Конспект по геометрии для 11 класса «Конус. Площадь поверхности конуса. Объем конуса»
Разработку урока подготовила учитель математики МОУ «Кадетская школа № 16» Гунина Елена Степановнаг.Саратов Тип урока: лекцияЦели и задачи: ввести понятие конуса, элементов конуса, виды конических сечений прямого кругового конуса, понятие касательной плоскости к конусу, понятие усечённого конуса; вывести формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и усечённого конуса; рассмотреть три доказательства для вычисления объёма конуса; научить учащихся решать задачи по этой теме. Ход урока:Как вы считаете на что похож конус? Приведите примеры . Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 443) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.443).Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 444 и 445). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 445).Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.Рис. 446 и 447 Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию - круги. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей - эллипс ( рис.87 ). Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих - парабола ( рис.88 ). Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей ( рис.89 ).В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конуса). Конические сечения представляют большой интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Так, они широко используются в технике ( эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны ); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую (рис.450). Задача №1. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота H. Задача № 2. Площадь осевого сечения конуса равна Q. Найти объём если угол между образующей и плоскостью основания равен альфа . Теорема 1. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую (Sбок=πRL, где R—радиус основания конуса, L— длина образующей). Если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих SB, то в результате мы получим круговой сектор SBB1который называется разверткой боковой поверхности конуса. Радиус полученного кругового сектора равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса (рис. 75, а, б, в). Площадь кругового сектора SBB1 равна π /360*a, где а — градусная мера дуги ВВ. Длина дуги ВВS равна 2πR= πL/180*а, тогдаа = 360R/L. Следовательно, площадь кругового сектора SBB1 равна: πRL. Площадь кругового сектора SBB1 равна площади боковой поверхности конуса. Sбок = πRLПолную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь:T = πRL + π = πR(L + R). B, В1 S Задача № 3 Плоскость проходит через вершину конуса и отсекает в его основании дугу в a радиан (0 < a < 180). Высота конуса равна h, а радиус R. Найти: а ) площадь сечения конуса указанной плоскостью; б ) площадь боковой поверхности конуса. А) Найдем площадь сечения конуса указанной плоскостью. Из ОВС - прямоугольного. Треугольник АОВ - равнобедренный (АО = ОВ =R) и ОС - высота в треугольнике АОВ (по свойству высоты OС перпендикулярна АВ)ВС = sin( а/2)*R (sin(а/2) = BC/R) ОС = cos(а/2)*R (cos(а/2) = OC/R) Из РОС ( прямоугольный, т.к. РО - высота в конусе по условию) Тогда S сечения конуса =1/2*PC*АB .Так как треугольник РАВ - равнобедренный, РС - высота, АВ = АС + СВ, АС = ВС, следовательно, S сечения конуса =PC*BС Б) Найдем площадь боковой поверхности конуса. S б = π *R*L, где L - образующая конуса. Из РОА ( прямоугольный, так как РО - высота по условию) РА = L S б = π *R* Ответ: а) б) S б = π *R* Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом. Боковые ребра конуса являются образующими конуса. Как бы вы определили боковую и полную площади усеченного конуса? Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна Sбок = πL(R + r). Площадь полной поверхности усеченного конуса равнаS = πL(R + r) + π + π . Пусть дан конус с объёмом V , радиусом основания R , высотой H . 1. Вычисление объёма конуса с помощью определённого интеграла: где S(x) - площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ox (ось Ox проходит через ось конуса).2. За величину объёма конуса принимается предел, к которому стремится объём правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон её основания. 3. Объём конуса равен объёму тела вращения. Объем конуса 1-е доказательство (рис. 1). 2-е доказательство. За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания. 3-е доказательство (рис. 2). Решение задач на объем конуса Задача 4. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг? Задание на дом1. Прямоугольный равнобедренный треугольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла и параллельной гипотенузе. Найти объем тела вращения, если гипотенуза равна 2a.2. Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?3. Задачи группы В11: Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса , деленный на π.2. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса , если его образующую увеличить в 3 раза? Задачи группы В11: Найдите объем V конуса , образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 . В ответе укажите .