Научно-практическая работа Решение задач с помощью кругов Эйлера

Содержание работы:
Актуальность изученной темы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Цели и задачи исследования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Немного истории. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
А теперь рассмотрим некоторые задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Вывод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2
Актуальность темы:
Считаю эту тему актуальной, так как этот класс задач недостаточно затронут школьной программой, но довольно часто находит применение в реальной жизни.
Я поставила цель исследования:
Изучить математический аппарат предложенный Эйлером.
Использовать указанную методику для решения некоторых задач.
Задачи исследования:
Изучить способ решения задач, предложенный Эйлером.
Найти интересные задачи, для решения которых нужно использовать круги Эйлера.
Решить эти задачи.
Моя гипотеза:
Применения кругов Эйлера делает понятными условия и объяснения целого класса задач.
3
Немного истории.
Леона́рд Э́йлер — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук). Эйлер — автор более чем 850 работ (включая два десятка фундаментальных монографий) по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям. Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.
Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1726 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (будучи сначала адъюнктом, а с1731 года — профессором); в 1741—1766 годах работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.
4
А теперь рассмотрим некоторые задачи:
Условия:
В некотором городе 85% жителей знают немецкий язык,75% знают русский язык.
Вопрос:
Сколько % жителей знают оба языка.
Решение:
Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом №1 тех, кто знает немецкий язык, кругом №2 – тех, кто знает русский язык.
1996440838200№2
0№2
100965828675№1
25
25
0№1
25
25
624840476251524047625
100-85=15% не знает немецкий язык, запишем число 15 в круг №2.
100-75=25% не знает русский язык, запишем число 25 в круг № 1.
415290488315-146685488315Знают только 1 язык 25+15=40%, тогда знают оба языка 100-40=60%.
94869071755060
25
25
0060
25
25
254096520025
25
25
0025
25
25
182499096520015
25
25
0015
25
25
1821815688975№2
25
25
0№2
25
25

8890315595№1
25
25
0№1
25
25

Ответ:
60%.
5
Условия:
Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.
Вопрос:
Сколько туристов не владеют ни одним иностранным языком?
Решение:
Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом №1 тех, кто знает английский, кругом №2 – тех, кто знает французский, и кругом №3 – тех, кто знают немецкий.
139636566040238696569850
26282651428752
25
25
02
25
25
3453130294640№2
25
25
0№2
25
25
1694815294640№1
25
25
0№1
25
25

26282653314703
25
25
03
25
25
188214046355
32156403302007
25
25
07
25
25
20980403302005
25
25
005
25
25

2694940270510№3
25
25
0№3
25
25

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3.
Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют ещё и немецким. Значит, английским и французским владеют 10-3=7 человек
В общую часть английского и французского кругов вписываем цифру 7.
Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. Значит, английским и немецким владеют 8-3=5 человек.
В общую часть английского и немецкого кругов вписываем число 5.
Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5-3=2 человека.
В общую часть немецкого и французского кругов вписываем цифру 2.
6
Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек.
Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек.
Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек.
По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним иностранным языком.
52959012700142494022225
17818101504952
25
25
002
25
25
805180169545№1
25
25
0№1
25
25
2567305169545№2
25
25
0№2
25
25

2736850-63530
25
25
0030
25
25
7073904064020
25
25
020
25
25
958215635
1776730571503
25
25
03
25
25

