Внеурочное занятие по математике для студентов СПО «Математические приемы при решении задач по физике»

Внеурочное занятие для студентов СПО«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ»
Василькова Т.А
Цель данной работы повысить уровень фундаментальной математической подготовки с усилием ее прикладной физической направленности. Основное внимание уделяется решению задач с физическим содержанием. Перед решением задач проводится справочная информация по физике; определения, закон; это помогает понять физическую суть задач и выбрать соответствующие математические модели и формулировки физических законов. Задачи систиматезированы по темам:
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Дифференцирование функций одной переменной
Исследование функций на экстремумы
Определение интеграла
Некоторые приложения скалярного произведения
Угол между векторами
Определение угла Ф между нулевыми векторами a и b:
cosφ=a ∙ ba∙bТ.е cosφ= axbx+ ayby+ azbzax2+ ay2+ az2 bz2+ by2+ bz2Отсюда следует условие перпендикулярности нулевых векторов a и b:
a⊥b⟺ axbx+ ayby+ az+ bz=0Проекция вектора на заданное направление
Нахождение проекции вектора а , на направление, заданное вектором b, может осуществляться по формуле:
ПРв a= a ∙bb ПРa b= a ∙ba т.е ПРa=axbx+ayby+azbzbx2+by2+bz2Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующий угол ф с перемещением АВ = S. Из физики известно, что работа силы P при перемещении S равна
A=F ∙S ∙cosφ т.е A= F∙FТаким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Примеры
Вычислить работу, произведенную силой F=(3;2;4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А = (2;4;6) в положение В (4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила F?
Решение: Находим 8 = АВ = (2,-2,1). Стало быть,
A= F∙S=3∙2+2∙-2+4∙1=6Угол ф между F и S находим по формуле
cosφ=F∙SF∙S, т.е
cosφ=69+4+16 ∙4+4+1=629 ∙3=229 , φ=arccos229Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов (См. рис.1)
Если a││b, то a*b = 0 и наоборот, если axbx=ayby=a2b2 , то векторы коллинеарны.
Определение момента силы относительной точки (См. рис 2)
Пусть в точке Л приложена сила Р = АВ и пусть О некоторая точка пространства. Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектором М, который проходит через точку О и:
Перпендикулярен плоскости, проходящий через точки О, А, В;
Численно равен произведению силы на плечо
M=F∙ON=F∙τ∙sinφ=F∙OAsinF,OA;
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.
Скорость прямолинейного движения
Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = 8 до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние, зависит от иссекшего времени t, т.е S = S(t).
181292534925037509453492503231515349250788035349250OMM11
18135607727951771963158750∆S
S(t)
S(t+∆t)
Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки. Если в некоторый момент времени (точка занимает положение М, то в момент времени t + ∂t (∂t – приращение времени) точка займет положение M1, где ОМ1= S + ∂S (∂S - приращение расстояния)). Таким образом, перемещение точки М за время ∂t будет ∂S = S(t + ∂t) – S(t).
Отношение ∂S∕∂t выражает среднюю скорость движения точки за время ∂t:
Vср. = ∆S∆t.Средняя скорость зависит от значения ∂t чем меньше ∂t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∂ t называют скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Означив эту скорость через V, получим
V = lim∆t→0 ∆ S∆t, или V = lim∆t→0 S t+ ∆t-S(t)∆tК нахождению пределов приводят решения и множества других задач. Можно показать что:
- если Q = Q(t) – количество электричества, проходящее через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна
I = lim∆t→0 ∆ Q∆t = lim∆t→0 Qt+ ∆t-N(t)∆t;
- если N=N(t) – количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна
V = lim∆t→0 ∆ N∆t = lim∆t→0 Nt+ ∆t-N(t)∆t;
- если m = m(x) – масса неоднородного стержня между точками 0(0;) и М (х;0), то линейная плотность стержня в токе x есть
S = lim∆x→0 ∆ m∆x = lim∆x→0 mx+ ∆x-m(x)∆x.
Все эти пределы имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:
Vt', It', Vt', Sx'Следующая формула используется для вычислений приближенных значений функций.
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f ' (x) ∙ ∆x
Примеры
Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04с от начала падения. Уравнение свободного падения тела
H = 9n ∙t22, 9n = 1,6 m/c2Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (∂H = dH)
H(t+∆t) ≈ H (t) + H'(t) ∙∆t.
При t = 10c и ∆t = dt = 0, 04c, H'(t) = gπt, находим
H (10,04) ≈ 1.6 ∙1002 + 1.6 ∙ 10 ∙ 0, 04 = 80 + 0,64 = 80, 64 (м).
Механические приложения определенного интеграла
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельной этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения x = a в положении x = b (a<b), находится по формуле.
A = abF (x) dx
Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?
Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению x, т.е F = kx, где k; - коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 H растягивает пружину на x = 0,1 м; следовательно, 100 = k*0,01 откуда k = 10000;
Следовательно, F = 10000x.
Искомая работа а основании формулы приведенной выше равна
A = 00, 051000 xdx = 500 x2 0, 050 = 12, 5 (Дж).
Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты H мм радиусом основания R м. (См. рис 3)
Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом P на высоту H, равна P*H.
Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев неодинакова.
