Презентация по геометрии на тему Расстояние от точки до прямой (7 класс) Урок 55.

Проверка домашнего задания. Домашнее задание:1. § 37, вопросы 14-18. 2. Решить задачи № 272, 277. 3. Выполнить работу над ошибками с/р. № 268. № 269. № 270. Задача 1. Задача 2. Цели урока: 1) ввести понятие наклонной, проведенной из точки, не лежащей на данной прямой, к этой прямой; расстояние от точки до прямой; расстояние между параллельными прямыми; 2) рассмотреть свойство параллельных прямых; 3) научить учащихся решать задачи на нахождение расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми. 1. Фронтальная работа с классом. – Какие прямые называются перпендикулярными? Используя рис., укажите: а) отрезок, который являетсяперпендикуляром, проведеннымиз точки А к прямой а; б) отрезки не являющиесяперпендикулярами, проведеннымииз точки А к прямой а; в) основание перпендикуляра,проведенного из точки А к прямой а; г) отрезок наименьшей длины,проведенный из точки А к прямой а. 2. Изучение нового материала. а С D В А наклонная перпендикуляр наклонная АС – перпендикуляр; С – основание перпендикуляраАВ, AD – наклонные. АС < АВ, АС< AD, так как АС – катет в прямоугольных треугольниках ABC и ADC, AB u AD – их гипотенузы. Вывод: Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведен-ной из той же точки к этой прямой. Расстоянием от точки A до прямой a называется длина перпендикуляра AH, проведенного из точки к прямой. Расстояние от точки до прямой – наименьшее из расстояний от этой точки до точек прямой. Расстояние от точки до прямой A H M a наклонная Расстояние от точки одной из двух параллельных прямых до другой прямой одинаково для всех точек. Расстояние между параллельными прямыми B A b Если a || b, AB  b, MN  b (см. рис.), то AB = MN. a Если MN  b, то MN  a. N M ΔABN = ΔNMA (по гипотенузе и острому углу) Доказательство Следовательно, AB = MN, ч.т.д. Обратно: все точки по одну сторону от данной прямой, удаленные от нее на данное расстояние, лежат на параллельной прямой. Теорема: Все точки плоскости, расположенные по однусторону от данной прямой и равноудаленныеот нее, лежат на прямой, параллельной данной. Пусть произвольные точки А и В распо-ложены по одну сторону от прямой а и расстояние от точки А до прямой а равно расстоянию от точки В до прямой а, т.е. АС= BD, где АС  a, BD  а. Докажем, что АВ || а. Доказательство: Так как АС  a и BD  а, то AC || BD, значит, накрест лежащие углы АСВ и CBD равны. ∆ АСВ = ∆ DBC по двум сторонам и углу между ними (АС = BD по условию теоремы, ВС- общая сторона, ACB= CBD как накрест лежащие при параллельных прямых АС и BD секущей ВС), следовательно, ABC= BCD. ABC и BCD - накрест лежащие углы при прямых АВ и CD и секущей ВС и они равны, следовательно, АВ || CD, т.е. АВ || а, что и требовалось доказать. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из них до другой. Расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной из них до точек другой: AB < MN. Расстояние между параллельными прямыми B A b a M N UROKIMATEMATIKI.RU Игорь Жаборовский © 2011 На этом свойстве основано устройство инструмента, называемого рейсмусом. Рейсмус используется в столярном деле для разметки на поверхности деревянного бруска прямой, параллельной краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края бруска металлическая игла прочерчивает отрезок прямой, параллельный краю бруска. 