Метод координат в задачах С2

Приведение метода координат
при решении задач С2 варианта ЕГЭ
по математике
Автор:
Научный руководитель:
Покрова Людмила Николаевна,
учитель математики
высшей категории
МАОУ СОШ № 21
Челябинск – 2013
Содержание
Введение………………………………………………………………………………………………………..…2
1.История метода координат…………………………………………………………………………..4
2.Система координат……………………………………………………………………………………..…5
3.Варианты расположения системы координат……………………………………………..6
4.Необходимые формулы………………………………………………………………………………..8
5.Алгоритмы решения задач на нахождение расстояний в пространстве……9
5.1 Расстояние между двумя точками…………………………………………………..9
5.2 Расстояние от точки до прямой……………………………………………………....9
5.3 Расстояние от точки до плоскости………………………………………………….10
5.4 Расстояние между скрещивающимися прямыми………………………….11
6.Алгоритмы решения задач на нахождение углов в пространстве…………….12
6.1 Угол между двумя прямыми…………………………………………………………..12
6.2 Угол между прямой и плоскостью………………………………………………..…13
6.3 Угол между двумя плоскостями………………………………………………….…..15
7.Заключение……………………………………………………………………………………………………18
8.Список литературы……………………………………………………………………………………..…19
Приложение
Введение
Для учеников старших классов самой насущной проблемой является подготовка к Единому государственному экзамену. Причем не все ученики уверенно решают задания части С, а некоторые и не берутся за их решение. В аналитических материалах ЕГЭ по математике, представленных на сайте Министерства образования и науки Челябинской области, приведены результаты решения заданий С1- С6 за 2010-2012 годы (в %).[1]
Номер задания Проверяемые требования %выполнения
2010 2011 2012
С1Уметь решать уравнения и неравенства 33,31 41,59 22,98
С2Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами 11,49 15,66 3,47
С3 Уметь решать уравнения и неравенства 13,06 18,58 7,6
С4Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами 10,06 7,44 1,89
С5 Уметь решать уравнения и неравенства 5,56 8,40 4,33
С6Уметь строить и исследовать простейшие математические модели 5,48 8,83 5,89
Анализ таблицы показывает снижение уровня выполнения заданий части С, но особенно низкие показатели по решению заданий С2 и С4 в которых надо решить геометрическую задачу. При решении задания С2 ученику чаще всего необходимо найти либо расстояние (между прямыми, прямой и плоскостью, от точки до плоскости и т.д.), либо углы (между прямыми, прямой и плоскостью и между плоскостями).
Мы провели опрос среди учеников нашего класса. Каждый ответил на три вопроса:
1.Беретесь ли вы за решение задания С2?
2.Всегда ли вам удается решить его?
3.Что вызывает у вас затруднения?
Из 27 учащихся класса 17 берутся за выполнение задания, и только 7 всегда доходят до ответа. Остальные сталкиваются с различными проблемами: одни не видят отрезков и углов, другие не могут свести стереометрическую задачу к планиметрической, третьи делают ошибки при нахождении необходимых для решения элементов.
В курсе геометрии применяются различные способы решения задач – как универсальные (можно использовать не только в геометрии) - поэтапно-вычислительный, метод введения переменной, метод координат, графический и т.д., но и геометрические – метод треугольников, метод площадей, метод подобия, метод геометрических построений и т.д.
В школьном курсе геометрии большое внимание уделяют поэтапно–вычислительному методу, но его применение требует от учеников не только достаточного объема теоретических знаний и способов их применения, но и интуиции, догадок, дополнительных построений. При этом способ решения координально меняется в зависимости от вида многогранника, а также фигуры, лежащей в его основании. С помощью поэтапного вычисления решается много задач С2 , но встречаются и такие, которые вызывают затруднение. В таком случае метод координат наиболее выигрышный, так как при его применении решение задачи во многом алгоритмизировано, и при изменении многогранника меняются только значения координат, а алгоритм решения остается прежним. Поэтому в большинстве случаев упрощается поиск способа и само решение задачи.
Координатный метод решения задач позволяет решить задачи не только математики, но и физики, астрономии. Но в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно.
