, пирамиды построение простейших сечений 6
18 Конические сечения и их применение в технике. разработка презентации 6
19 Понятие дифференциала и его приложения. разработка презентации 6
20 Применение производной для построения графика функции выполнение индивидуальных заданий 6
21 Вычисление простейших интегралов оформление решения в текстовом редакторе MS Word с помощью встроенного редактора формул. 6
22 Схемы повторных испытаний Бернулли. подготовка письменного сообщения 6
23 Решение различных видов уравнений и неравенств решение примеров 6
24 Исследование уравнений и неравенств с параметром. оформление решения в текстовом редакторе MS Word с помощью встроенного редактора формул. 6
Итого: 142

Самостоятельная работа №1
Арифметические действия над числами
Цель занятия: закрепить навыки выполнения действий с целыми и рациональными числами, сочетая устные и письменные приемы. Находить приближенные значения величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной); сравнивать числовые выражения. Находить ошибки в преобразованиях и вычислениях.
Теоретическая часть:
Проценты.
Чтобы найти проценты от данного числа нужно обратить проценты в десятичную или обыкновенную дробь, а затем умножить данное число на эту дробь
Задача 1. Вода составляет 76% картофеля. Сколько килограммов воды в 35 кг картофеля?
Решение. Вода составляет 76% от 35 кг. По правилу нахождения процентов от данного числа получаем  0,76∙35=26,6 кг.
Ответ: в 35 кг картофеля содержится 26,6 кг воды.
Чтобы найти число по его процентам нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем разделить данное число на эту дробь
Задача 2. В школьной библиотеке 5780 учебников, что составляет 85% всех книг, имеющихся в библиотеке. Сколько всего книг в школьной библиотеке?
Решение. Потребуется найти число по его процентам. Применяем правило нахождения числа по его процентам .1) 85%=0,85; 2) 5780:0,85=578000:85=6800 книг.
Ответ: всего в библиотеке 6800 книг.
Чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100% 
Задача 8. Сколько процентов число 36 составляет от 48?
Решение. По соответствующему правилу: 
3648∙100%=34∙100%=3∙25%=75%Ответ: 75% составляет число 36 от числа 48.
Приближенные вычисления.
Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)*.
Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 - 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 - 1280 = 4.
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.
Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 - 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 или, округленно, 3/197 = 1,5 %.
Практическая часть: Выполните арифметические действия над числами
1-вариант 2-вариант
Вычислите
4-3,3÷217-1155,8-37∙2,2-2137513∙2-125∙6+4∙2413-3∙1150,21÷0,05+320-2,5∙1,4Расположите числа 0,4; 0,4(4); в порядке возрастания. Расположите числа 0,2; 0,2(2); 1150 в порядке убывания.
Какая пара значений (а; в) из четырех , указанных ниже, является недопустимой для дроби
А)1;13; Б)3;-1;В)-3;1;Г)13;1
Какая пара значений (а; в) из четырех , указанных ниже, является недопустимой для дроби 2a2-3ab+b5a-3bА)1;13; Б)3;-1;В)-3;1;Г)13;1
Округлите число 2, 376 до 0,01. Найдите абсолютную и относительную погрешности
( результат округлите до 0,01). Округлите число 3,276 до 0,01. Найдите абсолютную и относительную погрешности
( результат округлите до 0,01).
Сравните числовые выражения
а)733 и 3198; б) 730 и 440а)365 и 61,7; б)3600 и 5400Решите задачу
После уценки на 10% цена холодильника стала 11430 рублей. Какова была цена холодильника до уценки? Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму нужно выполнить заказ, чтобы заработать 2000 рублей?
Даны числа: z1=2+3i; z2=1-2i. Найдите: 1) z1+z2; 2) z1-z2; 3) z1∙z2; 4) z1z2; 5) z12-2z2Даны числа: z1=3+2i; z2=2-i. Найдите: 1) z1+z2; 2) z1-z2; 3) z1∙z2; 4) z1z2; 5) z12-2z2
Самостоятельная работа № 2
Непрерывные дроби.
Задачи: выяснить все ли рациональные дроби можно представить в виде правильных непрерывных дробей, подтвердить примерами.
Теоретическая часть:
1. Цепная дробь (или непрерывная дробь) - это математическое выражение вида a0;a1;a2;a3⋯=a0+1a1+1a2+1a3⋯где a0 есть целое число и все остальные an - натуральные числа (т.е. положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.
Пример: Представить число 9542 в виде непрерывной дроби
Решение: выделяя целую часть, получаем
9542=2+1142=2+14211=2+13+911=2+13+1119=2+13+11+29=2+13+11+192=2+13+11+1412=2;3,1,4,21.1 Разложение в цепную дробь
1.2 Теорема Лагранжа:
Практическая часть: Подготовьте реферат по выбору из предложенных тем.
Реферат должен быть выполнен с соблюдением методических рекомендаций по написанию реферата - Приложение 1. При выполнении реферата вы можете воспользоваться интернет ресурсами http://hijos.ru/2011/06/22/nepreryvnye-drobi/
Самостоятельная работа № 3
Применение сложных процентов в экономических расчетах.
Задачи: рассмотреть понятие сложных процентов и их отличия от простых
Научиться решать задачи на сложные проценты
Теоретическая часть:
Понятие «сложный процент»
Сложные проценты – проценты, полученные на начисленные (реинвестированные) проценты. То есть, если при применении простых процентов результат рассчитывается от первоначального числа не зависимо от срока, то при применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется к числу по окончании очередного периода начислений. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе. В этом случае имеем дело со “сложными процентами” (то есть используются начисления “процентов на проценты”). Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой.
При одном и том же значении процентной ставки:
1) темпы наращения сложных процентов выше темпов наращения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода
(1 год);
2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов наращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода.
1.1 Области применения сложных процентов
1.2 Формулы сложных процентов
Практическая часть: Подготовьте реферат по выбору из предложенных тем.
Реферат должен быть выполнен с соблюдением методических рекомендаций по написанию реферата- приложение 1. При выполнении реферата вы можете воспользоваться интернет ресурсами
http://finance-place.ru/

Самостоятельная работа № 4.
Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений
Задачи: закрепить навыки преобразования рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений
Теоретическая часть:
Корнем n-й степени из числа a называется число b, такое, что bn = a


