ПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО МАТЕМАТИКЕ 1-5 ЛАСС

ПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО МАТЕМАТИКЕ 1-5 ЛАСС
Сложение чисел.a+b=c, где a и b–слагаемые, c–сумма.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Вычитание чисел.
a-b=c, где a–уменьшаемое, b–вычитаемое, c-разность.
 Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Умножение чисел.
a·b=c, где a и b-сомножители, c-произведение.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Деление чисел.
a:b=c, где a-делимое, b-делитель, c-частное.
 Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное.
 Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
 Законы сложения.
 a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
 (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).
 Таблица сложения.
 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Законы умножения.
 a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
 (a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).
 (a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).
 Таблица умножения.
2·1=2;         3·1=3;         4·1=4;       5·1=5;         6·1=6;       7·1=7;          8·1=8;         9·1=9.
2·2=4;         3·2=6;         4·2=8;       5·2=10;       6·2=12;      7·2=14;       8·2=16;       9·2=18.
2·3=6;         3·3=9;         4·3=12;      5·3=15;       6·3=18;      7·3=21;       8·3=24;      9·3=27.
2·4=8;         3·4=12;       4·4=16;      5·4=20;       6·4=24;      7·4=28;       8·4=32;      9·4=36.
2·5=10;       3·5=15;       4·5=20;      5·5=25;       6·5=30;      7·5=35;       8·5=40;      9·5=45.
2·6=12;       3·6=18;       4·6=24;      5·6=30;       6·6=36;      7·6=42;       8·6=48;      9·6=54.
2·7=14;       3·7=21;       4·7=28;      5·7=35;       6·7=42;      7·7=49;       8·7=56;      9·7=63.
2·8=16;       3·8=24;       4·8=32;      5·8=40;       6·8=48;      7·8=56;       8·8=64;      9·8=72.
2·9=18;       3·9=27;       4·9=36;      5·9=45;       6·9=54;      7·9=63;       8·9=72;      9·9=81.
2·10=20;     3·10=30;     4·10=40;     5·10=50;     6·10=60;    7·10=70;     8·10=80;    9·10=90.
 Делители и кратные.
 Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. (Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24-делители числа 24, т. к. 24 делится на каждое из них без остатка) 1-делитель любого натурального числа. Наибольший делитель любого числа – само это число.
 Кратным натурального числа b называют натуральное число, которое делится без остатка на b. (Числа 24, 48, 72,…-кратны числу 24, так как делятся на 24 без остатка). Наименьшее кратное любого числа — само это число.
 Признаки делимости натуральных чисел.
 Числа, употребляемые при счете предметов (1, 2, 3, 4,…) называют натуральными числами. Множество натуральных чисел обозначают буквой N.
 Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными цифрами. Числа, запись которых оканчивается четными цифрами, называют четными числами.
 Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называют нечетными цифрами. Числа, запись которых оканчивается нечетными цифрами, называются нечетными числами.
 Признак делимости на число 2. Все натуральные числа, запись которых оканчивается четной цифрой, делятся на 2.
 Признак делимости на число 5. Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, делятся на 5.
 Признак делимости на число 10. Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0, делятся на 10.
 Признак делимости на число 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
 Признак делимости на число 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
 Признак делимости на число 4. Если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4, то и само данное число делится на 4.
Признак делимости на число 11. Если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11, то и само число делится на 11.
 Простые и составные числа. Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
 Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
 Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.
НОД (Наибольший общий делитель). Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.
 Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел. Пример. НОД(24, 42)=2·3=6, т. к. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, их общие простые множители 2 и 3.
 Если натуральные числа имеют только один общий делитель-единицу, то эти числа называют взаимно простыми.
 НОК (Наименьшее общее кратное). Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
 Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
 Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.
 Обыкновенная дробь.b-знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;
a-числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.
Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b.
У правильной дроби числитель меньше знаменателя.
У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.
 Основное свойство дроби.Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
 Сокращение обыкновенной дроби.Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.
Смешанное число. Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.
 Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.
 Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.
Координатный луч.Луч Ох с началом отсчета в точке О,  на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом.
Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки. Например, А(3). Читают: точка А с координатой 3.
 Приведение обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
 Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
 Сравнение обыкновенных дробей. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.
 Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.
 Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
 Действия над обыкновенными дробями.
Сложение  и  вычитание обыкновенных дробей. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
 Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.
 Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.
 Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
 При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.
 Умножение обыкновенных дробей. Произведение двух обыкновенных дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей.
 Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить тот же.
 Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными числами.
 При умножении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
 Деление обыкновенных дробей. Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.
 При делении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
 Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это натуральное число, а числитель оставить тот же. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).
 Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.