Так как мы ученики 11 класса и для нас важны результаты ЕГЭ, то пытаемся изучить как можно больше методов решения, которые помогут нам при выполнении заданий части С и одним из них на наш взгляд, является метод координат.
Объект исследования:
Метод координат и его применение к решению задач геометрии.
Предмет исследования:
Применение метода координат к решению задач типа С2 ЕГЭ.
Цели и задачи:
изучить историю появления метода координат;
раскрыть содержание метода координат, обобщить основные формулы;
составить алгоритмы решения задач и показать их поэтапное применение;
подобрать задания, позволяющие отработать каждый из алгоритмов;
составить рекомендации для начинающих решать задачи методом координат.
Для решения поставленных перед собой задач изучим литературу по данной теме, осуществим поиск способов решения заданий на нахождение расстояний и углов в пространстве и составим алгоритмы их решения.
1. История метода координат
История возникновения координат и системы координат начинается очень давно, первоначально идея метода координат возникла еще в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского ( около 601- 546 до н.э ) считают составителем первой географической карты. Он четко описывал широту и долготу места, использую прямоугольные проекции.Более чем за 100 лет до н.э греческие ученые Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известно географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.Идея изображать числа в виде точек, а точкам числовые обозначения зародилось в далёкой древности. Первоначальное применение координат связанно с астрономией и географией, с потребностью определять положение святил на небе неопределенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идей прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.
Основная заслуга современного метода координат принадлежит Французскому математику Рене Декарту. До наших времен дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая в театре места согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставшим обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650)- того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовом на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, которой каждое место получала номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в Парижском высшем обществе.
Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарта впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также- Декартова система координат.
Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатные методы только на плоскости. Координатный метод трехмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.
2. Система координат
Система координат – комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. [2] Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, параболическая, цилиндрическая, сферическая и др. Но наиболее используемая – прямоугольная система координат(так же известная как декартова система). Ею и пользуются для решения задач.
Декартова прямоугольная система координат задается с помощью:
точки – начала координат,
трех взаимно перпендикулярных прямых называемых осями координат (Ох –ось абсцисс, Оу –ось ординат и Оz –ось аппликат) на каждой прямой выбрано направление положительных чисел,
единичного отрезка,
плоскостей хОу, хОz, уОz –координатных плоскостей.
Положение любой точки в пространстве определено с помощью трех чисел – величин проекций на координатные оси. Числа называют координатами точки.

3. Варианты расположения системы координат