-четное -нечетное
1) существует 2 корня всегда существует один корень2)
3) корней нет
Степень с рациональным показателем:
,где m-целое число, n≥2 – натуральное число
Степень с целым показателем.
Определение: Если a≠0, то a0=1. Выражение 00 не имеет смысла.
Определение: Если a≠0, и n– натуральное, то
a-n=1anВыражение 0-n не имеет смысла. aman=am-n, Логарифмом числа c по основанию a называется такое число b, что ab = c, т.е. показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить c:
b = logac.
Примеры: 1. 128∙332=12∙22∙3∙42=1222=242. 5a2b-33=5a6b-9=ab-15ab-4=ab5abb4b =ab25ab3. 36-2=36-2∙6+26+2=36+26-2=36+244. Вычислите: log339Решение: log339=x, тогда 3x=39, 3x2 = 323, x2 =23, x= 2∙23 = 435. Найти значение выражения: a) 3log38, б) 74+log70,5, в) 10lg5-0,5Решение: а) Из определения логарифмов, применяя основное логарифмическое тождество alogab=b, получим ) 3log38=8.
б) 74+log70,5=74∙ 7log70,5= 7124∙7log70,5=49∙0,5=24,5.в) 10lg5-0,5=10lg5100,5= 510=5∙1010∙10=51010=1026. Вычислите: а) lg 0,01; б) log612+log63; в) log2332-log23243Решение: а) lg 0,01=lg10-2=-2;б) log612+log63 =log612∙3=log636=log662=2;в) log2332-log23243=log2332243=log23235=5Практическая часть: Выполните преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений
1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант
Найдите значение выражения.
5-3∙164-13116∙81-1-14136∙0,04-1227∙6413Упростите выражение.
x-23∙x53x35c-23-4c16∙c12y67∙y-122y47-2a12∙b35a14∙b2520Освободитесь от иррациональности в знаменателе.
15+3 23-2
Извлеките корень из корня.
4232m4n8y59x4y2543k2l57q52p3q5.Вычислите.
14-12∙2512-8112∙125-1317-2∙49-12+2-1∙2-216-2∙216-13-5-1∙125-1214-12∙1612-2-1∙125-12∙8-136.Найдите значение выражения.
a+1a+1+1+a-1a+1-1,
при a = m42t0,5t-4-1t0,5-2, при t=9x+11+x+1+x-11-x+1,при x=a92a0,5a-4-1a0,5-2,
при a=16
7.Найдите значение числового выражения.
23+log2982log83162+log162034log328.Вычислите.
Lg 0,0001 log0,10,001log3127log1381log1443+log1444Lg 40+lg 25 Lg 2+lg 500 log2162+log2163log137-log1379log215-log230log1228-log127log0,240-log0,28Найдите значение логарифма.
Найдите log38, если log32=сНайдите log0,581,
если log0,53=aНайдите log510, если log52=aНайдите log624,
если log64=mНайдите число x по данному логарифму.
log4=12log4+log432-12log428log3x= log312-12log332+12log36log12=log1219-log1238+log123log0,5x=log0,517-log0,534+log0,53Самостоятельная работа №5.
Параллельное проектирование
Задачи:
На примерах построения изображений некоторых пространственных геометрических фигур повторить основные свойства параллельного проектирования.
Теоретическая часть
1. Параллельное проектирование. В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование. 
1.1 Свойства параллельного проектирования.
1.2 Примеры изображений пространственных фигур на плоскости.
Практическая часть: Подготовьте реферат по выбору из предложенных тем.
Реферат должен быть выполнен с соблюдением методических рекомендаций по написанию реферата- приложение 1. При выполнении реферата вы можете воспользоваться интернет ресурсами http://geometry2006.narod.ru/Lessons/10-11/12.ppt
Самостоятельная работа №6
Решение комбинаторных задач
Задачи: продолжить формирование умения решать комбинаторные задачи с помощью перебора всех возможных вариантов задач
Теоретическая часть
Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов.
Правило умножения.
Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить m∙ n способами.
Правило сложения
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m+n способами.
Задача. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу сложения, можно осуществить 5+4=9 способами.
Ответ: 9.
Перестановки без повторений.
Для решения задачи на определение числа возможных перестановок пользуются следующим правилом: n различным элементам можно присвоить номера от 1 до n ровно n! различными способами.
Задача . У Лены есть 8 разных красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если каждая буква может быть раскрашена одним цветом и все 8 букв должны быть разные по цвету.
Решение.
Число возможных вариантов равно
40320
Ответ: 40320
Перестановки с повторениями.
Задача. Сколькими способами можно переставить буквы в следующих словах?
а) «ВЕКТОР»;
б) «ЛИНИЯ»;
Решение:
а) Так как все буквы слова различны, то всего можно получить 6! слов.
б) В этом слове две буквы И, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы И, обозначив их через И1 и И2. При этом предположении получится 5! = 120 разных слов. Однако те слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв И1 и И2, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего 120:2 = 60.
Выбор нескольких элементов.
Задача В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую?
б) им следует спеть хором?
Решение.
а) В первом случае важен порядок вызова учеников и применимо правило умножения. Один из 27 учеников решает задачу. Один из оставшихся 26 учеников идет за мелом, а один из оставшихся 25 будет дежурным в столовой. Получается способов вызова.
б) Во втором случае начнем действовать, вызывая учеников по порядку (123). Можно вызвать этих же учеников и в другом порядке, например, (132) или (321). Во всех случаях состав хора будет одним и тем же. Порядок выбора в данном случае нам не важен, а значит число возможных вариантов, полученных в первом случае нужно разделить на количество перестановок из трех элементов. В итоге имеем: .
Число размещений. Число сочетаний.

Задача . В классе 30 учеников. Необходимо избрать старосту, культорга и редактора стенгазеты. Сколькими способами это можно сделать, если одно лицо может занимать только один пост.
Решение. В данном случае нам важен порядок выбора каждого ученика, поэтому можно использовать формулу для количества размещений. При этом, n = 30, m = 3. Решение:.
Ответ: 24360 способов.
Задача. Тренер отбирает 5 спортсменов из 12. Сколькими способами он может составить команду?
Решение. Порядок выбора спортсменов в данном случае не важен. Используем формулу для количества сочетаний, учитывая, что n = 12, m = 5.
.
Ответ: 792 способа.
Практическая часть: Решите комбинаторные задачи. Вы можете воспользоваться Интернет-ресурсами:
http://www.mathprofi.ru/
1. Сколькими способами можно в группе из 25 человек направить 4 студента на научно – практическую конференцию?
2. Десять студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из семи различных по цвету отрезов материи?
4. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из пяти языков на любой из них?
5. Вычислите: ; ; 5! + 6!; ; ;
6. Найдите число размещений из 10 элементов по 4.
7. Тридцать студентов обменялись фотокарточками. Сколько всего было фотокарточек?
8. Сколькими способами можно из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?
9. Решите уравнение:
10. Сколькими способами можно составить список из десяти человек?

