Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи.

Пояснительная записка
Рабочая программа элективного курса «Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи» для 10 «Г» класса составлена на основе авторской программы А.Н. Землякова элективного курса «Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи» М. «Бином. Лаборатория знаний» 2012 год, составитель А.Н. Земляков. При составлении рабочей программы учтены рекомендации инструктивно-методического письма «О преподавании математики в 2014-2015 учебном году в общеобразовательных учреждениях .
Курс «Алгебра плюс» систематизирует и упорядочивает, закрепляет и углубляет знания, умения и навыки учащихся в области элементарной алгебры. Закрепление и углубление знаний учащихся, полученных в курсе алгебры основной школы, основывается на систематизации задач в соответствии с типами выражений, функций, фигурирующих в задачах (рациональных и иррациональных, алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических) и, на методах решения задач (переход к следствиям, равносильные преобразования, методы замены и разложения, функциональные методы, геометрические интерпретация, графическая интерпретация.
Основной целью изучения курса является:
Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочнение умений, необходимых для продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.
Получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как о составляющей всей математики как науки.
Развитие логической и методологической (в узком смысле) культуры, составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемый в рамках общей культуры.
Овладение общими приемами организации действий: планированием, осуществлением плана, анализом и выражение результатов действий.
При изучении курса « Алгебра плюс» перед учащимися ставятся следующие конкретные задачи:
- получение знаний об основных логических и содержательных типах алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, совокупностей с рациональными, иррациональными функциями/выражениями; овладение навыками соответствующих алгебраических преобразований выражений и логических преобразований алгебраических задач;
- овладение логическими, аналитическими, графическими методами решения алгебраических задач с изучаемыми классами выражений и функций;
освоение методов решения и исследования вычислительных и логических задач с параметрами;
получение конкретного представления о взаимосвязях высшей математики (арифметики, алгебры, математического анализа) с элементарной алгеброй на основе использования методов высшей математики при исследовании и решении алгебраических задач.

Место курса в учебном плане
Данная рабочая программа составлена для изучения алгебры по сборнику Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. Рабочая программа рассчитана на 34 часа, 1 час в неделю. в 10 классе-34 часа, из них 3 часа контрольные работы. В 10 классе изучаются темы «Логика алгебраических задач», «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения» и «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства».


Требования к уровню подготовки учащихся
Образовательные результаты
(планируемые результаты обучения)
Предметные знания. Алгебраические задачи: уравнения, неравенства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.
Общее понятие задачи с параметрами. Суждения существования и всеобщности, кванторы. Логические задачи с параметрами. Координатная интерпретация задач с параметрами.
Многочлены и действия над ними. Деление с остатком, алгоритмы деления. Теорема Безу. Разложимые многочлены. Кратные корни. Число корней многочлена. Система и теорема Виета.
Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
Многочлены низших степеней (от второй до четвертой). Поиск корней и разложений. Теоремы Виета для квадратичных и кубических многочленов (уравнений). Формула Кардано Тарталья,
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Методы замены и разложения. Метод интервалов, Метод эквивалентных переходов. Метод сведения к системам. Метод оценок. Использование монотонности. Схемы решения задач с модулями. Неравенства с двумя переменными координатная интерпретация. Метод областей.
Уравнения и системы с несколькими переменными. Основные методы решения рациональных алгебраических систем с двумя переменными: подстановка, исключение переменных, замена, разложение, использование симметричности и ограниченности, оценок и монотонности. Системы с тремя переменными основные методы.
Алгебраические задачи с параметрами. Основные методы решения и исследования: аналитический и координатный (метод «Оха»).
История алгебры как науки о выражениях и уравнениях (Кардано, Виет, Декарт, Ферма, Эйлер и др.).

Предметные умения, которыми должны овладеть учащиеся по изучении данного курса:
- умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные преобразования алгебраических задач (уравнений, неравенств, систем, совокупностей);
- умение использовать основные методы при решении алгебраических задач с различными классами функций (рациональными и иррациональными алгебраическими), в том числе: методы замены, разложения, подстановки, эквивалентных преобразований, использования симметрии, однородности, оценок, монотонности;
- умение понимать и правильно интерпретировать задачи с параметрами, логические и кванторные задачи; умение применять изученные методы исследования и решения задач с параметрами: аналитический и координатный.

Общеинтеллектуальные умения:
- умение анализировать различные задачи и ситуации, выделять главное, достоверное в той или иной информации;
- владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически обосновывать свои суждения;
- умение конструктивно подходить к предлагаемым зада-
- умение планировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.

Общекультурные компетенции:
- понимание элементарной математики как неотъемлемой части математики, методы которой базируются на многих разделах математики высшей;
- понимание роли элементарной математики в развитии математики, роли математиков в развитии современной элементарной математики;
- восприятие математики как развивающейся фундаментальной науки, являющейся неотъемлемой составляющей науки, цивилизации, общечеловеческой культуры во взаимосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.
Учебно-тематический план
№ п/п
Наименование разделов, тем
Часы учебного времени
Плановые сроки прохождения тем
Примечание

1
Логика алгебраических задач
6часов



2
Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения
22часа



3
Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
6 часов





Программа курса
Тема 1. Логика алгебраических задач
Элементарные алгебраические задача как предложения с переменными.
Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.
Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.
Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.
Алгебраические задачи с параметрами.
Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.
Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.

Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения
Представление о целых рациональных алгебраических выражения. Многочлены над полями R,Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольцо многочленов.
Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.
Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.
Элементы перечислительной комбинаторики: перестановка, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.
Квадратичные неравенств: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.
Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.
Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.
Графический анализ кубического уравнения х3+Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии.
Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.
Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
Представление о рациональных алгебраических выражениях.
Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.
Дробо-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

Содержание курса
Тема 1. Логика алгебраических задач
Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.
Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.
Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.
Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.
Алгебраические задачи с параметрами.
Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.
Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.

Тема 2. Многочлены и полиномиальные
алгебраические уравнения
Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Т.. Степень многочлена. Кольца многочленов.
Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.
Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.
Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение,
теорема Виета.
Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.
Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.
Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.
Графический анализ кубического уравнения х3+Ах = В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии.
Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.
Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства
Представление о рациональных алгебраических выражениях.
Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.
Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.
Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.








Учебно-методический комплекс:

1.Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.-118с.: ил.
2. .Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие / А.Н.Земляков.- М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.-319с. ил.
3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10класса общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни – М.: «Просвещение», 2012
4.Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.-М.:Илекса,2012,-208с.
5.Шепелева Ю.В. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10класс. Базовый и профильный уровни. – М.: «Просвещение», 2012






































Календарно-тематическое планирование по элективному курсу
Алгебра плюс: рациональные и иррациональные алгебраические задачи
для 10 «Г» класса уч. Хоружая Н.А.
№ урока
Тема урока
Дата
Прим.




План
Факт.



Глава 1. Логика алгебраических задач
§ 1. Основные понятия: алгебраические задачи, решения, равносильность





1
Алгебраические задачи как предложения с переменными
Равносильность и следование задач

5.09



2
Равносильность уравнений и систем с одной переменной
Совокупности и системы алгебраических задач

12.09



3
Следование уравнений с одной переменной
Неравенства с переменной и числовые неравенства
19.09




§2. Задачи с параметрами и логические алгебраические задачи

26.09



4
Что такое задача с параметром
Логические задачи с параметрами

3.10



5
Логические и кванторные формулировки задач с параметрами
Функционально-графическая интерпретация задач с параметрами
10.10



6
Координатная интерпретация задач с параметрами
Контрольная работа по теме «Логика алгебраических задач»

17.10




Глава 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

§ 2. Корни многочленов. Теорема Везу





7
Числовые кольца и поля. Кольца многочленов
Корни многочленов и полиномиальных уравнений
24.10



8
Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу

31.10



9
Алгоритмы деления на двучлен. Метод РуффиннГорнера

14.11



10
Делимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена

21.11



11
Формулы сокращенного умножения
28.11



12
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов
Задание многочлена его значениями. Многочлены Лагранжа


5.12




§ 3. Разложение многочленов. Теорема Виета и комбинаторика





13
Полностью разложимые многочлены. Первые теоремы Виета .Решение систем Виета. Пример

12.12



14
Комбинаторное отступление 1: перестановки ...
Перестановки с повторениями и системы Виета
19.12



15
Комбинаторное отступление 2: сочетания
Комбинаторное отступление 3: размещения.

26.12



16
Общие система и теорема Виета

16.01



17
Формула Ньютона для степени бинома
23.01




§ 4. Уравнения низших степеней





18
Линейная замена переменной в квадратном трехчлене

30.01



19
Линейная замена переменной в многочленах

6.02



20
Метод РуффиниГорнера и треугольник Паскаля
13.02



21
Решение кубических уравнений

20.02



22
Графическое исследование кубического уравнения
27.02



23
Уравнения степени 4: схема Феррари
6.03




§5. Уравнения разных степеней. Методы упрощения
Простейшие полиномиальные уравнения
Линейные замены, основанные на симметрии





25
Метод разложения. Поиск рациональных корней
13.03



26
Применение теоремы о рациональных корнях к решению уравнений
3.04



27
Применение теоремы о корнях к числовым задачам
10.04



28
Разложение методом неопределенных коэффициентов
Контрольная работа по теме «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения»
17.04




Глава 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства
§ 6. Рациональные алгебраические уравнения






29
Рациональные алгебраические выражения и задачи
Метод замены
24.04



30
Симметрические и кососимметрические уравнения
30.04




§ 7. Рациональные алгебраические неравенства





31
Зачем бывает нужно решать неравенства?
.Простейшие рациональные неравенства
8.05



32
Методы решения рациональных алгебраических неравенств
15.05



33
Сведение к системам неравенств
Метод интервалов
22.05



34
Метод замены
Контрольная работа по теме «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства»

29.05






.
.











13PAGE 15


13PAGE 14815




Заголовок 5Заголовок 715