По условиям задач С2 никаких координат нет. Для этого необходимо в зависимости от вида многогранника правильно ввести систему координат. Причем результат решения не зависит от того какую точку выбрать за начало координат. главное чтобы координаты точек просчитывались как можно проще.Предлагаем различные варианты введения системы координат.
Тело Основание Координаты
353695235585Куб A(0;0;0) A1(0;0;a)
B(a;0;0) B1(a;0;a)
C(a;a;0) C1(a;a;a)
D(0;a;0) D1(0;a;a)
309245527685Прямоугольный параллелепипед
342265466725 A(b;0;0) A1(b;0;c)
B(o;o;o) B1(0;0;c)
C(0;a;0) C1(0;a;c)
D(b;a;0)D1(b;a;c)
474980495300Правильная треугольная призма
207010125095 A(a2;0;0) A1(a2;0;c)
B(-a2;;o;o)B1(-a2;0;c)
C(0;a32;0)C1(0; a32;c)
K(0;0;0) K1(0;0;c)
367030121285 A(-a2;0;0)A1(-a2;0;c)
B(0;a32;0) B1(0;a32;c)
C1(a2;0;c)K(0;0;0)
526415685165Правильная шестиугольная призма
153035258445 A(a3;0;0) A1(a3;0;c)
B(a3;a;0) B1(a3;a;c)
C(a32;3a2;0) C1(a32;3a2;c)
D(0;3a2;0) D1(0;3a2;c)
E(0;0;0) E1(0;0;c)
F(a32;-a2;0)F1(a32;-a2;c)
Правильная треугольная пирамида
354330276225 445770514985 A(-a2;0;0)
B(0;a32;0)C(a2;0;0)
S(0;a36;h)O(0;a36;0)K(0;0;0)
Правильная четырехугольная пирамида
Aa22;0;0B0;-a22;0C-a22;0;0D0;a22;0S0;0;hO0;0;0 Aa;0;0B0;0;0C0;a;0Da;a;0Sa2;a2;hOa2;a2;0Правильная шестиугольная пирамида
72390413385 A(a3;0;0)
B(a3;a;0)
C(a32;3a2;0)
D(0;a;0)
E(0;0;0)
F(a32;-a2;0)
S(a32;a2;h)
O(a32;a2;0)
4. Необходимые формулы
№ Задача Необходимые
данные Формула
1 Нахождение координат вектора AxA;yA;zABxB;yB;zBABxB-xA;yB-yA;zB-zA2 Нахождение расстояния между точками AxA;yA;zABxB;yB;zB Найдем координаты вектора
ABxB-xA;yB-yA;zB-zAAB=(xB-xA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)23 Нахождение середины отрезка AxA;yA;zABxB;yB;zBС – середина отрезка
CxB+xA2;yB+yA2;zB+zA24 Нахождение уравнения прямой проходящей через 2 точки AxA;yA;zABxB;yB;zBx-xAxB-xA=y-yAyB-yA=z-zAzB-zA5 Нахождения уравнения плоскости проходящей через 3 точки AxA;yA;zABxB;yB;zBCxC;yC;zCAx+By+Cz+D=0A*xA+B*yA+C*zA+D=0A*xB+B*yB+C*zB+D=0A*xC+B*yC+C*zC+D=06 Нахождение угла между 2 векторами aa1;a2;a3bb1;b2;b3cosa˄b=a1*b1+a2*b2+a3*b3a12+a22+a32*b12+b22+b327 Нахождение угла между прямой и плоскостью AxA;yA;zABxB;yB;zBxB-xA=m
yB-yA=n zB-zA=kAx+By+Cz+D=0sinα=A*m+B*n+C*kA2+B2+C2*m2+n2+k28 Нахождение угла между двумя плоскостями A1x+B1y+C1z+D=0A2x+B2y+C2z+D=0cosα=A1*A2+B1*B2+C1*C2A12+B12+C12*A22+B22+C229 Нахождение расстояния от точки до плоскости AxA;yA;zAAx+By+Cz+D=0d=A*xA+B*yA+C*zA+DA2+B2+C210 Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении AxA;yA;zABxB;yB;zBE – точка, делящая отрезок в данном отношении
Ex1;y1;z1 k=AEBEx1=xA+k*xB1+k y1=yA+k*yB1+k z1=zA+k*zB1+k11 Площадь треугольника ABC на плоскости ABx1;y1ACx2;y2S=12x1*y2-x2*y112 Площадь треугольника ABC в пространстве ABx1;y1;z1ACx2;y2;z2 S=12x1*y2-x2*y12-x1*z2-x2*z12-y1*z2-y2*z125. Алгоритмы решения задач на нахождение расстояний в пространстве
5.1 Расстояние между двумя точками
Алгоритм вычисления расстояния между точками А и В Пример:
В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние между точками P – серединой AD и Q – серединой CC1.
Задать систему координат
AxA;yA;zA BxB;yB;zBAB=(xB-xA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)2P(1;12;0) Q(0;1;12)
PQ=0-12+1-122+(12-0)2=625.2 Расстояние от точки до прямой
Как построить искомое расстояние от точки до прямой?
На прямой выбираем 2 точки;Соединяем их с заданной точкой - образуется треугольник;
Расстояние от заданной точки до прямой- длина перпендикуляра, опущенного на прямую, а значит- высота треугольника;
В зависимости от вида треугольника (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний, тупоугольный, остроугольный) проводим необходимую высоту.
Алгоритм вычисления расстояния от точки В до прямой MN Пример:
В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки D1 до прямой PQ, где P – середина AA1 и Q – серединой CD.
