Методические рекомендации по выполнению практических работ РАЗДЕЛ Теория вероятностей

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И
ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ
ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»


Западный филиал РАНХиГС











Учебно-методическое пособие

(раздел «Теория вероятностей»)

































Калининград, 2014

Содержание

Пояснительная записка..3
Решение задач.4
Тренировочный тест.........11
Библиографический список.14




















































В пособии рассматриваются задачи по темам:
алгебра событий;
формула полной вероятности;
дискретная случайная величина и ее характеристики;
непрерывная случайная величина и ее характеристики;
распределения случайной величины: биномиальное, нормальное.
В каждой теме даны подробные решения типовых задач и необходимый теоретический материал. В пособии содержится тренировочный тест с ответами для самоконтроля знаний. Основное назначение пособия – помочь студенту при подготовке к зачету и итоговой контрольной работе по дисциплине математика.















РЕшение задач
Задача 1. Три стрелка стреляют по мишени с вероятностями попадания 0,8, 0,9 и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень
а) попадут все три стрелка; б) не попадет ни один;
в) попадет ровно один стрелок; г) попадет хотя бы один стрелок.
Решение. Обозначим А1, А2 и А3
· попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно, а 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
· непопадания для этих же стрелков. Так как произведение событий есть событие, состоящее в совместном появлении перемножаемых величин, то А1А2А3 означает три попадания, а 13 EMBED Equation.3 1415
· три промаха.
События А1, А2, А3 независимы (появление одного не влияет на вероятность появления другого), поэтому вероятность трех попаданий (случай а)) равна произведению вероятностей
13 EMBED Equation.3 1415.
События А1 и 13 EMBED Equation.3 1415
· противоположные события, значит удовлетворяют соотношению
13 EMBED Equation.3 1415.
Но тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, вероятность трех промахов (случай б)) равна
13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим случай в). Искомое событие
· попадет ровно один стрелок
· состоит в появлении одного из событий:

· 13 EMBED Equation.3 1415 (первый попал в мишень, а второй и третий промахнулись),

· 13 EMBED Equation.3 1415 (второй попал, а два других промахнулись),

· 13 EMBED Equation.3 1415 (третий попал, остальные
· нет).
Так как событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий, есть их сумма, получим, что искомое событие равно
13 EMBED Equation.3 1415.
Слагаемые этой суммы
· несовместные события (появление одного из них исключает появление другого), поэтому вероятность суммы равна сумме вероятностей. Следовательно, вероятность того, что попадет ровно один стрелок, равна
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Рассматривая случай г), обозначим В
· событие, состоящее в том, что в мишень попадет хотя бы один стрелок, т.е. при одном залпе будет от одного до трех попаданий. Если к событию В добавить событие, означающее все три промаха, получим полную группу событий с вероятностью, равной 1. Но тогда событие, означающее три промаха, есть 13 EMBED Equation.3 1415, а его вероятность уже найдена (случай б)).
Итак,
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 2. В ящике содержится 10 деталей, изготовленных на заводе №1, 15 деталей, изготовленных на заводе №2 и 20 деталей, изготовленных на заводе №3. Вероятности брака для трех заводов соответственно равны 0,1, 0,3 и 0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной.
Решение. Обозначим А
· событие, состоящее в том, что взятая деталь бракованная. Возможны три предположения (гипотезы):
Н1
· деталь изготовлена на заводе №1,
Н2
· деталь изготовлена на заводе №2,
Н3
· деталь изготовлена на заводе №3.
Вероятности этих гипотез равны
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле полной вероятности (с учетом всех гипотез)
13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь13 EMBED Equation.3 1415
· вероятность того, что взятая деталь является бракованной при условии, что она изготовлена на заводе №1. Согласно условию задачи 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Но тогда
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
Х
1
3

р
0,8
р2


Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х) случайной величины Х.
Решение. Найдем р2 из условия
13 EMBED Equation.3 1415.
Получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Для дискретной случайной величины
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 4. Дискретная случайная величина задана законом распределения
Х
1
х2
5

