Фрагмент рабочей тетради по теме Матрицы и определители
Раздел 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Тема 1.1. Матрицы и определители матриц
Понятие матрицы. Действия над матрицами
Матрица – это _________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Матрицы обозначают большими латинскими буквами, саму таблицу заключают в скобки (круглые, квадратные или другой формы).
Элементы матрицы – это ________________________________________________
__________________________________________________________________
Строка матрицы – это _________________________________________________
__________________________________________________________________
Столбец матрицы – это _________________________________________________
___________________________________________________________________
Если в матрице содержится m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размеры m Ч n.
Задание № 1.
Назвать размер матриц:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если матрица заполнена символами, то их снабжают двойным индексом, например, аij. Первый индекс i – номер строки, второй j –номер столбца.
Матрица А с элементами аij может быть записана в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
Матрицы А и В называются равными, если ______________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Сумма двух матриц А и В одинакового размера m Ч n – это ________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Сложение матриц коммутативно, то есть А + В = В + А.
Задание № 2.
Найти сумму матриц А и В:
1) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Произведение матрицы А на действительное число
· – это _________________
__________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Задание № 3.
Найти произведение матрицы на число:
1) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Произведение матриц А (размер m Ч n) и В (размер n Ч р) – это ________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Произведение матриц не коммутативно, то есть А·В
· В·А.
Задание № 4.
Найти произведение матриц А и В:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Главная диагональ матрицы – это _________________________________________
______________________________________________________________________
Единичная матрица Ет – это _____________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Задание № 5.
Записать единичные матрицы Е2 и Е3:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Задания для выполнения дома
Задание № 6.
Найти сумму матриц А и В:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Задание № 7.
Найти произведение матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 на число 5:
Задание № 8.
Найти произведение матриц А · В и В · А:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Определители второго и третьего порядка.
Методы их вычисления
Если А – квадратная матрица порядка п, то с ней можно связать число, называемое _______________________________________________________ и обозначаемое через |А|.
13 EMBED Equation.3 1415.
При п = 1 13 EMBED Equation.3 1415. При п = 2 13 EMBED Equation.3 1415. При п = 3
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Задание № 1.
Вычислить определители второго порядка:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 = ___________________________________________________
·_________
2) 13 EMBED Equation.3 1415 = ____________________________________________________________
Задание № 2.
Вычислить определитель третьего порядка:
13 EMBED Equation.3 1415 = ___________________________________________________________
Матрица В называется транспонированной по отношению к матрице А (обозначают через АТ), если __________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Например, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание № 3.
Найти матрицы, транспонированные по отношению к матрице А:
1) А = 13 EMBED Equation.3 1415 АТ = 13 EMBED Equation.3 1415
2) А = 13 EMBED Equation.3 1415 АТ = 13 EMBED Equation.3 1415
Свойства определителей:
1. Определитель матрицы А не меняется при транспонировании, т.е. |А| = |АТ|.
2. При перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет знак.
3. Если в матрице определителя содержится две одинаковые строки (столбца), то такой определитель равен нулю.
4. Если какая-нибудь строка или столбец содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Дополнительные миноры Мkj – это _______________________________________
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Алгебраические дополнения Ак1 к элементам матрицы ак1 – это ________________
__________________________________________________________________
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
Квадратная матрица называется треугольной, если _______________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов матрицы, стоящих на главной диагонали.
7. Если матрица С является произведением двух квадратных матриц А и В, то ее определитель равен произведению определителей этих матриц, то есть, если
С = А·В, то |С| = |А|·|В|.
Задание № 4.
Вычислить определитель, используя свойства определителей:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 = ____________________________________________________________
2) 13 EMBED Equation.3 1415 = _________________________________________________________
3) 13 EMBED Equation.3 1415=
4) 13 EMBED Equation.3 1415=
Пусть А – квадратная матрица порядка п.
Присоединенная матрица А* по отношению к матрице А – это _____________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Невырожденная матрица – это __________________________________________
__________________________________________________________________
Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если _________
__________________________________________________________________
13 EMBED Equation.3 1415
Теорема 1.1. Обратная матрица существует только для невырожденной матрицы.
Задание № 5.
Найти матрицу, обратной матрице А = 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание для выполнения дома
Задание № 6.
Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и А = 13 EMBED Equation.3 1415, В = 13 EMBED Equation.3 1415.
13PAGE 15
13PAGE 14615
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native