1)Задать систему координат
15113069850
2)Найти координаты точек:
а)данной точки
б)точек задающих прямую D1(1;1;1)
P(1;0;12)
Q(12;1;0)
3)Отметим точку B – проекцию A на MN
B(x;y;z)
4)B(x;y;z)
MB{x-xM;y-yM;z-zM) NB{x-xN;y-yN;z-zN)B(x;y;z)
PB{x-1;y-0;z-12)D1B{x-1;y-1;z-1) 5)AB˔MN => AB*MN=0 x-xA xN-xM+y-yA yN-yM+z-zA zN-zM=0x-xMxN-xM=y-yMyN-yM=z-zMzN-zM=k Находим x, y, z D1B˔PQ => D1B*PQ=0-12*x-1+1* y-1-12 z-1=0x-1-12=y1=z-12-12=kX=712 y=1012 z=112 6)AB{x-xA; y-yA;z-zA} AB=x-xA2+y-yA2+z-zA2AB{-512; -112;-1112}AB=25144+4144+121144=56125.3 Расстояние от точки до плоскости
Как построить искомое расстояние от точки до плоскости?
определить вид многоугольника, задающего плоскость по условию задачи;
соединить вершины многоугольника с заданной точкой. В результате образуется пирамида;
так как расстояние от точки до плоскости является длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, то высота пирамиды, приведённая из данной точки к получившемуся многоугольнику и будет искомым расстоянием;
в зависимости от вида многоугольника и положения точки строим высоту пирамиды.
Алгоритм вычисления расстояния от точки А до плоскости MNK Пример:
В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки D1 до плоскости, проходящей через середины AA1, B1C1, CD
1) Зададим систему координат

2) Определим координаты точки АA (xA; yA; zA) D1(1;1;1)
3) Определим координаты трех точек задающих (MNK)
Ax +By + Cz + D = 0
вместо x,y,z поочередно подставим координаты точек.
M (xM ; yM ; zM), N (xN ; yN ; zN), K(xK ; yK ; zK)
A*xM+B*yM+C*zM+D=0A*xN+B*yN+C*zN+D=0A*xK+B*yK+C*zK+D=0
Пусть D = 1
Найдем A,B,C O2(1;0;12) – середина AA1
O4(0;12;1) – середина B1C1
O6(12;1;0) – середина CD
A+C2+1=0B2+C+1=0A2+B+1=0 A= -23B= -23C= -234) Найдем расстояние
d=A*xA+B*yA+C*zAA2+B2+C2 d=-23*1+(-23)*1+(-23)*149+49+49= 3
5.4 Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми
Как построить расстояние между скрещивающимся прямыми?
Пусть даны 2 скрещивающиеся прямые а и b. Чтобы построить расстояние между ними надо:
через одну из них провести плоскость, параллельную другой прямой;
проведём через прямую в плоскостью параллельную а;
из любой точки А прямой а опустить перпендикуляр АА1 на плоскость;
через основание перпендикуляра провести прямую а1, параллельную прямой а;
прямую а1∩b в точке B1;
через точку B1 провести прямую BB1 параллельную перпендикуляру AA1;
полученный отрезок BB1 и есть искомое расстояние между скрещивающимся прямыми.
Алгоритм вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми АВ и СDПример:
В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние между прямыми CD1 и A1D
1) Зададим систему координат
2) Определим координаты 2-х точек задающих прямую АВ
А (xA ; yA ; zA) AB {xB-xA; yB-yA; zB-zA}
B (xB ; yB ; zB) A1 (1 ; 0 ; 1)
D (1;1;0)
A1D {0;1;-1}
3) Определим координаты 2-х точек задающих прямую CD
С (xC ; yC ; zC) CD {xD-xC;yD-yC; zD-zC}
D (xD ; yD ; zD) D1 (1 ; 1 ; 1)
C (0;1;0)
D1C {-1;0;-1}
4) Пусть EF - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB и CD, то есть
EF ˔ ABEF˔ CDE Є АВ, F Є CDПусть EF - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых CD1 и A1D, то есть
EF ˔ A1DEF ˔ D1C5) E Є АВ и делит AB в отношении K = AEBEПусть А (xA ; yA ; zA) E (x1 : y1 : z1)
B (xB ; yB ; zB)
Ищем координаты точки Е по формулам
x1=xA+k*xB1+k y1=yA+k*yB1+k z1=zA+k*zB1+kE Є D1Ck = D1ECE
E (x1 : y1 : z1)
x1=1+k*01+k y1=1+k*11+k z1=1+k*01+k6) F Є CD и делит CD в отношении p = CFDFПусть С (xс ; yс ; zс) F (x2: y2 : z2)
D (xD ; yD ; zD)
Ищем координаты точки F по формулам
x2=xC+p*xD1+p y2=yC+p*yD1+p z2=zC+p*zD1+pF Є A1D
p = A1FDF
F (x2: y2 : z2)
x2=1+p*11+p y2=0+p*11+p z2=1+p*01+p7) Найдем координаты вектора EFEF {x2-x1;y2-y1; z2-z1}
EF{1-11+k; p1+p-1;11+p-11+k}
8) Так как EF ˔AB и EF ˔ CD, то скалярное произведение векторов равно нулю.
