Презентация по геометрии на тему Объём тел вращения. Теорема Гульдена

Объем тел вращения Теорема ГульденаРЕСПУБЛИКАНСКАЯ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННАЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА ИНТЕРНАТ ИМ. О.ЖАУТЫКОВА МАТЕМАТИКИПапп Александрийский – математик и механик эпохи позднего эллинизма, живший и работавший в Александрии. Сформулировал, но не доказал теорему об объеме тел вращения.Па́уль Гу́льдин — швейцарский математик и астроном. Доказал теорему, сформулированную Паппом Александрийским. Теорема 1. Пусть фигура F симметрична относительно прямой, параллельной оси вращения, и расположена по одну сторону от этой оси. Объем тела, получающегося при вращении фигуры F, выражается формулой V = 2πc*S, где S – площадь вращающейся фигуры, а с - расстояние между осями вращения и симметрии.ФОРМУЛИРОВКАсSXY Теорема 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВОсXY1) Пусть плоская фигура ограничена сверху графиком функции y=𝑓1(𝑥), а снизу - y=𝑓2(𝑥), причем эти графики лежат по одну и ту же сторону оси абсцисс, а с боков ограничена прямыми х=а и х=b.  y=𝑓1(𝑥) y=𝑓2(𝑥) ab2) V=π{𝑎𝑏[𝑓1(𝑥)]2𝑑𝑥 − 𝑎𝑏[𝑓1(𝑥)]2} 
Теорема 2. Пусть фигура F имеет центр симметрии и расположена по одну сторону от оси вращения. Объем тела, получаемого при вращении этой фигуры, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описываемой при вращении центром симметрии.ФОРМУЛИРОВКАсSXYabV=2πabc Теорема 3. Объем тела, получаемого при вращении фигуры, расположенной по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фигуры при вращении.ФОРМУЛИРОВКАсSXY Теорема 4. Пусть линия Г не пересекает ось вращения. Тогда площадь поверхности вращения равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, описанной при вращении центром тяжести этой линии.ФОРМУЛИРОВКАПример: Площадь поверхности тора выражается формулой S=4𝜋𝑟2𝑐,где r – радиус вращающейся окружности, а c – расстояние до центра этой окружности от оси вращения.  Задача. Равносторонний треугольник вращается вокруг оси, наклоненной под углом α к одной из его сторон, проходящей, через его вершину и не пересекающей самого треугольника. Найти объем и площадь поверхности тела вращения.РЕШАЕМ ВМЕСТЕMY0Решение.1) S = 𝑎234; IMCI = 𝑎33; ˪OCM = α+30°; [DM]⊥(OX). 2) IDMI = IMCI·sin(α+30°) = 𝑎33 sin(α+30°) = c.  3) V = 2πc·S = 2π𝑎33·sin(α+30°)·𝑎234 = 𝝅𝒂𝟑𝟐sin(α+30°); αXABCD