Статья и дидактический материал к модулю Реальная математика для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ в 8-11 классах
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа-интернат №2»
Выполнила
учитель математики
Харитонова Наталья Евгеньевна
П.Лыкошино2016 г.
Понятие «формула» достаточно широко используется не только в точных науках, но применительно к математике этим словом чаще всего обозначают некоторое тождество. Это запись двух последовательностей математических операций, примененных к одной или нескольким переменным, между которыми стоит знак равенства. Чтобы выразить одну переменную тождества через все остальные, надо преобразовать это равенство таким образом, чтобы в левой части осталась только эта переменная. Такими умениями должен владеть учащийся, чтобы выполнить задание № 20.Расчеты по формулам (ОГЭ), № 4.Преобразования выражений (ЕГЭ базовый уровень), № 10.Задачи с прикладным содержанием( ЕГЭ профильный уровень)
Инструкция для учащихся.
1 Начните преобразования, например, с избавления от дробей, если они есть в исходной формуле. Для этого обе части равенства умножьте на общий знаменатель. Например, формула 3y=x2после этого шага должна приобрести вид 6y = x2. Если выражение в одной части равенства содержит корень какой-либо степени, то избавьтесь и от него, возведя обе части тождества в степень, равную показателю корня. Для примера, приведенного выше, это действие должно выразиться в преобразовании формулы к такому виду: 36y2= x. Иногда операцию этого шага удобнее произвести до действия из шага предыдущего.
3. Преобразуйте выражение таким образом, чтобы все члены тождества, содержащие нужную переменную, оказались в левой части равенства.
4.Упростите выражение в левой части формулы так, чтобы искомая переменная стала одним из сомножителей.
5. Разделите выражения по обе стороны знака равенства на сомножители интересующей вас переменной. В результате в левой части тождества должна остаться только эта переменная.
6. Если искомая переменная в результате всех преобразований будет возведена в степень, то избавьтесь от степени извлечением корня данной степени из обеих частей формулы.
В ходе выполнения различных заданий подвести учащихся к выводу, что алгебраические, геометрические, физические формулы являются алгебраическими равенствами, работу с которыми помогут осуществить свойства верных равенств. Рассмотреть связь наук по данному вопросу, показать, как знания по одному предмету помогают изучить другой, установить общие подходы при выполнении заданий по математике и физике.
В ходе учебных занятий по данной теме собрать знания, умения и навыки из двух учебных предметов в одно целое.
Справочный материал.
Свойства верных равенств.
Словесная
формулировка Запись в виде формулы Пример
1.Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же число, то получится верное равенство.
Если a = b и m – любое число, то
a+m = b+m,
a-m = b-m. 7=7,
7+2=7+2,
7-2=7-2.
2.Если обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же число не равное нулю, то получится верное равенство. Если a = b и m‡0, то
a∙m = b∙m,
a:m = b:m. 27=27,
27∙3=27∙3,
27:3=27:3.
Математические действия и противодействия.
Действие Противодействие
"+"(сложение) "-" (вычитание)
" ∙"(умножение) ":"(деление)
«»(возведение в степень) «»(извлечение корня)
Схема выражения из формулы.
Основной принцип – «делай наоборот».
Выяснить какие действия необходимо выполнить с неизвестной величиной по порядку.
Произвести противодействия в обратном порядке с обеими частями алгебраического равенства или формулы.
4.Использование примера помощника.
ab = c . Выразить a или b. Пример помощник 84=2. Ясно, что 8 = 4∙2 или 4 = 8:2.
Например: Задача. Закон Джоуля–Ленца можно записать в виде Q = I2Rt, где Q — количество теплоты (в джоулях), I — сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах), а t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите время t (в секундах), если Q = 2187 Дж, I = 9 A, R = 3 Ом.
Решение.
Используя принцип –« делай наоборот», разделим обе части верного равенства на сомножитель I2R
QI2R=I2RtI2R ; t = Q I2R=218781∙3=9(с)
Задача. Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле где — масса тела (в килограммах), — его скорость (в м/с), — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а — ускорение свободного падения (в м/с2). Пользуясь этой формулой, найдите (в метрах), если а
Решение.
По 1свойству верных равенств, вычтем из обеих частей верного равенства одно и то же выражение mv22, получим E - mv22 = mgh. Затем по 2 свойству разделим обе части верного равенства на сомножитель mg, получим
E - mv22mg=hОткуда h= 250- 4∙2524∙10=20040=5(м)
Дидактический материал по теме.
7 класс
1 вариант
1. Задание 20 Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 70 см, n =1400 ? Ответ выразите в километрах.
2.Задание 20 Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 6° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.
3.Задание 20 Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 150 ватт, а сила тока равна 5 амперам.
2 вариант
1.Задание 20 Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 50 см, n =1200 ? Ответ выразите в километрах.
