Фрагмент рабочей тетради по теме Системы линейных уравнений
Раздел 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Тема 1.2. Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений. Основные понятия
Система линейных алгебраических уравнений – это _______________________
_________________________________________________________________
Коэффициенты системы – это ________________________________________
Правые части системы – это ___________________________________________
Задание № 1.
Назвать коэффициенты и правые части системы:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение системы уравнений – это ______________________________________
__________________________________________________________________
Совместная система – это ____________________________________________
___________________________________________________________________
Несовместная система – это ____________________________________________
___________________________________________________________________
Задание № 2.
Решить систему линейных уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Является ли данная система уравнений совместной?
Ответ: ________________________________________________________________
Частное решение системы – это _______________________________________
___________________________________________________________________
Общее решение системы – это _________________________________________
___________________________________________________________________
Задание № 3.
Найти частные решения системы линейных уравнений, зная общее решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Однородная система уравнений – это ___________________________________
__________________________________________________________________
Неоднородная система уравнений – это ___________________________________
__________________________________________________________________
Задание № 4.
Назвать однородные и неоднородные системы линейных уравнений:
1) 13 EMBED Equation.3 1415, 2) 13 EMBED Equation.3 1415, 3) 13 EMBED Equation.3 1415, 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Матрица системы – это _______________________________________________
__________________________________________________________________
Две системы линейных уравнений относительно неизвестных х1, х2, , хп называются эквивалентными тогда и только тогда, когда ___________________
__________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Теорема 1.2. Если в системе линейных алгебраических уравнений к одному из уравнений прибавить другое, умноженное на любое число, то полученная таким образом новая система будет эквивалентна исходной.
Специальные виды системы:
Трапециевидная Треугольная
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решение систем уравнений различными методами
Для решения систем линейных алгебраических уравнений используют один из способов: метод обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса.
Решение системы методом обратной матрицы будем находить по формуле
Х = А-1 · b. Согласно формуле нужно найти обратную матрицу А-1 и выполнить матричное умножение А-1 · b.
Задание № 1.
Решить систему методом обратной матрицы:
Решение:
1. Запишем систему в матричной форме А·Х = b
Замечание: если в уравнениях отсутствуют некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице А нужно поставить нули.
2. Вычислим определитель |А|:
3. Теперь вычислим алгебраические дополнения и запишем их в матрицу А*:
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
4. Запишем транспонированную матрицу АТ:
5. Находим обратную матрицу А-1:
6. Находим искомую матрицу Х:
·
Ответ: _____________________________________________________________
Для того чтобы использовать правило Крамера Вы должны уметь раскрывать определители «2Ч2» и «3Ч3».
Задание №2.
Решить систему методом Крамера:
Решение:
1. Вычислим определитель матрицы А:
Замечание: определитель матрицы А называют главным определителем системы и обозначают
·. Если
·
· 0, то система имеет единственное решение. Если
· = 0, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
2. Вычислим определители
·х1,
·х2,
·х3. Для этого заменим столбцы определителя А при неизвестных на столбец из правых частей системы.
3. Вычислим корни уравнений по формулам 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: _____________________________________________________________
Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.
Задание №3.
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
1. Запишем расширенную матрицу системы уравнений:
Замечание: Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.
2. Выполним элементарные преобразования.
Существуют следующие элементарные преобразования:
1) Строки матрицы можно переставлять местами.
2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной.
3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить.
4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля.
5) К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Строка, которую прибавляют – не изменяется. Всегда меняется строка, к которой прибавляют.
3. Находим решения системы:
Ответ: _____________________________________________________________
Задание для выполнения дома
Задание № 4.
Решить систему линейных уравнений одним из трех способов.
13 EMBED Equation.3 1415
13PAGE 15
13PAGE 14715
Рисунок 1Root Entry