Составим систему уравнений:
AB ∙ EF = 0 CD ∙ EF = 0 xB-xA*x2-x1+ yB-yA*y2-y1+ zB-zA*(z2 - z1) = 0xD-xC*x2-x1+ yD-yC*y2-y1+ zD-zC*(z2 - z1) = 0Решая получившуюся систему, найдем k и p
Подставляя k и p, найдем координаты вектора EF{x2-x1;y2-y1; z2-z1}
а затем длину вектора EF=x2-x12+y2-y12+z2-z12A1D ∙ EF = 0 D1C ∙ EF = 0 0 + p1+p-1*1 + 11+p-11+k*( - 1) = 01-11+k*-1+ 0 + 11+p-11+k*(-1) = 0p=2 k=12EF{13;- 13;-13;}
EF=336. Алгоритмы решения задач на нахождение углов в пространстве
6.1 Угол между двумя прямыми
Как построить угол между двумя прямыми?
выделить на рисунке заданные прямые;
проверить, пересекаются ли прямые;
если прямые пересекаются, то показать угол;
если прямые не пересекаются, то находим прямую параллельную одной из них такую, чтобы получившиеся прямые пересекались и показываем угол между прямыми.
Часто для построения прямой параллельной данной приходится либо продолжать одну из граней многогранника, либо находить плоскость внутри многогранника и проводить прямую в этой плоскости.
Алгоритм вычисления угла между прямыми АВ и СD Пример:
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AA1 и CB1
1)Зададим систему координат
2)Найдем координаты двух точек направляющей вектора AB для первой прямой
AxA;yA;zA BxB;yB;zB
Найдем координаты вектора АВ
ABxB-xA;yB-yA;zB-zAи обозначим их ABa1;a2;a3C(0;1;0) B1(0;0;1)
CB10;-1;13)Найдем длину вектора ABAB=a12+a22+a32CB1=0+1+1=24)Найдем координаты двух точек направляющего вектора CD для второй прямой
CxC;yC;zC DxD;yD;zDНайдем координаты вектора CD CDxD-xC;yD-yC;zD-zC и обозначим их CDb1;b2;b3A(1;0;0) A1(1;0;1)
AA1{0;0;1}5)Найдем длину вектора CDCD=b12+b22+b32AA1=0+0+1=16)Найдем угол между векторами
cosa˄b=a1*b1+a2*b2+a3*b3a12+a22+a32*b12+b22+b32cosa˄b=0*0+(-1)*0+1*12*1=126.2.1 Угол между прямой и плоскостью
Как построить угол между прямой и плоскостью?
выделить на рисунке заданные прямую и плоскость;
проверить пересекаются ли они;
если нет, то провести прямую параллельную данной такую, чтобы она пересекала плоскость;
на прямой, выбрать точку и опустить из неё перпендикуляр на плоскость;
соединить основания перпендикуляра с точкой пересечения прямой и плоскости;
угол между прямой и ее проекцией на плоскость и есть угол между прямой и плоскостью.