Самостоятельная работа №7.
Средние величины и их применение в статистике
Задачи: рассмотреть понятие средних величин и их свойства
Теоретическая часть:
Понятие о средних величинах
Признаки единиц статистических совокупностей различны по своему значению, например, заработная плата рабочих одной профессии какого-либо предприятия не одинакова за один и тот же период времени, различны цены на рынке на одинаковую продукцию, урожайность сельскохозяйственных культур в хозяйствах района и т.д. Поэтому, чтобы определить значение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц, рассчитывают средние величины.
1. Средняя величина – это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.
Совокупность, изучаемая по количественному признаку, состоит из индивидуальных значений; на них оказывают влияние, как общие причины, так и индивидуальные условия. В среднем значении отклонения, характерные для индивидуальных значений, погашаются. Средняя, являясь функцией множества индивидуальных значений, представляет одним значением всю совокупность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам. 
2. Виды средних и способы их вычисления
2.1 Степенные средние:
АрифметическаяГармоническаяГеометрическаяКвадратическая2.2 Структурные средние:
МодаМедианаПрактическая часть: Подготовьте презентацию по выбору из представленных тем в виде решения задачи. Работа должна соответствовать методическим рекомендациям по созданию презентации- приложение 2.
Вы можете воспользоваться интернет ресурсами http://refdb.ru/look/2035266-p11.html

Самостоятельная работа № 8.
Тригонометрические уравнения и неравенства.
Задачи: знать методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, формулы для нахождения корней, уметь использовать полученные знания при решении уравнений повышенной сложности.
Теоретическая часть:
I. Тригонометрические уравнения.
Уравнение Способ решения Формулы
Уравнение содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы) вида

Уравнение сводится к квадратному (биквадратному) относительно синуса (косинуса)



Однородное уравнение I степени вида

Деление обеих частей на . Получаем:
Однородное уравнение II степени вида

Деление обеих частей на . Получаем:

Уравнение вида
Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой


Пример
sin2x+2sinx-3cos2x+1=0,sin2x+2sinx-3+3sin2x+1=0,sinx=t,4t2+2t-2=0,2t2+t-1=0, 1) sinx=-1 2) sinx=12 x=-π2+2πk, k∈z x=-1kπ6+πk, k∈z
Пример
Ctg x −3tg x =0,
1tgx-3tgx=0,
1-3tg2x=0,tg2x=13 =>cosx≠0, sinx≠0,tgx=±1x,
x=±π6+πk, k∈zФормулы решения тригонометрических неравенств.
1.Решение неравенства вида: sin t<a  (-1≤а≤1):
— π — arcsin a + 2πn < t < arcsin a + 2πn,  nєZ.
2. Решениие тригонометрического неравенства вида cos t>a, (-1≤а≤1),
- arccos a + 2πn < t < arccos a + 2πn, nєZ.
3. Решение тригонометрического неравенства вида cos t<a., (-1≤а≤1),
 arccos a + 2πn < t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
4. Решение неравенства вида: sin t<a  (-1≤а≤1)
— π — arcsin a + 2πn < t < arcsin a + 2πn,  nєZ.
Решение неравенства вида tgt>a, a-любое число,(arctg +πk; π2+πk), k∈z Решение неравенства вида tgt<a, a-любое число,(-π2+πk; arctg a +πk), k∈z Решение неравенства вида ctg t>a, a-любое число,( πk; arcctga+πk), k∈z Решение неравенства вида: ctg t <a, a-любое число,(arcctga+πk; π+πk), k∈zПример
sinx<22

t1>t2;t1=arcsin22=π4, t2=-π-π4=-5π4,
-5π4+ 2πn < t < π4 + 2πn,  nєZ.
Практическая часть:
Решите тригонометрические уравнения и неравенства.
Вариант 1 Вариант 2
Решите уравнения:
1) 2 sin x – cos 2x = 0 1)
2) sin (- cos (=22)
3) 3)
4) 2cos3x=-14) 23cos3x=05) 1-cos2x+sin2x-2=05) cos2x+21-sin2x=06) tgx+3ctgx=46) 2tgx-3ctgx=17)cos2xsin4x=cos4xsin2x7)sin5xsin3x=-cos5xcos3xРешите неравенства:
8) 2sinx+2>08) 2sinx-1>09) 2cosx-3<09) 2cosx+1<010) 3ctgx-1<010) tgx-1>0Самостоятельная работа № 9
Преобразование тригонометрических выражений
Задачи: развивать умение использовать формулы тригонометрии для преобразования выражений. Вычислять значения тригонометрических выражений, используя формулы и таблицу.
Теоретическая часть:
Синусом угла α называется ордината точки единичной окружности.
Косинусом угла α называется абсцисса точки единичной окружности.
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
,
– основное тригонометрическое тождество

;
Пример 1.
Найдите 5sinα, 5tgα, 5ctg α, если cosα=265,α∈3π2, 2π
Решение. т.к. α∈3π2, 2π , то sinα<0; 5sinα=-51-2652=-1; tgα=sinαcosα=265÷-15=-26; 5 tgα=-5∙26=-106; 5ctgα=-5106=-126Ответ: -1 ; -106 ; -126Пример 2.
Упростите выражение:
sin2α+cos2α+tg2αРешение:sin2α+cos2α+tg2α=1+tg2α=1+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α=1cos2α, α≠π2+πk,k∈zПример 3
Докажите тождество: cos3π2+α+sinα-π-tgα-π2-tg3π2-α=0Решение: cos3π2+α+sinα-π-tgα-π2-tg3π2-α=0;
sinα-sinα+ctgα-ctgα=0;
0=0-верно.Пример 4.
Найдите значение выражения: 12sin11°cos11°sin22°,
Решение: 12sin11°cos11°sin22°=6sin22°sin22°=6 Ответ: 6
Практическая часть: Выполните преобразование тригонометрических выражений
Вариант 1 Вариант 2
Вычислите.
sin16°cos29°+sin29°cos16°sin63°cos33°-sin33°cos63°tg10°+tg35°1-tg10°tg35°tg73°-tg13°1+tg73°tg13°Найдите.
cosα, tgα,ctgα, еслиsinα=-513, 3π2<α<2πsinα, tgα,ctgα, если cosα=-817, π2<α<πsinπ4+α, если sinα=35,α∈0; π2sinπ4-α, если cosα=-35,α∈π2;π24sin217°-cos217°cos34°15(cos215°-sin215°)cos30°Упростите выражение.
tg-αcosα+sinαcosα-ctgα-sinαsinπ3+α+sinπ3-αcosπ4-β-cosπ4+βctgπ2-α-tgπ+α+sin3π2-αcosπ+αsinπ-α+cosπ2+α+ctgπ-αtg3π2-αДокажите тождество.
sint-cost2=1-sin2tsint+cost2=1+sin2t2sinπ2-αsinα=sin2αsin4α-cos4α=-cos2α2cosα-2cosπ4-α2sinπ6+α-3sinα=-2tgαcosα-2cosπ3+α2sinα-π6-3sinα=-3tgαСамостоятельная работа № 10
Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве
Задачи: Научиться составлять уравнения прямой и плоскости.
Теоретическая часть:
Определение. Уравнением поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz  называется такое уравнение F(x,y,z) =0   с тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные x, y и z  в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности. 
1. Плоскость.
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид уравнения плоскости.
1.1 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
1.2 Общее уравнение плоскости
1.3 Уравнение плоскости в отрезках
1.4 Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
1.5 Нормальное уравнение плоскости
2. Прямая в пространстве
2.1 Общие уравнения прямой
2.2 Уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору (канонические уравнения прямой)
2.3 Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
2.4  Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
Практическая часть: Подготовьте презентацию по выбору из представленных тем. Работа должна соответствовать методическим рекомендациям по созданию презентации- приложение 2. Вы можете воспользоваться интернет ресурсами
http://www.mathprofi.ru/uravnenija_pryamoi_v_prostranstve.html