2.Задание 20 Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта ( °F) пользуются формулой , где — градусы Цельсия, — градусы Фаренгейта. Какая температура (в градусах) по шкале Фаренгейта соответствует 20° по шкале Цельсия? Ответ округлите до десятых.
3.Задание 20 . Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 245 Вт, а сила тока равна 7 А.
3 вариант.
1.Задание 20 . Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 158° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.
2.Задание 20 . Длину окружности можно вычислить по формуле , где — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если её длина равна 78 м. (Считать ).
3.Задание 20 . Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле где — масса тела (в килограммах), — его скорость (в м/с), — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а — ускорение свободного падения (в м/с2). Пользуясь этой формулой, найдите (в метрах), если а
4.Задание 20 . Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближённо вычислить по формуле s = 330t, где t — количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t = 10 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.
4 вариант.
1.Задание 20 . Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 158° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.
2.Задание 20 . Длину окружности можно вычислить по формуле , где — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если её длина равна 78 м. (Считать ).
3.Задание 20 . Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле где — масса тела (в килограммах), — его скорость (в м/с), — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а — ускорение свободного падения (в м/с2). Пользуясь этой формулой, найдите (в метрах), если а
4.Задание 20 . Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближённо вычислить по формуле s = 330t, где t — количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t = 10 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.
8- 9 класс
Варианты составлены из заданий открытого банка заданий ОГЭ.
Ответы
№1. 8; 400; -14,4; 0,0003;231,8;12
№2. 5; 2,25; 550; 8; 117,8; 10
№3. 0,6; 131; 9; 550; 8; 1,28
№4. 117,8; 1,28; 2,25; 5; -5; 1,28
Вариант № 1
1. Объём пирамиды вычисляют по формуле , где — площадь основания пирамиды, — её высота. Объём пирамиды равен 40, площадь основания 15. Чему равна высота пирамиды?
2. Закон Менделеева-Клапейрона можно записать в виде PV = νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите температуру T (в градусах Кельвина), если ν = 68,2 моль, P = 37 782,8 Па, V = 6 м3.
3. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 6° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.
4. Закон Кулона можно записать в виде где — сила взаимодействия зарядов (в ньютонах), и — величины зарядов (в кулонах), — коэффициент пропорциональности (в Н·м2/Кл2 ), а — расстояние между зарядами (в метрах). Пользуясь формулой, найдите величину заряда (в кулонах), если Н·м2/Кл2, Кл, м, а Н.
5. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Фаренгейта соответствует 111° по шкале Цельсия?
6. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 588 ватт, а сила тока равна 7 амперам.
Вариант № 2
1. Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле где — масса тела (в килограммах), — его скорость (в м/с), — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а — ускорение свободного падения (в м/с2). Пользуясь этой формулой, найдите (в метрах), если а
2. Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле , где — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.
3. Закон Менделеева-Клапейрона можно записать в виде PV = νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите температуру T (в градусах Кельвина), если P = 77698,5 Па, ν = 28,9 моль, V = 1,7 м3.
4. Объём пирамиды вычисляют по формуле , где — площадь основания пирамиды, — её высота. Объём пирамиды равен 40, площадь основания 15. Чему равна высота пирамиды?
5. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t, °C) в шкалу Фаренгейта (t, °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32, где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 244° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.
6. Площадь треугольника можно вычислить по формуле , где — длины сторон треугольника, — радиус вписанной окружности. Вычислите длину стороны , если .
Вариант № 3
1. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 50 см, n =1200 ? Ответ выразите в километрах.
2. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта ( °F) пользуются формулой , где — градусы Цельсия, — градусы Фаренгейта. Какая температура (в градусах) по шкале Фаренгейта соответствует 55° по шкале Цельсия?
3. Закон Джоуля–Ленца можно записать в виде Q = I2Rt, где Q — количество теплоты (в джоулях), I — сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах), а t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите время t (в секундах), если Q = 2187 Дж, I = 9 A, R = 3 Ом.
4. Закон Менделеева-Клапейрона можно записать в виде PV = νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите температуру T (в градусах Кельвина), если P = 77698,5 Па, ν = 28,9 моль, V = 1,7 м3.
5. Закон Джоуля–Ленца можно записать в виде Q = I2Rt, где Q — количество теплоты (в джоулях), I — сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах), а t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление цепи R (в омах), если Q = 1296 Дж, I = 9 A, t = 2 c.
6. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 80 см, n =1600 ? Ответ выразите в километрах.
Вариант № 4
1. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t, °C) в шкалу Фаренгейта (t, °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32, где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 244° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.
2. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 80 см, n =1600 ? Ответ выразите в километрах.
3. Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле , где — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.
4. Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по формуле где — масса тела (в килограммах), — его скорость (в м/с), — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а — ускорение свободного падения (в м/с2). Пользуясь этой формулой, найдите (в метрах), если а
5. Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула , где — температура в градусах Цельсия,— температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 23 градуса по шкале Фаренгейта?
6. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 80 см, n = 1600? Ответ выразите в километрах.