В каждом случае, при проведении перпендикуляра на плоскость приходится отвечать на вопрос – куда опустится перпендикуляр и где будет расположена точка, являющаяся основанием перпендикуляра. Для ответа на этот вопрос необходимо рассматривать многоугольники, задающие плоскость, определять их вид в зависимости от вида проводить перпендикуляр. Рассмотрим способ нахождения угла между прямой и плоскостью с помощью вектора нормали.
Алгоритм вычисления угла между прямой АВ и плоскостью MNK Пример:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD найдите угол между прямой DA и плоскостью SBC
1) Зададим систему координат

2) Найдем координаты 2 точек направляющего вектора AB А (xA ; yA ; zA) AB{xB-xA ; xB-xA; xB-xA}
B (xB ; yB ; zB)
Обозначим AB{a1 ; a2 ; a3}
вычислим длину AB|AB| = a12+a22+a32D (0;0;0) DA = {1;0;0}
A (1;0;0)
|DA| = 1+0+0 = 1
3) Найдем координаты трех точек M, N, K принадлежащих плоскости.
M (xM ; yM ; zM), N (xN ; yN ; zN), K (xK ; yK ; zK) S (0;0;1), B (1;1;0), C (0;1;0)
4) Найдем координаты 2-х векторов, выходящих из одной точки
MN{XN-XM; YN-YM; ZN-ZM}
MK {XK-XM; YK-YM; ZK-ZM} SB {1;1;-1}
SC {0;1;-1}
5) Найдем координаты вектора нормали
n {Х0 ; y0 ; Z0} перпендикулярного плоскости MNK.
Так как n перпендикулярно (MNK), то
n˔MNn˔MK=> n*MN=0 n*MK=0=>
x0*xN-xM+y0*yN-yM+z0*zN-zM=0x0*xK-xM+y0*yK-yM+z0*zK-zM=0
Выбираем одну из координат x0, y0, z0 равной 1, а остальные координаты просчитываем.
Получаем n{x0 ; y0 ; z0} Пусть n {x0 ; y0 ;z0} т.к. n ˔ (SBC), то
n˔SB n˔SC=> n * SB=0 n * SC=0 =>
x0*1-0+y0*1-0+z0*0-1=0x0*0-0+y0*1-0+z0*0-1=0
x0+y0-z0=0y0-z0=0*1x0 = 0 y0 = 1 z0 = 1
n{0; 1 ; 1}
6) Найдем угол между вектором АВ и вектором нормали n
cos(AB^n) = a1*x0+a2*y0+a3*z0a12+a22+a32*x02+y02+z02cos(DA^n) = 1*0+0*1+0*11+0+0*0+1+0 = 0
7) Так как угол между прямой АВ и плоскостью MNK с углом между прямой АВ и вектором нормали n составляют в сумме 90о , то sinα = sin(90o-φ) = cosφ
Значит, если мы вычислим косинус угла между АВ и n , то синус угла между прямой АВ и плоскостью MNK принимает тоже значение sinα = |cosφ| cosφ = 0 => sinα = 0
6.2.2 Угол между прямой и плоскостью
Покажем еще один способ нахождения угла между прямой и плоскостью с помощью уравнения плоскости.
Алгоритм вычисления угла между прямой АВ и плоскостью MNK Пример:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD найдите угол между прямой DA и плоскостью SBC
1) Зададим систему координат
2) Найдем координаты точек задающих АВ
А (xA ; yA ; zA)
B (xB ; yB ; zB)
Найдем координаты вектора ABABxB-xA;yB-yA;zB-zAПусть m=xB-xA n=yB-yA k=zB-zAD(0;0;0) DA{1;0;0}A(1;0;0)
m=1 n=0 k=0
3) Найдем координаты 3-х точек задающих плоскость
M (xM ; yM ; zM)
N (xN ; yN; zN)
K (xK ; yK ; zK) S(0;0;1) B(1;1;0) O(0;1;0)
4) Составим уравнение плоскости:
Ax +By + Cz + D = 0
Вместо x,y,z по очереди подставляем координаты точек M,N,K
A*xM+B*yM+C*zM+D=0A*xN+B*yN+C*zN+D=0A*xK+B*yK+C*zK+D=0
Пусть D = 1.Решаем систему, находим А,В,С Ax +By + Cz + D = 0
A*0+B*0+C*1+1=0A*1+B*1+C*0+1=0A*0+B*1+C*0+1=0
A=0 B=-1 C=-1
5) Находим искомый угол
sinα = A*m+B*n+C*kA2+B2+C2*m2+n2+k2 sinα = 0*1+-1*0+-1*00+1+1∙1+0+0=0
6.3.1 Угол между двумя плоскостями
Как построить угол между двумя плоскостями?