Самостоятельная работа № 11
Роль переменных величин в развитии математики
Задачи: формирование у учащихся интереса к предмету. Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся. Изучить роль переменных величин в развитии математики.
Теоретическая часть:
История развития математики – это не только история развития математических идей, понятий и направлений, но это и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью, социально-экономическими условиями различных эпох.
1. История математики переменных величин.
2. Переменные и постоянные величины
Практическая часть:
Подготовьте письменное сообщение по выбору из представленных тем. (Смотрите рекомендации по подготовке письменного сообщения- приложение 1). Вы можете воспользоваться интернет ресурсом
http://nsportal.ru/shkola/mezhdistsiplinarnoe-obobshchenie/library/2013/12/12/rol-matematiki-v-sovremennom-mire

Самостоятельная работа №12
Преобразования графиков степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций
Задачи: закрепить навыки преобразования графиков степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций,
формировать навык построения графиков функций в электронной таблице MS Excel.
Теоретическая часть:
Для построения графиков функций Y(X) в Microsoft Office Excel используется тип диаграммы Точечная:

Для этого требуется два ряда значений: Х и Y значения, которые должны быть соответственно расположены в левом и правом столбцах. 
Можно совместить построение нескольких графиков. Такая возможность используется для графического решения систем уравнений с двумя переменными, при проведении сравнения анализа значений y при одних и тех же значениях x.
ПРИМЕР.
Построить графики функций y1= x 2 и y2= x 3 на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,5. 
Алгоритм выполнения задания:
1. Заполнить таблицу значений:

2. Выделить таблицу и указать тип диаграммы Точечная. 
3. Выбрать формат точечной диаграммы с гладкими кривыми. 
4. В Макете указать название диаграммы «Графики», дать название осей: X и Y

5. Должен получиться график:

Примеры:
Построить графики функций y1= x 2 -1, y2= x 2+1 и y=К·(y1/ y2)на интервале
 [- 3 ; 3] с шагом 0,3.

 Построить графики функций y1=12x и y2= 2х на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,5.

Построить графики функций y1= , y2=на интервале [- 0,5 ; 9] с шагом 0,5.

 Построить графики функций y1=x-3, y2= 3xна интервале [- 5 ; -0,5] с шагом 0,5.

 Построить графики функций y1= -2х, y2=2хна интервале [0,5 ; 5] с шагом 0,5.

Практическая часть:
В электронных таблицах Microsoft Excel постройте графики функций.
1) y = cos x и  y = 2 cos x;   2) у=cos(х+ π) ; 3)у=4х+1-2; 4) у= log3(х-1)+2
При построении вы можете воспользоваться интернет ресурсом:
http://www.cleverstudents.ru/functions/function_graph_transformations.html
Самостоятельная работа №13
Сложение гармонических колебаний
Задачи: закрепить знания по теме "Механические колебания", дать математическое описание гармонических колебаний; повторить и обобщить материал по теме "Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами"; описать гармонические колебания с помощью векторной диаграммы; изучить сложение гармонических колебаний в некоторых частных случаях.
Теоретическая часть:
Рождённый пустыней,
Колеблется звук,
Колеблется синий
На нитке паук.
Колеблется воздух,
Прозрачен и чист,
В сияющих звёздах
Колеблется лист,…
"Утро" Н. Заболоцкий. "Мир, в котором мы живём, удивительно склонен к колебаниям: Колеблются даже атомы, из которых мы состоим".
1. Гармоническое колебание
Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.
График гармонического колебания устанавливает зависимость смещения тела со временем.
1.1 Максимальные значения скорости и ускорения
1.2 Сложение колебаний одинаковых частот
1.3 Сложение колебаний разных частот
Практическая часть: Подготовьте презентацию по выбору из представленных тем. Работа должна соответствовать методическим рекомендациям по созданию презентации- приложение 2. Вы можете воспользоваться интернет ресурсами
http://www.terver.ru/slojenie_odnotipnih_kolebaniy.php
Самостоятельная работа №14
Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях
Задачи: наглядная демонстрация функциональных зависимостей, с помощью которых можно описать реальные события в жизни, различные процессы в биологии, химии, физике.
Теоретическая часть:
Понятие функции.
В мире всё взаимосвязано. В математике все явления и зависимости описываются с помощью функций. Функция – одна из основных математических и общенаучных понятий, выражающая зависимость между переменными величинами. «Математическими портретами» закономерностей природы и служит функция.
а) Линейная функция
б) Квадратичная функция
в) Тригонометрические функции
г) Показательная функция
д) Функциональные зависимости в повседневной жизни
Практическая часть: Подготовьте презентацию по выбору из представленных тем. Работа должна соответствовать методическим рекомендациям по созданию презентации- приложение 2. Вы можете воспользоваться интернет ресурсами
http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2014/11/14/proekt-funktsii-ryadom-s-nami
Самостоятельная работа №15
Графическое решение уравнений и неравенств
Задачи: выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств.
Практическая часть
1. Рассмотрим уравнение fx=qx. Это уравнение можно решить графически, если построить в одной системе координат графики функций y=fx, y=qx  и найти их точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения fx=qx. 
2. Использование монотонности функций при решении уравнений: если функция  fx строго возрастает, а функция qx  строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение  fx=qx на этом множестве имеет не более одного решения.
Например, число 4 является единственным корнем уравнения5-x=2x-7  , так как левая часть этого уравнения представлена строго убывающей функцией, а правая – строго возрастающей. 
3. Использование монотонности функций при решении неравенств: если функция   fxстрого возрастает на некотором отрезке a;b , а функция qx   строго убывает на этом отрезке и x0   – корень уравнения fx=qx, то решением неравенства fx<qx  является промежутокa;x0)  , а решением неравенства   fx>qxявляется промежуток (x0;b  (рис. 2.57).
 
Графики функций на заданном отрезке могут и не пересекаться. Например, на рисунке 2.58 неравенство  fx>qx выполняется на всем отрезке  a;b.
Пример1. На рисунке изображены графики функций
y=f(x), заданной на промежутке [-6;7]. Решите неравенство fx-1≥0.
1) [-6;-3][-1;2]; 2) [-3;-1]; 3) [-6;-3](-1;-2); 4) (-3;-1)
Ответ:1
Пример 2.На рисунке изображены графики функций y=f(x) и y=g(x), заданных на промежутке [-6;6]. Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство fx≥qx.
1) [-6-35]; 2) [-6;-3][0;2]; 3) [-3;6]; 4) [-2;0][2;6]
Ответ:3
Пример 3.Решите графически уравнение: x=x-2 Построим графики функций y = x и y= x-2 в одной системе координат

