Презентация по геометрии на тему Теорема Эйлера

Теорема Эйлера Леонард Эйлер (1707-1783)-швейцарский, немецкий и российский математик. Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению,теории музыки и др.Он работал в России 1727—1741 и 1766—1783 годах.  В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеченных Евклидом: Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре). В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат на одной прямой — «прямой Эйлера».Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности (окружности Эйлера). Теорема Эйлера для многогранниковВ любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенствоВ – Р + Г = 2 ДоказательствоCBADQA1B1C1D1OMK











Следовательно, если каждый многоугольник разделить ещё на треугольники, тогда грань окажется разделенной на Г’ треугольников с В’ вершинами и P’ сторонами.Г’ + В’ – P’=(Г-1) + В - Р Пусть n- число сторон грани. Каждый из треугольников имеет 3 стороны, поэтому число Р’ меньше числа 3Г’ на число сторон, каждая из которых одновременно принадлежит двум треугольникам, т.е. P’-n Р’= 3Г’ – (P’-n)n = 2Р’- 3Г’Сумма углов всех треугольников равна Г’*180º или Г’*180º= (n-2)*180º + 360º *(В’- n)Отсюда находимГ’= 2В’ – n – 2= 2В’ – (2P’ – 3Г’) – 2Т.е.Г’ + В’ - Р’= 1 Г’ + В’ – P’=(Г-1) + В - Р В – Р + Г = 2Теорема доказана.