выделить на рисунке данные плоскости;
проверить, пересекаются ли они;
если нет, то провести плоскость параллельную одной из них, так чтобы плоскости пересекались;
выбрать общее ребро, по которому плоскости пересекаются;
определить вид многоугольника, задающего каждую плоскость, в зависимости от вида провести перпендикуляры в каждой плоскости к общему ребру так, чтобы они пересекались;
угол между двумя перпендикулярами и задаёт угол между плоскостями.
Иногда не удаётся провести оба перпендикуляра в одну точку. В этом случае проводим отрезок, параллельный одному из перпендикуляров, через основание другого перпендикуляра и выделяем угол.
Если сомневаемся – приходят ли перпендикуляры в одну точку, то достаточно вычислить длины отрезков на общем ребре для каждого многоугольника и сравнить результаты.
Покажем способ нахождения угла между двумя плоскостями с помощью нахождения векторов нормали.
Алгоритм вычисления угла между плоскостями АВС и MNK Пример: (ЕГЭ 2012)
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 4. На ребре AA1отмечена точка E так, что AEEA1=31. Найти угол между плоскостями ABC и BED1
1) Зададим систему координат 90297027305
2) Найдем координаты точек M,N,K. Принадлежащих плоскости.
M(xM ; yM ; zM), N(xN ; yN ; zN), K(xK ; yK ; xK) A(1;0;0) B(0;0;0) C(0;1;0)
3) Найдем координаты 2-х векторов, выходящих из одной точки MN{XN-XM; YN-YM; ZN-ZM}
MK{XK-XM; YK-YM; ZK-ZM} BA{1;0;0}BC{0;1;0}4) Найдем координаты вектора нормали
n{Х0 ; y0 ; Z0} перпендикулярного плоскости MNK.
Так как n перпендикулярно (MNK), то
n˔MNn˔MK=> n*MN=0 n*MK=0=>
x0*xN-xM+y0*yN-yM+z0*zN-zM=0x0*xK-xM+y0*yK-yM+z0*zK-zM=0Выбираем одну из координат x0, y0, z0 равной 1, а остальные координаты просчитываем.
Получаем n{x0 ; y0 ; z0} n1˔(ABC) n1˔BA n1˔BC=> n1*BA=0 n1*BC=0=>x1*1+y1*0+z1*0=0x1*0+y1*1+z1*0=0 n1{0;0;1}5) Аналогично рассмотрим плоскость АВС и найдем координаты вектора нормали n1 {x1; y1; z1} перпендикулярного плоскости (АВС) n1{3;1;-1}6) Угол между двумя плоскостями равен углу между двумя векторами нормали n и n1cos α = cos (n^n1) = x0*x1+y0*y1+z0*z1x02+y02+z02*x12+y12+z12cos α= 3*0+1*0-1*111*1=11116.3.2 Угол между двумя плоскостями
Покажем еще один способ нахождения угла между двумя плоскостями с помощью уравнения плоскости.