Эти графики пересекаются в точках А ( 1;1) и В ( 4;2). Значит уравнение имеет два корня x1=1; x2=4 Ответ: 1; 4
Пример 4. Решить уравнение: x5+5x-42=0Преобразуем данное уравнение к виду x5=42-5x. При решении данного уравнения нет необходимости в построении графиков, если заметить, что функция y=x5 возрастает, а функция y =42-5x убывает. Значит уравнение имеет только один корень. Это x=2. Действительно, проверяя 25+5∙2-42=0 получим верное числовое равенство. Ответ: 2
Практическая часть:
Решите графически уравнения и неравенства.
Решите графически уравнения:
Вариант 1 Вариант 2
3x12-x-2=03x12+x+2=03x=x2+x-1x-2=2-x22x=-x-743x=11-xlog3x=5-xlog13x=3xlog12x=2xlog3x=3xПостройте график функции sinx= 32 и найдите все корни, принадлежащие промежутку 0;3πПостройте график функции sinx= 22 и найдите все корни, принадлежащие промежутку 0;3πcosx=xsinx=-x+1Решите графически неравенства.
x2-4x<x-6x2+1<5x-3x+1<x+32-x<x13x>112x<1Самостоятельная работа № 16
Правильные и полуправильные многогранники.
Задачи:
- ознакомиться с понятием правильного многогранника и полуправильного многогранника, с их видами; выяснить значимость понятий правильных и полуправильных многогранников в различных сферах деятельности человека; организовать поиск, изучение различных источников информации (печатные, электронные, интернет) и отбор материала, представляющего интерес по обозначенной теме.
Теоретическая часть
1. Правильные многогранники.
Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой.
1.1 Тела Платона 
2.Полуправильные многогранники. Наряду с правильными многогранниками существуют еще многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным – их называют полуправильными многогранниками.
Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками.
2.1 Первая группа -  пять многогранников, которые получаются из пяти платоновых тел в результате их усечения.
2.2 Вторая группа - квазиправильные многогранники.
3. Звездчатые многогранники.
4. Многогранники в искусстве.
5. Многогранники в природе.
6. Многогранники в архитектуре.
Форма самостоятельной деятельности: Подготовьте презентацию по выбору из представленных тем.
Работа должна соответствовать методическим рекомендациям по созданию презентации- приложение 2. Вы можете воспользоваться интернет ресурсами
http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works_2012/Alikina_Alla.pdf
.
Самостоятельная работа № 17
Простейшие сечения куба, призмы и пирамиды.
Задачи: формирование и развитие у учащихся пространственных представлений; выработка навыков решения задач на построение сечений простейших многогранников
Теоретическая часть:
Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, принадлежащие граням многогранника, с концами на ребрах многогранника, полученный в результате пересечения многогранника произвольной секущей плоскостью.
Какие многоугольники могут являться сечениями данных многогранников.
Сечения куба: трех - шести- угольники. Сечения тетраэдра: треугольники, четырехугольники. Сечения четырехугольной пирамиды и треугольной призмы: трех - пяти- угольники.
Задача 1 .
Дан куб ABCDAA1B1C1D1. На его ребре ВВ1 дана точка М. Найти точку пересечения прямой C1M с плоскостью грани куба ABCD.
Рассмотрим изображение куба ABCDAA1B1C1D1 с точкой М на ребре ВВ1 Точки М и С1 принадлежат плоскостиВВ1С1 Что можно сказать о прямой C1M ?

Прямая C1M принадлежит плоскости ВВ1С1
Искомая точка X принадлежит прямой C1M, а значит и плоскости ВВ1С1. Каково взаимное расположение плоскостей ВВ1С1 и ABC?
Данные плоскости пересекаются по прямой BC.
Значит все общие точки плоскостей ВВ1С1 и ABC принадлежат прямой BC. Искомая точка X должна принадлежать одновременно плоскостям двух граней: ABCD и BB1C1C; из этого следует, что точка X должна лежать на линии их пересечения, т. е. на прямой ВС. Значит, точка X должна лежать одновременно на двух прямых: С1М и ВС и, следовательно, является их точкой пересечения. С1М и ВС до пересечения в точке X, которая и есть искомая точка пересечения прямой С1М с плоскостью грани ABCD.
Задача 2 Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки:
38103619500 M∈A1B1;N∈B1C1;K∈CC1 
Опираясь на понятие сечения, нам достаточно найти в плоскости каждой грани две точки для построения линии пересечения секущей плоскости и плоскости каждой грани куба. Точки M и N принадлежат плоскости А1В1С1 . Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и плоскости верхней грани куба. Продолжим прямые MN и D1C1 до пересечения. Получим точку Х , принадлежащую как плоскости А1В1С1 , так и плоскости DD1C1. Точки N и К принадлежат плоскости ВВ1С1. Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и граниВВ1С1С. Соединяем точки Х и К, и продолжаем прямую ХК до пересечения с прямой DC. Получим точку Р и отрезок КР – линию пересечения секущей плоскости и грани DD1C1C. Продолжая прямые КР и DD1 до пересечения, получим точку Y, принадлежащую плоскости АА1D1. В плоскости этой грани нам требуется еще одна точка, которую получаем в результате пересечения прямых MN и А1D1. Это точка Z=MN∩A1D1 . Соединяем точки Y и Z, получим YZ∩AD=Q  и YZ∩AA1=R . Соединив Q и Р, R и M, получим MNKPQR  искомое сечение.
Краткая запись построения:
1) M↔N; 2) MN∩ D1C1=X; 3) N↔K; 4) X↔K; 5) XK∩DC=P; 6) KP∩DD1=Y; 7) MN∩A1D1=Z; 8) Y↔Z; 9) YZ∩AD=Q; 10) YZ∩AA1=R; 11)Q↔P;12) R↔M; 13) MNKPQR  искомое сечение.
Задача 3. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки:M∈SB;N∈SC;K∈AD .

Краткая запись построения:
1) M↔N; 2) MN∩BC=X; 3) X↔K; 4) XK∩DC=P; 5) XK∩AB=Y; 6) Y↔M;7) YM∩SA=Q; 8) P↔N; 9) K↔Q; 10) MNPKQ искомое сечение.
Практическая часть: Ответьте на вопросы и выполните построение сечений многогранников
I.  На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью ABC?

