Презентация по геометрии на тему Перпендикулярность прямых и плоскостей
@@@* Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. b a c a b, a b c a, c a c / * Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. a b c aIIb, a c A C M * Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. a a * О 1 А В Построение прямых углов на местности с помощью простейшего прибора, который называется экер Треножник с экером Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли. * Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола. * * A O В №119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD. D По опр. С * A O В №119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD, ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС. По опр. С С D * В №121. В треугольнике АВС дано: С = 900, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ. По опр. С К А М 12 см 8 см 6см * В №121. Еще один эскиз к задаче С К А М 12 см 8 см 6см * a a1 Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. a х * a b Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. a b a II b * АВС – равносторонний треугольник.О – точка пересечения медиан. Если a — сторона треугольника, то точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1. * С М O В АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника. По опр. А 3 1 * Р №124. Прямая РQ параллельна плоскости . Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что РQ = P1Q1. Q Q1 P1 PP1IIQQ1 РР1 QQ1 * ABCD – параллелограмм. BE (ABC), DF (ABC)Доказать: (АВЕ) II (СDF) А В С D Е F ВЕ II DF ВЕ (АВС) DF (АВС) AB II DC (ABЕ) II (CDF) * q p a a a p, p a q, q Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. * Чтобы установить перпендикулярность прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум прямым, лежащим в плоскости. * 吗ȃC*涿ǡ쎀οGroup 99ୀෘဘ吘ȃC,ǡ쎀οGroup 110ୀෘဘφ‚ܠධ吙ȃC,ǡ쎀οGroup 102ȧ( ŘnŒJŜ8Œ\Ŝ8Œĸȧ䀀耀ȕȧ( ŘnŒJŜ8Œ\Ŝ8ŒĸȧОрехFreeform 106Орех#ƿ``Ȝन์ȼ吝ਂ̃Ǹǯ…‡€їĿŀŁłƨŃˀń셅 셆셑F셒&셕셖Řſƀ䆆솇ƈƿǀࠀǁDŽNj┵ǖǿȀȁ㍦Ȅȅ㆜Ȇ왰ȉȊȋȌȐȑȿ̄̿쎀쎁οƨ@Ƙp0ʰˀʰ ˀʰƘ䀀耀ࠁ@kиʜMʬʜ™ʬʜОрехFreeform 105Орех#ƿ``ȜकഠҀҲ吕Ј‚ђǻ䄄섅Ŀƿǿ̿쎀쎁οРисунок1676Picture 96Рисунок1676开敲獬ⸯ敲獬콬櫁ッ،ﯠ瑠鑟僮裆寓힡㻒놀쒕똬撌柭橺軇䤿괧⍦죑싙僁ᳶ鹢尭윯ྷ娰ᙌꑮᡰ彟㎆꺭邶넮榨噊䬋儓䋽槉藇魲ⱌ헉쩖얌⿹ğ牟汥⽳爮汥偳ŋⴂ᐀ࠀ℀嬀彁윃�ༀ܀搀獲搯睯牮癥砮汭䭐·˻۰р܄࿘ďಢ吖ГfǯЂ孀їƁࠀƿǀࠀǿȁࠀȿ̿쎀οНомер слайда 1ཞဠᕠႊР༈ഀ棰鼀ЏЀꀀȏ⨀ꄀ᠏ȀਈȀ܀ȀȀ�ЏꨀਏȀĀꘀఏ퐀퀁ဃ Ȇ吡ਂ̃ǂ⌐ￗǯ…‡€їĿŀŁłѠŃ@ń셅셆셑.셒셕셖Řſƀ䆆솇ƈƿǀࠀǁDŽNj┵ǖǿȀȁ㍦ȄȅȆ왰ȉȊȋȌȐȑȿ̄̿쎀쎁οhѠЀ@@h䀀态耀hѠЀ@@hОрехFreeform 98Орех#ƿ``Ȝୀଐྠഠ‚कୀෘဘ吘ȃC,ǡ쎀οGroup 110ୀෘဘφ‚ܠධ吙ȃC,ǡ쎀οGroup 102ȧ( ŘnŒJŜ8Œ\Ŝ8Œĸȧ䀀耀ȕȧ( ŘnŒJŜ8Œ\Ŝ8ŒĸȧОрехFreeform 106Орех#ƿ``Ȝन์ȼ吝ਂ̃Ǹǯ…‡€їĿŀŁłƨŃˀń셅 셆셑F셒&셕셖Řſƀ䆆솇ƈƿǀࠀǁDŽNj┵ǖǿȀȁ㍦Ȅȅ㆜Ȇ왰ȉȊȋȌȐȑȿ̄̿쎀쎁οƨ@Ƙp0ʰˀʰ ˀʰƘ䀀耀ࠁ@kиʜMʬʜ™ʬʜОрехFreeform 105Орех#ƿ``ȜकഠҀҲ吕Ј‚ђǻ䄄섅Ŀƿǿ̿쎀쎁οРисунок1676Picture 96Рисунок1676开敲獬ⸯ敲獬콬櫁ッ،ﯠ瑠鑟僮裆寓힡㻒놀쒕똬撌柭橺軇䤿괧⍦죑싙僁ᳶ鹢尭윯ྷ娰ᙌꑮᡰ彟㎆꺭邶넮榨噊䬋儓䋽槉藇魲ⱌ헉쩖얌⿹ğ牟汥⽳爮汥偳ŋⴂ᐀ࠀ℀嬀彁윃�ༀ܀搀獲搯睯牮癥砮汭䭐·˻۰р܄࿘ďಢ吖ГfǯЂ孀їƁࠀƿǀࠀǿȁࠀȿ̿쎀οНомер слайда 1ཞဠᕠႊР༈ഀ棰鼀ЏЀꀀȏ⨀ꄀ᠏ȀਈȀ܀ȀȀ�ЏꨀਏȀĀꘀఏ퐀퀁ဃ ഠ‚कୀෘဘ吘ȃC,ǡ쎀οGroup 110ୀෘဘφ‚ܠධ吙ȃC,ǡ쎀οGroup 102ȧ( ŘnŒJŜ8Œ\Ŝ8Œĸȧ䀀耀ȕȧ( ŘnŒJŜ8Œ\Ŝ8ŒĸȧОрехFreeform 106Орех#ƿ``Ȝन์ȼ吝ਂ̃Ǹǯ…‡€їĿŀŁłƨŃˀń셅 