р
р1
0,3
0,4


Найти х2, если М(Х) = 2,9.
Решение. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415.
В формулу математического ожидания
13 EMBED Equation.3 1415
подставим известные значения и найдем х2
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 5. Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на отрезок [a, b] определяется формулой
13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку на отрезке [2, 4] плотность распределения f(x) задана различными аналитическими выражениями, интеграл заменяется суммой интегралов и тогда
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
13 EMBED Equation.3 1415
Найти М(Х), D(Х).
Решение. Найдем сначала плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х) непрерывной случайной величины X вычисляются по формулам
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Получаем
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 7. Случайная величина Х
· число появлений события А в n испытаниях
· распределена по биномиальному закону с математическим ожиданием М(Х) = 4 и дисперсией D(Х) = 3. Найти вероятность появления события А в каждом испытании.
Решение. Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, справедливы формулы
М(Х) = np, D(Х) = npq,
где р
· вероятность появления события А в каждом испытании, а q – вероятность противоположного события, q =1
· p.
Имеем: np = 4, npq = 3.
Разделив второе равенство на первое, найдем q:
13 EMBED Equation.3 1415, отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 8. Найти дисперсию случайной величины Х
· числа появлений события А в 20 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а М(Х) = 2.
Решение. Так как испытания независимы, а вероятность появления события А в каждом испытании одинакова, то случайная величина распределена по биномиальному закону. Но тогда
М(Х) = np, D(Х) = npq.
Из первого равенства найдем
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415,
значит,
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 9. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами М(Х) = 2 см, D(Х) = 0,25 см2. Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 1,5 см и не более 3 см. Определить процент годных и процент бракованных деталей.
Решение.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, примет значение, принадлежащее отрезку 13 EMBED Equation.3 1415, равна
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
· функция Лапласа,
13 EMBED Equation.3 1415
· среднее квадратическое отклонение (13 EMBED Equation.3 1415).
Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
или, с учетом нечетности функции Лапласа,
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
(значения функции Лапласа находятся в таблице приложений [1]).
Полученный результат означает, что процент годных деталей составит 81,85%, бракованных
· 18,15%.

Задача 10. Дальность полета снаряда распределена нормально с математическим ожиданием 200 м и средним квадратическим отклонением 10 м. Определить интервал, в который согласно правилу 13 EMBED Equation.3 1415 попадет снаряд с вероятностью 0,9973.
Решение. Если в формуле вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 (см. задачу 20) принять 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, окажется, что
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Это и есть правило 13 EMBED Equation.3 1415
· более 99,7% значений случайной величины попадут в интервал радиуса 13 EMBED Equation.3 1415, симметричный относительно математического ожидания.
С учетом данных задачи получим
13 EMBED Equation.3 1415.








Приложение
Тренировочный тест

№
Задания
Варианты ответов



1
2
3
4
5

1
Устройство содержит 4 независимо работающих элемента с вероятностями отказа 0,9; 0,4; 0,2; 0,5. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
0,976
0,024
0,964
0,97
0,98

2
Из 10 стрелков 5 попадают в цель с вероятностью 0,4; 2 – с вероятностью 0,8; 3 – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель.
0,48
0,18
0,54
0,64
0,72

3
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти D(X), если М(Х)=2,9.
13 EMBED Excel.Sheet.8 1415
18,9
2,89
0,89
1,09
1,89

4
Дискретная случайная величина задана рядом распределения. Найти D(X).
13 EMBED Excel.Sheet.8 1415
6,76
4,28
3,75
5,12
2,44

5
Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения. Найти 13 EMBED Equation.3 1415, если М(Х)=1,7.
13 EMBED Excel.Sheet.8 1415
1
4
3
5
2

6
Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


7
Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
13 EMBED Equation.3 1415. Найти М(Х).
13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4

8
Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события А в 18 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а М(Х)=8.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

9
Случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях распределена по биномиальному закону с М(Х)=10, D(X)=7. Найти вероятность появления события А в каждом испытании.
0,3
0,2
0,35
0,4
0,43

10
Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами: М(Х)=0,5 см, D(X)=0,36 см2. Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 0,464 и не более 0,536 см. Определить, какой процент деталей будет забракован.
4,78%
95,22%
97,61%
2,39%
90,27%

11
Дальность полета снаряда распределена нормально с математическим ожиданием 800 м и средним квадратическим отклонением 40 м. Определить интервал, в который согласно правилу 313 EMBED Equation.3 1415попадет снаряд с вероятностью 0,9973.
(720,880)
(780,820)
(760,840)
(680,920)
(640,960)


Правильные ответы

№ задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Ответ
1
3
5
5
2
1
4
3
1
2
4

Библиографический список

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2004. 404 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004. 479 с.
Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1967. 240 с.
Краснов М.И., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 256 с.
Кручкович Г.И., Мордасова Г.М. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики. М.: Высшая школа, 1970. 511 с.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Лань, 2002. 688 с.
Мартыненко В.С. Операционное исчисление. Киев: Высшая школа, 1990. 359 с.




































































Избранные главы высшей математики для заочников («Теория функций комплексной переменной», «Операционное исчисление», «Теория вероятностей»)


Составители: Лиманова Лариса Владимировна
МУРАТОВА Лидия Александровна


Редактор Н. В. Б е г а н о в а
Технический редактор Г. Н. Ш а н ь к о в а


Подписано в печать 10.12.08.
Формат 60х84. 1/16. Бум. типогр.№2.
Печать офсетная.
Усл. п. л. 1,39. Усл. кр.-отт. 1,39. Уч.-изд. л. 1,25.
Тираж 50 экз. С-26.


Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус










13PAGE 15


13PAGE 14215




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native)Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeArial Cyr1"ИArial Cyr1"ИArial Cyr1"ИArial Cyr1"ґArial CyrО/15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0"р.";[Red]\-#,##0"р."О;

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0.00"р.";[Red]\-#,##0.00"р."Оk*3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;_-@_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;_-@_-а14 Arial Cyr1"ИArial Cyr1"И