2. Закрепление изученного материала. 1. Решить задачи № 150, 151 из РТ. (Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях). 2. Решить задачи № 273, 276. (Один из учащихся читает задачу, а затем решает ее, остальные внимательно слушают его и исправляют ошибки.) № 150. № 151. № 273. № 276. 3. Самостоятельно решить задачи: I уровень – № 152-155 из РТ; II уровень – № 271, 275, 278 из У. № 152. № 153. № 154. № 155. № 271. № 275. № 278. Методическое пособие: Задача № 268.Дано: С= С1=90°, В= В1.АС=А1С1.Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.Доказательство. А = 90°– В = 90°– В1= А1,Рассмотрим ∆А1В1С1 и ∆АВС: АС=А1С1, С = С1 = 90°, А = А1. Значит ∆А1В1С1=∆АВС (по второму признаку равенства треугольников). Что и требовалось доказать. А1 В1 С1 А В С Н А В С Н1 А1 В1 С1 Задача № 269.Дано: А= А1, В= В1.ВН и В1Н1 – высоты, ВН=В1Н1.Доказать:∆АВС=∆А1В1С1.Доказательство.Рассмотрим ∆А1В1Н1 и ∆АВН: ВН=В1Н1, А = А1. Значит ∆А1В1Н1=∆АВН (по катету и острому углу). Следовательно АВ = А1В1.Рассмотрим ∆А1В1С1 и ∆АВС: АВ = А1В1, А = А1, В= В1. Значит ∆А1В1С1=∆АВС (по второму признаку равенства треугольников). Что и требовалось доказать. Анализ: Пусть В и С— искомые точки, т.е. ОВ= ОС, тогда ∆ОВС — равнобедренный, а точка Апринадлежит его основанию ВС. Биссектриса ОК данного треуголь-ника является его высотой, т.е. ОК ВС. Построение: 1. Построим биссектрису ОК угла О. 2. Построим перпендикуляр к прямой ОК, проходящий через точку А. 3. Перпендикуляр пересекает стороны угла О в точках В и С. ВС - искомая прямая. Доказательство: Прямоугольные треугольники ОВК и ОСК равны по катету и острому углу ( ВОК= СОК, так как ОК- биссектриса ВОС, ОК - общий катет), тогда OB = OC. ( ВКО = 90°, СКО = 90°, так как AK ОК). К Решение: Дополнительные задачи: Задача 1. В ∆АВС угол С тупой. Продолжения высот АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что ABC= AOC и OAC= OBC. Решение: Задача 2. Через середину стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная к АВ, пересекающая ВС в точке Е. ВС = 24 см, периметр треугольника АЕС равен 30 см. Найдите АС. Задача № 273. Решение: СЕ + CD = 31 см, СЕ – CD= = 3 см, тогда СЕ = CD + 3см, значит, СЕ + CD = (CD+ 3) + CD=31 см,откуда CD= 14см. Расстояние от вершины С до прямой DE равно CD, т.е. 14 см. Ответ: 14 см. Решение: О - середина АВ,тогда АО=BO. AD и BC – расстояние от концов от-резка АВ до прямой a (AD а,ВС a). ∆ AOD = ∆ ВОС по гипотенузе и острому углу (АО = OB, AOD = ВОС как вертикальные), тогда AD = СВ, то есть концы отрезка АВ равноудалены от прямой а. Задача № 276. Решение: АВ – перпендикуляр, АС – наклонная. АС – АВ = 1 см,тогда АС = АВ + 1 см, АС + АВ == АВ + 1 + АВ = 17 см, отсюда АВ= 8 см, т.е. расстояние от точки А до прямой а равно 8 см. Решение: Расстояние междупрямыми АВ и CD равно АС.∆ ЛСВ - прямоугольный, D = 30°, тогда АС = 1/2 АD = 3 см. Задача № 278. Задача № 271. Ответ: 3 см. Ответ: 8 см. Решение: ME АС, МК ВС, ME = МК.∆ АВС - равнобедренный, тогда А = В. ∆ ЕМА = ∆ КМВ по катетуи прилежащему к нему острому углу (ME = МК, ЕМА = КМВ. Так как ЕМА = 90° – А = = 90° – В = AMВ), тогда АМ = MB и СМ – медиана, проведенная из вершины равнобедренного треугольника к его основанию, а значит, и его высота. Задача № 275.