Для решения поставленной задачи введем систему координат так, как показано на рисунке.
Работа, затраченная на выкачивания из резервуара слоя жидкости толщиной x (0≤x≤H), есть функция от х, т.е.
A=A(x), где 0≤x≤H (A(0) = 0, A(H) =Ao).
Находим главную часть приращения dA при изменении x на величину dx = dx, т.е. находим дифференциал dA функции A(x).
Ввиду малости их считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине x (от края резервуара).
Тогда dA = dp*x, где dp – вес этого слоя, он равен g*y*dv, где g – ускорение свободного падения, y – плотность жидкости, dv – объем «элементарного» слоя жидкости, т.е dp = g*y*dv.Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен п*R2*dx, где dx – высота цилиндра (слоя), п*R2 – площадь его основания, т.е. dv = п*R2*dx.
Таким образом, dp = g*y*п*R2*dx и dA = g*y*n*R2* dx*x
Интегрируя полученное в пределах от x = 0 до x = H
A0 = OHgyπR2xdx = 12 gyπR2H2 (Дж)
Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t1 до t2. Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени, т.е v(t) = dS/dt. Отсюда следует, что dS = v(t) *dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до t2. S =t1t2 vtdt.
Пример
Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/c), то путь, пройденный телом от начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды равен
S = 0410t+2dt= 5t240+2t40=80+8=88(m)Давление жидкости на вертикальную поверхность (См. рис 4)
По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой глубиной её погружения от свободной поверхности жидкости, т.е Р = g*y*S*H, где g - ускорение свободного падения, y – плотность жидкости, S – площадь пластинки, H - глубина ее погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах. Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями x = a, x = b, y1 = ƒ1(x) и y2 = ƒ2(x), система координат была выбрана так, как указано на рисунке 4. Для нахождения давления P жидкости на эту пластину применим метод дифференциала.
Пусть часть искомой величины P есть функция от x: p=p(x) , т.е p=p(x) давление на часть пластины, соответствующее отрезку (a,x) значение переменной x, где x = (a,b) (p(a) = 0, p(b) = P).
Дадим аргументу x приращение ∂x = dx. Функция p(x) получит приращение (на рисунке – полоска – слой толщины dx). Найдем дифференциал ∂p этой функции. Ввиду малости dx будем приближенно считать полоску прямоугольником, точки которого находятся на одной глубине x, т.е. пластинка эта горизонтальная. Тогда по закону Паскаля dp = g*y* (y2-y1) * dx*x.
Интегрируя полученное равенство в пределах от x=a до x=b, получим
P = g ∙ y aby2- y1xdx или P = gyabƒ2x- ƒ1 x∙xdx.Пример
Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды. (См. рис 5)
Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку.

P = gy OR(R2- x2-(-R2+x2)) xdx= = 2gy ORR2+x2xdx=2gy ∙ -12 OR(R2- x2)12 d R2-x2== - gy ∙ 2(R2- x2)33 RO= - 23 gy 0-R3= 23 gyR3
643763015621050336453524255019040349885557276029781552781203105155483557157053
6121871631572577920-616201790713032006121401682750 M B V455580396567
54838608826554847981156082012960257251F=AB M
612140226695013900151454150061216816005800 O τ φ ω F A O
13901102263161280928226316
155384515049500 N
Рис. 1 Рис. 2.
51023013170161280928112300 x70129403162304623435316230147955316856242684728990052629289901218104528990112809282899010366528289901365760711200 O y
65216681808990056275961809000051023001945473549653181350368935318135036830031940503686703196040x a
3663952082800701294023558560159902489205102225235575-2921023495003930652349503803652089150 x y2 = ƒ2(x)
510222569850-29210220980dx H x+dx31502351644650305513716478605102225330162-292573305412208340331110340995332105340995736600366528718020 R y1=ƒ1(x)
5101590165100y O b
42834353451180 Рис. 3 x Рис. 4.
515620026225542830752762253000375276225 O y
37642801682750 R
37642802768603409950276860327342544450 dx x
4282440220345 R
x Рис. 5.
Заключение: На уроках физики при решении задач часто используется понятие производной, скалярно произведения. Так, например, определение скорости, ускорения при заданном законе движения значительно упрощается, если применить дифференцирование. Работа вычисляется как скалярное произведение силы и перемещения A = FScosa. Чтобы учащимся было легче установить связь между физическими задачами математическими понятиями, целесообразно эти вопросы дополнительно рассматривать с сильными учащимися на факультативных занятиях или консультациях.
Цель такой работы: научится видеть в условиях физических задач математическую постановку вопроса, выявить математическую сущность проблемы. В статье раскрывается физический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения математики в физике: скорость и ускорение неравномерного движения; расчет с помощью определенного интеграла пути, пройденного телом; работы переменной силы, работа при поднятии груза, давление жидкости; закона охлаждения тел; закона изменения давления воздуха в зависимости от высоты.
Список литературы:
Ветрова В. Т. Сборник физических задач по общему курсу высшей математики. – Минск «Высшая шкала», 1997г.
Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике. – Москва. Айрис Пресс, 2002г.
Шарыгин И.С. Сборник задач по математике с решениями. – Москва. Астрель. Аст, 2001г.