II.  На каком рисунке изображено сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания BD параллельно ребру SA?

III.  На каком рисунке изображено сечение тетраэдра, проходящее через точку М параллельно плоскости ABS?

Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1,M∈B1C1 и N∈DD1   и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
Задача 2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M∈A1B1;N∈B1C1и K∈DD1.
Задача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M∈D1C1; N∈CC1 и K∈AA1 .
Задача 4. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки:
 M ∈грани A1B1C1D1;N∈DD1 и K∈AD .
3aдача 5. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки:M∈AC; N∈CC1 и K∈BB1 .
Задача 6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки:M∈AA1; N∈B1C1и K∈DC . (ТочкиМ, N и К лежат на скрещивающихся ребрах.)
Задача 7. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M∈AA1D1D; N∈A1B1C1D1; K∈DD1C1C. Самостоятельная работа № 18
Конические сечения и их применение в технике
Задачи: формирование и развитие у учащихся пространственных представлений; выработка навыков решения задач на построение конических сечений, применение конических сечений в технике
Теоретическая часть:
1. Кони́ческое сече́ние или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того, существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.
2. Эксцентриситет3. Конические сечения в природе и технике.
Практическая часть: Подготовьте презентацию по выбору из представленных тем.
Работа должна соответствовать методическим рекомендациям по созданию презентации- приложение 2. Вы можете воспользоваться интернет ресурсами
http://www.bestreferat.ru/referat-114348.html
Самостоятельная работа № 19
Понятие дифференциала и его приложения
Задачи: изучить основные понятия дифференциального исчисления и ознакомиться с его приложениями.
Теоретическая часть
1. Понятие дифференциала.
Дифференциал вычисляют по формуле: dy=f'x0dx. (1)
Пример 1: Найти дифференциал функции: y=5x6+2ex.
y,=5∙6x5+2∙ex=30x5+2exdy=30x5+2exdx2. Приложение дифференциала.
Дифференциал функции применяется при решении многих математических задач.
2.1 Приближенные вычисления значения функции в заданной точке.
Чтобы найти значение функции в заданной точке, необходимо воспользоваться формулой  fx=fx0+dy (2) 
Пример 2: Вычислить значение функции fx=5-3x4  в точке x=2,04 .
Для удобства счета выберем вблизи заданной точки ч точку x0=2. Тогда приращение аргумента будет равно x-x0=2,04 -2=0,04, ∆x=0,04 , . Вычислим значение функции в точке x0=2; f2=5-3∙24=1.
Затем найдем дифференциал функции по формуле (1): dy=45-3x3∙-3dx=-125-3x3dx .
И, учитывая, что dx=∆x=0,04 вычислим его в
точке x0=2;dy=-12 5-3∙24∙ 0,04 =12∙ 0,04 =0,48 . Подставим в формулу (2):
Итак, приближенное значение данной функции в
точке  x=2,04  равно: f2,04=f2+dy=1+0,48=1,48.
2.2 Вычисление приращения функции в заданной точке.
Из формулы приближенного вычисления значения функции получим: ∆y=fx-fx0= f'x0x-x0=dy. Значит ∆y=dy =f'x0∆x  (3) 
Пример 3: Найти приращение функции fx=sinx+5  в точке x=π3 и при приращении ∆x  =0,5.
∆y=dy =sinx+5'∆x=cosx∆x∆y=cosπ3∙0,5=0,5∙0,5=0,25Пример 4. Найти дифференциал функции:
а) y=x3+2x-5 Ответ: dy=3x2+1xdxб) y=2xsinx Ответ: dy=2sinx-2xcosxdx с) y=5x5-19 Ответ: dy=95x5-18∙25x4dxЗадание 1. Решите самостоятельно:
1. Найти приращение функции fx=x4-7x2+x-1; в точке x=2; при ∆x=0,005  
2. Найти приращение функции fx=x2-4x-1; в точке x=1; при ∆x=0,001  
3. Найти дифференциал функции:
а) y=x3+2x-5б) y=2x∙sinxс) y=5x5-19Практическая часть: Подготовьте презентацию по выбору из представленных тем в виде решения задачи.
Работа должна соответствовать методическим рекомендациям по созданию презентации- приложение 2. Вы можете воспользоваться интернет ресурсами
http://edu.sernam.ru/book_sm_math1.php?id=51

Самостоятельная работа № 20
Применение производной для построения графика функции
Задачи:
1. Сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков.
2. Развивать  логическое мышление, умение анализировать, умение ставить проблему, решать ее.
Теоретическая часть.
План исследования функции. 
Для построения графика функции нужно:
1) найти область определения и область значений функции,
2)  установить, является ли функция чётной или нечётной,
3)  определить, является ли функция периодической или нет,
4)  найти нули функции и её значения при  x = 0,
5)  найти интервалы знакопостоянства,
6)  найти интервалы монотонности,
7)  найти точки экстремума и значения функции в этих точках,
8)  проанализировать поведение функции вблизи  “особых” точек и при больших
значениях модуля  x .
 П р и м е р . Исследуйте функцию  f ( x ) = x 3 + 2x 2 - x -2 и постройте график.
Р е ш е н и е . Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.
1)  область определения x R ( x – любое действительное число);
область значений  y R, так как  f ( x ) – многочлен нечётной степени;
2)  функция  f ( x ) не является ни чётной, ни нечётной
( поясните, пожалуйста );
3)   f ( x ) – непериодическая функция ( докажите это сами );
4)  график функции пересекается с осью Y  в точке ( 0, – 2 ), так как f ( 0 ) = - 2; чтобы
найти нули функции нужно решить уравнение: x 3 + 2x 2 -x - 2  = 0, один из корней
которого  x = 1 очевиден. Другие корни находятся ( если они есть! ) из решения
квадратного уравнения:  x 2 + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена
x 3 + 2x 2 - x -2  на двучлен ( x – 1 ). Легко проверить, что два других корня: 
x2 = -2 и x3  = -1. Таким образом,нулями функции являются:  -2, -1 и 1.
5)  Это значит, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала
Знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак : 