Алгоритм вычисления угла между плоскостями АВС и MNK Пример: (ЕГЭ 2012)
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 4. На ребре AA1отмечена точка E так, что AEEA1=31. Найти угол между плоскостями ABC и BED1
1) Зададим систему координат 81280029845
2) Найдем координаты 3-х точек задающих ( АВС)
А (xA ; yA ; zA), B (xB ; yB ; zB), С (xс ; yс ; zс)
Составим уравнение плоскости:
A1x +B1y + C1z + D = 0
вместо x,y,z поочередно подставляем координаты точек А, В, С
A1*xA+B1*yA+C1*zA+D=0A1*xB+B1*yB+C1*zB+D=0A1*xC+B1*yC+C1*zC+D=0
Пусть D = 1. Решим систему, найдем А1,В1,С1 A(1;0;0) B(0;0;0) C(0;1;0)
A1*0+B1*0+C1*0+0=0A1*1+B1*0+C1*0+0=0A1*0+B1*1+C1*0+0=0Пусть С1=1, тогда A1=0 B1=0
3) Найдем координаты 3-х точек задающих (MNK)
M (xM ; yM ; zM), N (xN ; yN ; zN), K (xK ; yK ; zK)
Составим уравнение плоскости:
A2x +B2y + C2z + D = 0
вместо x,y,z поочередно подставляем координаты точек M,N,K
A2*xM+B2*yM+C2*zM+D=0A2*xN+B2*yN+C2*zN+D=0A2*xK+B2*yK+C2*zK+D=0
Пусть D = 1
Решим систему, найдем А2,В2,С2 B(0;0;0) E(1;0;3) D1(1;1;4)
A2*0+B2*0+C2*0+0=0A2*1+B2*0+C2*3+0=0A2*1+B2*1+C2*4+0=0Пусть C2=1, тогда A2=-3 B2=-1
4) Найдем искомый уголcosφ=A1*A2+B1*B2+C1*C2A12+B12+C12*A22+B22+C22cos α= -3*0-1*0+1*111*1=1111Заключение

В ходе выполнения исследовательской работы мы узнали много нового о методе координат: истории его возникновения; ученых, внесших свой вклад в его развитие; о существовании различных способов задания системы координат.
Нами были изучены различные источники: книги, учебники, справочники, в которых мы нашли формулы, необходимые при решении задач; рассмотрены разные подходы к их решению. Тем, кто заинтересовался данным методом решения задач, советуем обратиться к работам авторов, указанных в списке литературы, ведь именно благодаря их материалам работа, по нашему мнению, получилась столь насыщенной и понятной. Мы узнали, что с помощью метода координат можно вычислять, не только расстояния и углы, но и площади, объемы и многое другое.
Мы пришли к выводу, что использование метода координат требует от ученика внимательности, хороших вычислительных навыков.
Мы попытались систематизировать полученные нами данные в виде плана построения искомых расстояний и углов, а так же алгоритмов их вычисления. Результаты работы представлены в виде таблиц, дающих возможность научиться применять эти знания на конкретных примерах, взятых из вариантов ЕГЭ различных лет.
Нами подобраны задания, которые помогут отработать полученные навыки, и тем самым более качественно подготовиться к сдаче экзамена.
Мы надеемся, что изложенная в работе информация поможет выпускникам решить задание С2 и достичь более высоких результатов.
Список литературы
Единый государственный экзамен: Математика: сборник аналитических материалов/Под ред. В. В. Костромцовой, В. Н. Кеспикова; Составитель Е.В. Морозова - Челябинск, 2012. – 107с.
ru.wikipedia.org – Система координат.
Смирнова, И.М. C50 Геометрия. Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 158, [2] с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов»)
Севрюков, П.Ф. С28 Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии : учебное пособие / П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса ; НИИ Школьных технологий ; Ставрополь : Сервис школа, 2008. – 164 с. – (Серия «Изучение сложных тем школьного курса математики»).
Литвиненко В.Н. Л64 Сборник задач по стереометрии с методами решений: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1998. – 255 с.: ил.
Литвиненко В.Н. Л64 Геометрия. Готовимся к ЕГЭ. 11 класс: пособие для учащихся общеобразоват. учреждений / В.Н. Литвиненко.- М.: Просвещение, 2012. – 160 с.: ил. – (МГУ – школе). –
Геометрия, 10 – 11 : Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 206 с.: ил.
И.М.Гельфанд Математика / И.М.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, А.А.Кириллов – 6-е изд. исправленное и дополненное «Метод координат», Издательство «МЦНМО», Москва 2007 – 184 с.: ил.
Корянов А.Г, Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 (типовые задания С2) «Многогранники: виды задач и методы их решения» www.alexlarin.narod.ru
Корянов А.Г, « Расстояния и углы в пространстве» МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010 (типовые задания С2) www.alexlarin.narod.ru