셆셑F셒&셕셖Řſƀ䆆솇ƈƿǀࠀǁDŽNj┵ǖǿȀȁ㍦Ȅȅ㆜Ȇ왰ȉȊȋȌȐȑȿ̄̿쎀쎁οƨ@Ƙp0ʰˀʰ ˀʰƘ䀀耀ࠁ@kиʜMʬʜ™ʬʜОрехFreeform 105Орех#ƿ``ȜकഠҀҲ吕Ј‚ђǻ䄄섅Ŀƿǿ̿쎀쎁οРисунок1676Picture 96Рисунок1676开敲獬ⸯ敲獬콬櫁ッ،ﯠ瑠鑟僮裆寓힡㻒놀쒕똬撌柭橺軇䤿괧⍦죑싙僁ᳶ鹢尭윯ྷ娰ᙌꑮᡰ彟㎆꺭邶넮榨噊䬋儓䋽槉藇魲ⱌ헉쩖얌⿹ğ牟汥⽳爮汥偳ŋⴂ᐀ࠀ℀嬀彁윃�ༀ܀搀獲搯睯牮癥砮汭䭐·˻۰р܄࿘ďಢ吖ГfǯЂ孀їƁࠀƿǀࠀǿȁࠀȿ̿쎀οНомер слайда 1ཞဠᕠႊР༈ഀ棰鼀ЏЀꀀȏ⨀ꄀ᠏ȀਈȀ܀ȀȀ�ЏꨀਏȀĀꘀఏ퐀퀁ဃ * A O В Докажите, что АО С С 350 550 420 480 * ABCD и ВMNС – два прямоугольника. Доказать: ВС (СDN) А В С D M N Доказать: ВС DN * ABCD – прямоугольник. В треугольнике ВСМ сторона ВС = 6, СМ = 8, ВМ = 10. Доказать: ВС (СDN) А В С D M 6 8 10 * Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD, где D – произвольная точка прямой АС. А С В D на дом №126. М * В М O С Через точку О пресечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, МВ = МD. Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскости параллелограмма. А D на дом №128. * В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 900. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что СD АС. C A B D №127. * А М D Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что МВА = МВС = 900; МВ = m, АВ = n. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых ВD и АС. В С n m n n O №130. * D А АВСD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости АВС. ВЕ = 15, ЕС = 24, ЕD = 20. Докажите, что треугольник ЕDС прямоугольный и найдите АЕ. C В Е 24 15 20 СD AED СD AD, СD АЕ * В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 900. Е ВС, ЕМ АВС. Докажите, что АС МЕ. C A B М Е * АВСD – ромб, МD (ABC).Доказать: 1) AС (BMD), 2) AС MB. D С А M B * * Определение. a a S A F N D H Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Повторение * q p a a p, p , a q, q , Признак перпендикулярности прямой и плоскости. a Повторение Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. * Планиметрия Стереометрия Отрезок АН – перпендикулярТочка Н – основание перпендикуляраОтрезок АМ – наклоннаяТочка М – основание наклонной Н А а А Н М М Отрезок МН – проекция наклонной на прямую а Отрезок МН – проекция наклонной на плоскость * Планиметрия Стереометрия Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра Н А а А Н М М Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра Из всех расстояний от точки А до различных точек прямой а наименьшим является длина перпендикуляра. плоскости * Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли Н а к л о н н а я Н а к л о н н а я ПЕРПЕНДИКУЛЯР Проекция Проекция * Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. II * Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. a II a Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью. * a II Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. a Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. b a b * Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к этим прямым, называется их общим перпендикуляром. На рисунке АВ – общий перпендикуляр. А В * В С П-Р M П-Я Н-Я А Н-Я П-Я * A К Из точки А к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость углы в 600. Угол между наклонными 900. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки А до плоскости равно см. 600 600 С В * А Н П-Р М Теорема о трех перпендикулярах.Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Н-я П-я a * А Н П-Р М Обратная теорема.Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. Н-я П-я a * Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ВС. В С А М №148. К П-я П-Р Н-я TTП BC AМ П-я BC MК Н-я * Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см.Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС. В С А N №149 (дом.) D П-я П-Р Н-я TTП BC AN П-я BC DN Н-я АN и DN – искомые расстояния 5 12 6 * В треугольнике угол С прямой, угол А равен 600, AС=12см. DC (АВС). DC= Найдите расстояния: а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ. 600 С А N D П-я П-Р Н-я TTП АВ СN П-я AB DN Н-я CN и DN – искомые расстояния 12 В * * Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую. a Н А Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра Повторение Н А * В С M Из точки В к плоскости проведена наклонная, равная 12 см. Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость равен 300. Найти расстояние от точки В до плоскости. 12 см 300 ? * Планиметрия Стереометрия Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Двугранный угол А В С А В С * Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости. Две полуплоскости – грани двугранного угла Прямая a – ребро двугранного угла a * O Угол РDEK Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного угла А В N Р M К D E Угол SFX – линейный угол двугранного угла S X F * Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК. D E Р К O Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Алгоритм построения линейного угла. * Все линейные углы двугранного угла равны друг другу. А В O А1 В1 O 1 Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены Углы АОВ и А1О1В1 равны, как углы с сонаправленными сторонами * Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым * Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.Треугольник АВС – равнобедренный. А С В N П-р Н-я П-я TTП АС ВМ H-я АС NМ П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК К M * Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.Треугольник АВС – прямоугольный. А В N П-р Н-я П-я TTП АС ВС H-я АС NС П-я Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК К С * Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.АВСD – прямоугольник. А В N П-р Н-я П-я TTП DС BС H-я DС NС П-я Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК К С D * Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.АВСD – трапеция, угол С острый. А В П-р П-я TTП DС ВM H-я DС NM П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК К С D Н-я M N * С А В D M В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD. № 167. * Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 1800. № 169. F В А О *