Фрагмент рабочей тетради по теме Дифференциальное исчисление
Раздел 3. «Математический анализ»
Тема 3.1. Дифференциальное исчисление
Сложная функция. Производная сложной функции
Задание №1.
Продифференцировать функции, используя формулы производных:
1) у = х3, 2) у = cos х, 3) у = ln х, 4) у = 2х
Задание №2.
Продифференцировать функции, используя правила дифференцирования:
1) у = х2 + ln х, 2) у = cos х · 5х, 3) 13 EMBED Equation.3 1415, 4) у = ех · (2х + 3)
Сложная функция – это ______________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Теорема 3.1. О производной сложной функции
__________________________________________________________________
________
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·3.
Продифференцировать сложные функции, используя правила дифференцирования:
1) у = ln (х + 2), 2) у = cos 5х, 3) у = (2х + 5)3, 4) у = 13 EMBED Equation.3 1415
Задание №4.
Продифференцировать сложные функции, используя правила дифференцирования:
1) у = 13 EMBED Equation.3 1415, 2) у = sin 5х · (х + 5)3, 3) 13 EMBED Equation.3 1415
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Задание для выполнения дома
Задание № 5.
Продифференцировать сложные функции, используя правила дифференцирования:
1) у = 13 EMBED Equation.3 1415, 2) у = ln 10х · (х – 2)4, 3) 13 EMBED Equation.3 1415
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Дифференциал функции и его приложения
Дифференциал функции – это _________________________________________
__________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Задание №1.
Найти дифференциал функции:
1) у = 13 EMBED Equation.3 1415, 2) у = 13 EMBED Equation.3 1415, 3) у = 13 EMBED Equation.3 1415, 4) у = 5х2
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям
1) Нахождение приращения функции
·у
· dу.
Пример. Найти приближенно приращение функции у = 2х2 + 3 при х = 2 и
·х = 0,001.
Решение. dу = (2х + 3)'dх = 4хdх, dу = 4·2·0,001 = 0,008,
·у = 0,008.
Задание №2.
Найти приближенно приращение функции у = 5х3 – 2 при х = 4 и
·х = 0,001.
Задание №3.
Шар радиуса R = 20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. Насколько увеличился при этом объем шара?
2) Нахождение числового значения функции f(х +
·х)
· f(х) + dу
Пример. Найти приближенное значение функции у = 2х2 + 3 при х = 2,001.
Решение. х = 2,001 = 2 + 0,001
f(2) = 2·22 + 3 = 11
dу = 4хdх, dу = 4·2·0,001 = 0,008
f(2,001) = f(2 + 0,001) = 11 + 0,008 = 11,008, f(2,001) = 11,008.
Задание №4.
Найти приближенное значение функции
· у = 5х3 – 2 при х = 4,001.
Задание для выполнения дома
Задание № 5.
Найти дифференциал пути, выраженного уравнением s = 5t2, если t = 4 и
·t = 0,01.
Задание №6.
Найти приближенное значение функции у = х3 – 5х2 + 80 при х = 4,001.
Задание №7.
Сторона квадрата равна 5 см. Найти приближенное приращение площади квадрата при увеличении его стороны на 0,01 см.
Функции нескольких переменных.
Предел и частные производные функции двух переменных
Функция двух переменных х и у с областью определения G – это ______________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Задание №1.
Приведите примеры функций от двух переменных:
Пусть функция u = f (x,y) определена в некоторой окрестности точки М0 (х0, у0).
Предел функции u = f (x,y) при (х, у) (х0, у0) – это _______________________
__________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Функция u = f (x,y) называется непрерывной в точке М0 (х0, у0), если __________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Задание №2.
Определить, в каких точках функции имеют разрыв:
1) 13 EMBED Equation.3 1415, 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть существует предел 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда этот предел называется ___________________________________________________
__________________________________________________________________
и обозначается символом
Пусть существует предел 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда этот предел называется ___________________________________________________
__________________________________________________________________
и обозначается символом
Практическое нахождение частных производных:
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
____________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Задание №3.
Вычислить частные производные функции f(х,у) = х2у – у3 + 1.
Задание №4.
Вычислить частные производные функции f(х,у) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание для выполнения дома
Задание № 5.
Написать реферат на тему «История появления функции от нескольких переменных».
13PAGE 15
13PAGE 14415
Root Entry