23482301485907
25
25
07
25
25
11099801200155
25
25
05
25
25

1704975140335№3
25
25
0№3
25
25

177673020256513
25
25
013
25
25

Ответ:
20 человек.
7
Условия:
100 шестиклассников нашей школы участвовали в опросе, в ходе которого выяснялось, какие компьютерные игры им нравятся больше: симуляторы, квесты или стратегии. В результате 20 опрошенных назвали симуляторы, 28 — квесты, 12 — стратегии. Выяснилось, что 13 школьников отдают одинаковое предпочтение симуляторам и квестам, 6 учеников — симуляторам и стратегиям, 4 ученика — квестам и стратегиям, а 9 ребят совершенно равнодушны к названным компьютерным играм. Некоторые из школьников ответили, что одинаково увлекаются и симуляторами, и квестами, и стратегиями.
Вопрос:
Сколько школьников одинаково увлекаются и симуляторами, и квестами, и стратегиями?
Решение:
Выразим условия задачи графически. Обозначим кругом №1 тех, кто увлекается симуляторами, кругом №2 – тех, кто увлекается квестами, и кругом №3 – тех, кто увлекается стратегиями.
Так как 9 ребят совершенно равнодушны к названным компьютерным играм, то только 100-9=91 шестиклассник увлекаются какими-либо играми.
20 опрошенных назвали симуляторы, значит в круг №1 впишем число 20.
28 шестиклассников назвали квесты, значит в круг №2 впишем число 28.
12 человек назвали стратегии, значит в круг №3 впишем число 12.
13 школьников отдают одинаковое предпочтение симуляторам и квестам, тогда в их общую часть впишем число 13.
6 учеников отдают одинаковое предпочтение симуляторам и стратегиям, тогда в их общую часть впишем число 6.
4 школьника отдают одинаковое предпочтение квестам и стратегиям, тогда в их общую часть впишем число4.
Тогда все три вида игры назвали 91-20-28-12-4-6-13=8.
8
192913023368013
25
25
013
25
25
2710180300355№2
25
25
0№2
25
25
1129030300355№1
25
25
0№1
25
25
15106653492580581534925
1932305180403512
25
25
012
25
25
19291306800858
25
25
08
25
25
19291301527810№3
25
25
0№3
25
25
1177290319405260540510420354
25
25
04
25
25
123380510420356
25
25
006
25
25
287210522288538
25
25
038
25
25
95758022288520
25
25
020
25
25


Ответ:
8 школьников одинаково увлекаются и симуляторами, и квестами, и стратегиями.
9
Условия:В классе 36 учеников. Многие из них посещают кружки: физический кружок посещают 14 человек, математический кружок посещают 18 человек, химический кружок посещают 10 человек. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка; из тех, кто посещает два кружка, 8 человек занимаются в математическом и физическом кружках, 5 — в математическом и химическом, 3 — в физическом и химическом.
Вопрос:
Сколько человек не посещают никаких кружков?
Решение:
Выразим условия задачи графически. Обозначим кругом №1 тех, кто посещают физический кружок, кругом №2 – тех, кто посещает математический кружок, и кругом №3 – тех, кто посещает химический кружок.
1281430-2753360№1
25
25
0№1
25
25
2535555294640№2
25
25
0№2
25
25
1030605361315№1
25
25
0№1
25
25
103441571501014154157683565341576835
1757680-19058
25
25
08
25
25
26720802647953
25
25
03
25
25
8782053028951
25
25
01
25
25

17576803016252
25
25
02
25
25

24625303384555
25
25
05
25
25
11099803384553
25
25
03
25
25

175768078740№3
25
25
0№3
25
25
17576803644900
25
25
00
25
25


Все 3 кружка посещают 2 человека, значит в общую часть всех кружков впишем число 2.
8 человек занимаются в математическом и физическом кружках, значит в общую часть математического и физического кругов и вписываем число 8.
5 человек занимаются в математическом и химическом кружках, значит в их общую часть вписываем число 5.
3 человека занимаются в физическом и химическом кружках, значит в их общую часть вписываем число 3.
Только физический кружок посещают 14-8-3-2=1 человек, значит в круг №1 впишем число1.
Только в математическом кружке занимаются 18-8-5-2=3 человека, значит в круг №2 впишем число 3.
Только в химическом кружке занимаются 10-5-3-2=0 человек, значит в круг №3 впишем число 0.
10
В кружках занимается 1+8+3+3+2+5+0=22 человека.
Так как в классе 36 человек, то не посещают никакие кружки 36-22=14 человек.
Ответ:
14 человек.
Вывод:
Моя гипотеза подтвердилась - применения кругов Эйлера делает понятными условия и объяснения целого класса задач.
11