Метод координат при решении стереометрических задач ЕГЭ

МЕТОД КООРДИНАТ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С2 ЕГЭ-2010Алфёрова Наталья Васильевна, учитель математики высшей категорииМОУ «Горячеключевская СОШ»Омского района Омской области Немного из истории координатного метода Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Суть метода координатСущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно применять геометрию к решению алгебраических задач.Метод координат обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.В некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. Цели изучения метода координат показать учащимся эффективность метода решения задач и доказательства ряда теорем; показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии; способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся. Главное преимущество метода координатРешение задач С2 ЕГЭ-2010 при помощи метода координат алгоритмитизировано, а значит становится более простым для учащихся. Основные виды задач С2 ЕГЭ - 2010Угол между двумя прямымиУгол между прямой и плоскостьюРасстояние от точки до плоскостиУгол между двумя плоскостями Причины трудностей учащихся при решении подобных задачОтсутствие пространственного воображения.Сложность в усвоении понятий: угла между скрещивающимися прямыми, угла между прямой и плоскостью, двугранного угла, линейного угла, взаимного расположения плоскостей.Недостаток разнообразия такого типа задач в учебниках.В школьной программе по математике методу координат уделяется сравнительно мало внимания. АЛГОРИТМЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С2 ЕГЭ – 2010 (шпаргалка-помощница) Все условия для знаний создаются вам сейчас, До ЕГЭ ещё есть время, но наступит этот час! Так что нужно потрудиться, изучить и закрепить, Мой совет вам - не лениться, а математику учить!Н.В.Алфёрова УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ Задача. В кубе АВСДА1В1С1Д1 точка Е – середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВD1.  Алгоритм решения задачи:1.Ввести прямоугольную систему координат2.Ввести направляющие векторы данных прямых и определить их координаты. 3. Найти косинус угла между векторами по формуле сosα = УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИЗадача. В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1F1, все ребра которой равны 1, точки G и H - середины ребер соответственно А1В1 и В1С1. Найдите косинус угла между прямыми AG и BH. Алгоритм решения задачи:1.Ввести прямоугольную систему координат2.Рассмотреть правильный шестиугольник на плоскости, вычислить длину его диагонали АЕ по т. косинусов.3.Ввести направляющие векторы данных прямых и определить их координаты.4.Найти косинус угла между векторами по формуле  сosα = УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮЗадача. В кубе АBCДА1В1С1Д1 точка Е – середина ребра А1В1. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью ВДД1. Алгоритм решения задачи:1.Ввести прямоугольную систему координат2.Ввести направляющий вектор данной прямой, определить его координаты: АЕ (х1;у1;z1) 3.Вывести уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0, где N (A; В; С) – вектор нормали4.Найти синус угла между векторами по формуле: sinα = РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИЗадача. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 5, высота 5. Найти расстояние от вершины A до плоскости BДM, где M середина ребра CC1. Алгоритм решения задачи:1.Ввести прямоугольную систему координат, определить координаты данной точки A (х0;у0;z0).2. Вывести уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0, где N (A; В; С) – вектор нормали3.Найти расстояние от точки A (х0;у0;z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 по формуле: d = УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИЗадача. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями А1В1С и АВ1С1. Алгоритм решения задачи:1.Ввести прямоугольную систему координат. 2. Вывести уравнения плоскостей: А1х+В1у+С1z+D1=0, где N1 (A1; В1; С1) – вектор нормали одной плоскости, А2х+В2у+С2z+D2=0, где N2(A2; В2; С2) – вектор нормали второй плоскости. 3.Вычислите косинус угла между плоскостями по формуле: сosα = | | Прямоугольная система координат в правильной треугольной призме Прямоугольная система координат в правильной четырёхугольной пирамиде Учебник «Геометрия 10-11», Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.В издание 2010 г.введён п.53 Уравнение плоскости Метод координат, его плюсы и минусыИзбавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений. +При решении не нужна высокая степень сообразительности, что негативно сказывается на творческих способностях учащихся. -Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. - Нацелен на результат ЕГЭ, т.е. в рамках учебного времени, даёт возможность «натаскивания» учащихся на решение подобного типа задач. + и –Нет необходимости в дополнительных построениях каких-либо сечений, линейных углов, линий пересечения плоскостей. Полностью отсутствует доказательства, обоснование того или иного применения теорем стереометрии. +Экономит время и место в оформлении задачи. +Легко усваиваемый большинством учащихся с разной математической подготовкой. + Желаю успехов в выборе.Спасибо за внимание!