Этот результат может быть получен разложением многочлена на множители:
x 3 + 2x 2 - x -2 = ( x + 2 ) ( x + 1 ( x – 1 )
и оценкой знака произведения  методом интервалов.
6)  Производная  f’ ( x ) = 3x2 + 4x -1 не имеет точек, в которых она не существует, поэтому ее область определения R ( все действительные числа ); нули  f’ ( x ) – это корни
уравнения:     3x2 + 4x - 1 = 0 
Эти корни: x1,2=-4±286=-2±73 . Функция имеет две критические точки  и три интервала
монотонности: -∞,-2-73, ( -2-73,-2+73), ( -2+73, +∞). Полученные результаты сведены в таблицу:
x-∞,-2-73-2-73( -2-73,-2+73)-2+73( -2+73, +∞)f'x+0 -0 +
fx5326911955200 ≈0,6312543841955200 ≈-2,1124635501905000
max min
Практическая часть: Исследуйте функцию и постройте её график.
Вы можете воспользоваться интернет- ресурсами: http://festival.1september.ru/articles/602469/
1 вариант 2 вариант
y=2x2-x4y=14x4-2x2y=3x4+2x2+5y=x4-2x2+2y=-3x-13xy=x+1xy=-4x3+3x2y=3x5-5x4y=x3-3x2+7y=x3-4x2+5xСамостоятельная работа № 21
Вычисление простейших интегралов
Задачи: повторить формулу Ньютона-Лейбница, научиться вычислять неопределенные и определенные интегралы, научиться решать задачи на вычисления геометрических и физических величин, формировать навык работы с формулами в текстовом редакторе.
Теоретическая часть:
1. Неопределенный интеграл.
Определение. Совокупность всех первообразных функций F(x)+С для функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается fxdx=Fx+C .
Вычислить интеграл:
Пример 1. x3dx=x3+13+1=x44+C;
Пример 2. sinkxdx=t=kxdt=kdx=1ksintdt=-1kcoskx+C.2. Формула Ньютона – Лейбница
abfxdx=Fb-Fa ,где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F'(x)=f(x).
Пример 3. Вычислить по формуле Ньютона – Лейбница π6π4dxcos2x π6π4dxcos2x=tgπ4-tgπ6=1-33=3-33Геометрические приложения определенного интеграла
Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических и физических величин. Вычисление некоторой величины u, соответствующей промежутку изменения независимой величины х выполняется по формуле u=abfxdx
3740150000Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
y=–x2, y=–x–2.
Решение. Сделаем чертеж.
Найдем абсциссы точек пересечения данных линий:
–x2=–x–2 или x2–x–2=0,
x1=–1,x2=2.
Значит, -12-x2dx--x-2dx=-12-x2+x+2dx=(-x33+x22+2x)=-83+42+4-11-12+2=-3+1,5+4+2=4,5Пример 5. Два электрических заряда e0=13 ∙10-7k и e1=23 ∙10-7k  находятся на оси OX соответственно в точках x0=0 и x1=1. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку x2=10? (Сила взаимодействия зарядов 
fx=9∙109e0e1x2H).
Решение: A=x1x2fxdx=1109∙10∙13 ∙10-7∙23 ∙10-7x2dx=2∙10-51101x2dx=-2∙ 10-5∙1x=2∙10-5-2∙10-6=18∙10-6
Существует несколько способов создания формул в текстовом документе.
Первый способ применяется для несложных математических выражений, в которых используется возведение в степень или перечисление. Выражение оформляется с использованием параметров оформления символов (верхний и нижний индекс).
Второй способ позволяет записывать математические выражения, используя символы стандартных шрифтов ОС Windows. Таким образом можно записать выражение в любом текстовом редакторе с различными возможностями. В MS Word 2007 для этого используется вкладка Вставка\Символ. В диалоговом окне Символ (см. рисунок 1) можно выбрать шрифт, просмотреть набор входящих в него символов и выбрать нужный.
Рисунок 1
Шрифт, который содержит большинство математических операций и обозначений, а так же греческие буквы, носит название Sumbol.
Третий способ создания математических выражений связан с использованием дополнительных возможностей пакета MS Office – Редактора формул. Этот модуль позволяет набирать в тексте выражения любой сложности и использовать любые математические операторы и конструкции.
Добавление формулы происходит с помощью вкладки Вставка\Формула. Вы можете выбрать готовую формулу из списка предложенных или создать новую. При создании новой формулы открывается дополнительная вкладка Работа с формулами, которая и позволяет создавать нужные математические выражения.
Рисунок 2
Прежде чем приступить к набору формулы, необходимо подумать, из каких операций и функций она строится, то есть определить структуру формулы.
Практическая часть: Вычислите интегралы и оформите решения в текстовом редакторе MS Word с помощью встроенного редактора формул. Вы можете воспользоваться интернет- ресурсами: http://qilab.phys.msu.ru/people/zadkov/teaching/seminar1/semnumer2.pdf
1 вариант 2 вариант
Вычислите неопределенные интегралы
x+6cosxdx2x-3cosxdxx2-13xdxx3-2xdxВычислите определенные интегралы
122x2dx12x2dx-12x2+2xdx-248+2x-x2dxπ8π61cos22xdx0π121cos23xdx1211x3dx1211x4dxНайдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=x, прямыми x=1, x=4 и осью Ox  
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=x2, прямой x=1  и осью Ox   
Найти 34 площади криволинейной трапеции, ограниченной линией y=-x2+4x-3и осью абсцисс. Найти утроенную площадь фигуры, ограниченной линиями y=x+1, х = 4 и осями координат
Самостоятельная работа № 22
Схемы повторных испытаний Бернулли
Задачи: формировать навыки применения схемы Бернулли при решении задач,
развивать основные мыслительные операции обучающихся: умение сравнивать, анализировать.
Теоретическая часть:
1. Схема повторных независимых испытаний.
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.
2. Примеры повторных испытаний.
3. Формула Бернулли.
Пример 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.
Решение: Событие A-достали белый шар. Тогда вероятности PA=23, PA=13,По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
P42=C42∙232∙132=827Пример 2. Каждый день акции корпорации АВС поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события.
Решение. Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли
P63=C63∙343∙143=0,13Практическая часть: Подготовьте письменное сообщение по выбору из представленных тем в виде решения задачи. (Смотрите рекомендации по подготовке письменного сообщения- приложение 1)
Вы можете воспользоваться интернет ресурсами
http://vunivere.ru/work22844
Самостоятельная работа№ 23
Решение различных видов уравнений и неравенств
Задачи: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения различных видов уравнений и неравенств.
Теоретическая часть.
1.Показательное уравнение  af(x) = ag(x) (где a >0, a ≠1) равносильно уравнению 
f(x) = g(x).
Пример 1.Решите уравнение: 22x-4=64;Решение: 22x-4=64; 22x-4=26; ⇔2x-4=6;x=5Пример 2. Решите уравнение: 14x= 15xРешение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид: 54x=1⇔x=0
Показательные неравенства
Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).
Пример 3. Решите неравенство: 0,5x2-3x≤0,53x-8. Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла x2-3x≥3x-8; x2-6x+8≥0. Найдем корни квадратного трехчлена: x1=2; x2=4. Так как D>0;a>0, то решением данного неравенства является множество: x∈-∞;2∪4;∞.Логарифмические уравнения и неравенства.
Уравнение вида
logax=b, где x>0, a>0, a≠1 называется  логарифмическим.
Пример 1. Решите уравнение:
log2x2+4x+3=3; x2+4x+3=8; x2+4x-5=0;x=-5 и x=1Пример 2.
log25 x-log5x-3=0; log25 x-2log5x-3=0;
пусть log5x=t, тогда t2-2t-3=0; t1=3; t2=-1;log5x=3, x=125 и log5x=-1, x=0,2 Ответ: x=125, x=0,2Если а > 1, то функция у = logax возрастает на всей своей области определения. Если же 0 < а < 1, то у = logax убывает на всей области определения. Это свойство функции используется при решении неравенств.
Пример 3. Решите неравенство: log135-2x>-2; 13<1⇒0<5-2x<9 ⇒-2<x<2,5Иррациональные уравнения и неравенства.
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.
Пример 1 . Решить уравнение 5-4x=2x+5.
Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат 5-4x2=2x+5.2 и получим 5-4x=4x2+20x+25  ⇔ 4x2+24x+20=0 ⇔ x2+6x+5=0, откуда следует, что x=-5 или x=-1.
Проверка. x=-5: 5-4∙-5=2∙-5+5 ⇔25=-5. Это неверное числовое равенство, значит, число -5 не является корнем данного уравнения.
x=-1: 5-4∙-1=2∙-1+5 ⇔9=3. Это верное числовое равенство, значит, число -1 является корнем данного уравнения.
Ответ. x=-1.
Под иррациональным неравенством будем понимать неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня.
Пример 2 . Решить неравенство 10x +5<-3 .
Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x , при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет. Ответ. Решений нет.
Практическая часть: Решите уравнения и неравенства. Вы можете воспользоваться интернет - ресурсами: http://festival.1september.ru/articles/538614/
1 вариант 2 вариант
Решите показательные уравнения и неравенства
4x=16416x=362x-1+2x+1=23x+2-5∙3x=3249x-4∙3x+3=025x-6∙5x+5=0711-3x-0,5<711x+1,572x-9>73x-63x2-4≥152x2-18<1Решите логарифмические уравнения и неравенства
log17x2+x-5=-1log2x2-3x-10=3log2x-5+log2x+2=3log3x-2+log3x+6=2log35x+3=log37x+5log123x-1=log126x+8log153x-5>log15x+1logπ3x+2≤logπx-1lgx>lg8+1lgx>2-lg4Решите иррациональные уравнения и неравенства
4+x=2x-13+x=5-xx+1=1-xx-3=x-1x-2>3x-2<1Самостоятельная работа № 24
Исследование уравнений и неравенств с параметром
Задачи:
Усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств с параметром. Применять алгоритм решения уравнений, неравенств.
Проводить полное обоснование при решении уравнений.
Теоретическая часть
Решить задачу с параметром – значит, для каждого значения параметра а найти значение х, удовлетворяющие этой задаче, т.е. это зависит от вопроса в задаче.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
- определить, при каких значениях параметров существует решения;
- для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений. 
Основные способы решения задач с параметром. 
Способ 1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в задачах без параметра.
Способ 2. (графический) В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).
Способ 3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.
Схема исследования квадратного уравнения
Уравнение вида ax2+bx+c=0 , 1 , где a,b,c - выражения, зависящие от параметров, а ≠ 0, х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами. 
Если a = 0, то имеем линейное уравнение bx+c=0. 
Если a ≠ 0 и дискриминант уравнения D=b2-4ac<0, то уравнение не имеет решений. 
Если а ≠ 0 и D=0, то уравнение имеет единственное решение x=-b2aЕсли а ≠ 0 и D>0, то уравнение имеет два различных корня x1,2=-b±D2aПример1.Для всех значений параметра а решить уравнение a-1x2-2ax+a+2=0Решение. 1) a-1 = 0, т.е. a = 1.Тогда уравнение примет вид -2x+3=0, x=322)a ≠ 1. Найдём дискриминант уравнения D=4a2-4a-1a+2=-4a+8Возможны случаи: а) D< 0, т. е. -4a+8< 0, 4a>8, a>2. Уравнение не имеет корней.
б) D = 0, т.е. -4a+8 = 0, 4a = 8, a = 2. Уравнение имеет один корень
x=aa-1=22-1=2.в) D > 0, т.е. -4a+8>0, 4a<8, a<2.в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а < 8, а < 2. Уравнение имеет два корня:
x1,2=2a±-4а + 8 2a-1=a±2-aa-1Ответ. При a = 1 x=32; при a = 2 x=2; при a>2 нет корней; при a<2 и а ≠ 1
x1,2=a±2-aa-1Пример 2. При каких a неравенство ax+x2-4x+3>1 выполняется для всех x?
Решение: x2-4x+3>1-ax .
две функции  y=x2-4x+3y=1-ax                                                           
Построим эскизы графиков функций:

Найдем уравнение касательной в точке x0 функции y= |x2-4x+3|yx0=x02-4x0+3, yx0=2x0-4, fx=2x0-4x-x02+3-уравнение касательной.
Тогда -x02+3=1⇔x0=±2. Так как x0<0, x0=-2Подставим значение точки x0 в производную рассматриваемой  функции и получаем, что -a=-22-4, a=4+22. Следовательно, при a=4+22 ,y=1-ax– касательная к y= |x2-4x+3||. Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы 1<a<4+22  
Практическая часть: Решите уравнения и неравенства с параметрами. Оформите решения в текстовом редакторе MS Word с помощью встроенного редактора формул. Вы можете воспользоваться интернет- ресурсами: http://festival.1september.ru/articles/538614/
1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет три различных корня.
x2-1+x2-x-2-x-a=02. Решите уравнение log0,25-x+log52-x-a=03 Для всех допустимых значений параметра a решить неравенство
x-a+2a-x+a-1+3-a>0Список литературы
Основные источники:
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., Издательский центр « Академия» 2010.
Гусев В.А. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля – М., Издательский центр « Академия» 2012.
Дополнительные источники:
Башмаков М.И. Математика. 10 класс. Сборник задач – М., Издательский центр « Академия» 2008.
Колмогоров А.Н Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11кл. – М., Издательство « Просвещение» 2010
Погорелов А.В. Геометрия 10-11– М., Издательство « Просвещение» 2010.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11. – М., Издательство « Просвещение» 2005.
Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности – М., Издательский центр « Академия» 2013
Интернет-ресурсы:
http://www.ege.edu.ru/http://www.fipi.ru/http://www.pm298.ru/algeb8.phphttp://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.htmlhttp://www.pm298.ru/preobr3.phphttp://www.terver.ru/trigonometry.phphttp://hijos.ru/2011/06/22/nepreryvnye-drobi/http://finance-place.ru/http://geometry2006.narod.ru/Lessons/10-11/12.ppthttp://www.mathprofi.ru/http://refdb.ru/look/2035266-p11.htmlhttp://www.mathprofi.ru/uravnenija_pryamoi_v_prostranstve.htmlhttp://nsportal.ru/shkola/mezhdistsiplinarnoe-obobshchenie/library/2013/12/12/rol-matematiki-v-sovremennom-mirehttp://www.cleverstudents.ru/functions/function_graph_transformations.htmlhttp://www.terver.ru/slojenie_odnotipnih_kolebaniy.phphttp://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2014/11/14/proekt-funktsii-ryadom-s-namihttp://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works_2012/Alikina_Alla.pdfhttp://www.bestreferat.ru/referat-114348.htmlhttp://edu.sernam.ru/book_sm_math1.php?id=51http://festival.1september.ru/articles/602469/http://qilab.phys.msu.ru/people/zadkov/teaching/seminar1/semnumer2.pdfhttp://vunivere.ru/work22844http://festival.1september.ru/articles/538614/ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Методические рекомендации к написанию реферата
Реферат должен быть оформлен в MS Word, шрифт текста Times New Roman, 14 пт., интервал 1.
Объем реферата может колебаться в пределах 10-15 печатных страниц (без приложений).
размер полей: левого – 30 мм, правого – 15 мм, верхнего – 20 мм, нижнего – 20 мм.
Реферат должен состоять из следующих структурных элементов:
1Титульный лист
Содержание
Введение
Основная часть реферата
Заключение
Список используемой литературы
Методические рекомендации по подготовке сообщения
Сообщение – это сокращенная запись информации, в которой должны быть отражены основные положения текста, сопровождающиеся аргументами, 1–2 самыми яркими и в то же время краткими примерами.
Сообщение составляется по нескольким источникам, связанным между собой одной темой. Вначале изучается тот источник, в котором данная тема изложена наиболее полно и на современном уровне научных и практических достижений. Записанное сообщение дополняется материалом других источников.
Этапы подготовки сообщения:
1. Прочитайте текст.
2. Составьте его развернутый план.
3. Подумайте, какие части можно сократить так, чтобы содержание было понято правильно и, главное, не исчезло.
4. Объедините близкие по смыслу части.
5. В каждой части выделите главное и второстепенное, которое может быть сокращено при конспектировании.
6. При записи старайтесь сложные предложения заменить простыми.
Тематическое и смысловое единство сообщения выражается в том, что все его компоненты связаны с темой первоисточника.
Сообщение должно содержать информацию на 3-5 мин. и сопровождаться презентацией, схемами, рисунками, таблицами и т.д
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Методические рекомендации по составлению презентаций
Требования к презентации
На первом слайде размещается:
название презентации;
автор: ФИО, группа, название учебного учреждения;
На втором слайде указывается содержание работы, которое лучше оформить в виде гиперссылок (для интерактивности презентации).
На последнем слайде указывается список используемой литературы в соответствии с требованиями, интернет-ресурсы указываются в последнюю очередь.